2025屆北京市西城區(qū)第四中學數(shù)學高三上期末檢測模擬試題含解析

2025屆北京市西城區(qū)第四中學數(shù)學高三上期末檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．把函數(shù)圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，再將圖象向右平移個單位，那么所得圖象的一個對稱中心為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，，且在上是單調函數(shù)，則下列說法正確的是（）A． B．C．函數(shù)在上單調遞減 D．函數(shù)的圖像關于點對稱4．某單位去年的開支分布的折線圖如圖1所示，在這一年中的水、電、交通開支（單位：萬元）如圖2所示，則該單位去年的水費開支占總開支的百分比為（）A． B． C． D．5．下圖是民航部門統(tǒng)計的某年春運期間，六個城市售出的往返機票的平均價格（單位元），以及相比于上一年同期價格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖，以下敘述不正確的是（）A．深圳的變化幅度最小，北京的平均價格最高B．天津的往返機票平均價格變化最大C．上海和廣州的往返機票平均價格基本相當D．相比于上一年同期，其中四個城市的往返機票平均價格在增加6．某中學有高中生人，初中生人為了解該校學生自主鍛煉的時間，采用分層抽樣的方法從高生和初中生中抽取一個容量為的樣本.若樣本中高中生恰有人，則的值為（）A． B． C． D．7．已知命題p：“”是“”的充要條件；，，則（）A．為真命題 B．為真命題C．為真命題 D．為假命題8．已知圓：，圓：，點、分別是圓、圓上的動點，為軸上的動點，則的最大值是（）A． B．9 C．7 D．9．雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．10．德國數(shù)學家萊布尼茲(1646年-1716年)于1674年得到了第一個關于π的級數(shù)展開式,該公式于明朝初年傳入我國.在我國科技水平業(yè)已落后的情況下,我國數(shù)學家?天文學家明安圖(1692年-1765年)為提高我國的數(shù)學研究水平,從乾隆初年(1736年)開始,歷時近30年,證明了包括這個公式在內的三個公式,同時求得了展開三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個新級數(shù)公式,著有《割圓密率捷法》一書,為我國用級數(shù)計算π開創(chuàng)了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關于π的級數(shù)展開式”計算π的近似值(其中P表示π的近似值),若輸入,則輸出的結果是()A． B．C． D．11．已知的值域為，當正數(shù)a，b滿足時，則的最小值為（）A． B．5 C． D．912．設實數(shù)、滿足約束條件，則的最小值為（）A．2 B．24 C．16 D．14二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知三棱錐，，是邊長為4的正三角形，，分別是、的中點，為棱上一動點（點除外），，若異面直線與所成的角為，且，則______.14．在中，角的對邊分別為，且，若外接圓的半徑為，則面積的最大值是______.15．已知為橢圓上的一個動點，，，設直線和分別與直線交于，兩點，若與的面積相等，則線段的長為______.16．已知集合U＝{1,3,5,9}，A＝{1,3,9}，B＝{1,9}，則?U(A∪B)＝________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前n項和，是等差數(shù)列，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）令.求數(shù)列的前n項和.18．（12分）已知函數(shù)，其中．（1）討論函數(shù)的零點個數(shù)；（2）求證：．19．（12分）橢圓的左、右焦點分別為，橢圓上兩動點使得四邊形為平行四邊形，且平行四邊形的周長和最大面積分別為8和.（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線與橢圓的另一交點為，當點在以線段為直徑的圓上時，求直線的方程.20．（12分）已知函數(shù)（1）求f(x)的單調遞增區(qū)間；（2）△ABC內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若且A為銳角，a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面積.21．（12分）某調查機構對某校學生做了一個是否同意生“二孩”抽樣調查，該調查機構從該校隨機抽查了100名不同性別的學生，調查統(tǒng)計他們是同意父母生“二孩”還是反對父母生“二孩”，現(xiàn)已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，統(tǒng)計情況如下表：同意不同意合計男生a5女生40d合計100（1）求a，d的值，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有97.5%的把握認為是否同意父母生“二孩”與性別有關?請說明理由；（2）將上述調查所得的頻率視為概率，現(xiàn)在從所有學生中，采用隨機抽樣的方法抽取4位學生進行長期跟蹤調查，記被抽取的4位學生中持“同意”態(tài)度的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望.附：0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63522．（10分）在平面直角坐標系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），圓的方程為，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求和的極坐標方程；（2）過且傾斜角為的直線與交于點，與交于另一點，若，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

考慮既屬于又屬于的集合，即得.【詳解】.故選：【點睛】本題考查集合的交運算，屬于基礎題.2、D【解析】

試題分析：把函數(shù)圖象上各點的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），可得的圖象；再將圖象向右平移個單位，可得的圖象，那么所得圖象的一個對稱中心為，故選D.考點：三角函數(shù)的圖象與性質.3、B【解析】

根據(jù)函數(shù)，在上是單調函數(shù)，確定，然后一一驗證，A.若，則，由，得，但.B.由，，確定，再求解驗證.C.利用整體法根據(jù)正弦函數(shù)的單調性判斷.D.計算是否為0.【詳解】因為函數(shù)，在上是單調函數(shù)，所以，即，所以，若，則，又因為，即，解得，而，故A錯誤.由，不妨令，得由，得或當時，，不合題意.當時，，此時所以，故B正確.因為，函數(shù)，在上是單調遞增，故C錯誤.，故D錯誤.故選：B【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質及其應用，還考查了運算求解的能力，屬于較難的題.4、A【解析】

由折線圖找出水、電、交通開支占總開支的比例，再計算出水費開支占水、電、交通開支的比例，相乘即可求出水費開支占總開支的百分比.【詳解】水費開支占總開支的百分比為.故選：A【點睛】本題考查折線圖與柱形圖，屬于基礎題.5、D【解析】

根據(jù)條形圖可折線圖所包含的數(shù)據(jù)對選項逐一分析，由此得出敘述不正確的選項.【詳解】對于A選項，根據(jù)折線圖可知深圳的變化幅度最小，根據(jù)條形圖可知北京的平均價格最高，所以A選項敘述正確.對于B選項，根據(jù)折線圖可知天津的往返機票平均價格變化最大，所以B選項敘述正確.對于C選項，根據(jù)條形圖可知上海和廣州的往返機票平均價格基本相當，所以C選項敘述正確.對于D選項，根據(jù)折線圖可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五個城市的往返機票平均價格在增加，故D選項敘述錯誤.故選：D【點睛】本小題主要考查根據(jù)條形圖和折線圖進行數(shù)據(jù)分析，屬于基礎題.6、B【解析】

利用某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個數(shù)乘以抽樣比計算即可.【詳解】由題意，，解得.故選：B.【點睛】本題考查簡單隨機抽樣中的分層抽樣，某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個數(shù)乘以抽樣比，本題是一道基礎題.7、B【解析】

由的單調性，可判斷p是真命題；分類討論打開絕對值，可得q是假命題，依次分析即得解【詳解】由函數(shù)是R上的增函數(shù)，知命題p是真命題．對于命題q，當，即時，；當，即時，，由，得，無解，因此命題q是假命題．所以為假命題，A錯誤；為真命題，B正確；為假命題，C錯誤；為真命題，D錯誤．故選：B【點睛】本題考查了命題的邏輯連接詞，考查了學生邏輯推理，分類討論，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.8、B【解析】試題分析：圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑是．要使最大，需最大，且最小，最大值為的最小值為，故最大值是;關于軸的對稱點，，故的最大值為，故選B．考點：圓與圓的位置關系及其判定．【思路點睛】先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑，要使最大，需最大，且最小，最大值為的最小值為，故最大值是，再利用對稱性，求出所求式子的最大值．9、C【解析】

根據(jù)雙曲線的標準方程，即可寫出漸近線方程.【詳解】雙曲線,雙曲線的漸近線方程為，故選：C【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質，屬于容易題.10、B【解析】

執(zhí)行給定的程序框圖，輸入，逐次循環(huán)，找到計算的規(guī)律，即可求解.【詳解】由題意，執(zhí)行給定的程序框圖，輸入，可得：第1次循環(huán)：；第2次循環(huán)：；第3次循環(huán)：；第10次循環(huán)：，此時滿足判定條件，輸出結果，故選：B.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖的計算與輸出，其中解答中認真審題，逐次計算，得到程序框圖的計算功能是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.11、A【解析】

利用的值域為,求出m,再變形,利用1的代換,即可求出的最小值.【詳解】解：∵的值域為,∴,∴,∴,當且僅當時取等號,∴的最小值為.故選：A.【點睛】本題主要考查了對數(shù)復合函數(shù)的值域運用,同時也考查了基本不等式中“1的運用”,屬于中檔題.12、D【解析】

做出滿足條件的可行域，根據(jù)圖形即可求解.【詳解】做出滿足的可行域，如下圖陰影部分，根據(jù)圖象，當目標函數(shù)過點時，取得最小值，由，解得，即，所以的最小值為.故選：D.【點睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用數(shù)形結合求線性目標函數(shù)的最值，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

取的中點，連接，，取的中點，連接，，，直線與所成的角為，計算，，根據(jù)余弦定理計算得到答案。【詳解】取的中點，連接，，依題意可得，，所以平面，所以，因為，分別、的中點，所以，因為，所以，所以平面，故，故，故兩兩垂直。取的中點，連接，，，因為，所以直線與所成的角為，設，則，，所以，化簡得，解得，即.故答案為：.【點睛】本題考查了根據(jù)異面直線夾角求長度，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.14、【解析】

由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用化簡已知等式，結合范圍可求的值，利用正弦定理可求的值，進而根據(jù)余弦定理，基本不等式可求的最大值，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】解：，由正弦定理可得：，，，又，，，即，可得：，外接圓的半徑為，，解得，由余弦定理，可得，又，（當且僅當時取等號），即最大值為4，面積的最大值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．15、【解析】

先設點坐標，由三角形面積相等得出兩個三角形的邊之間的比例關系，這個比例關系又可用線段上點的坐標表示出來，從而可求得點的橫坐標，代入橢圓方程得縱坐標，然后可得．【詳解】如圖，設，，，由，得，由得，∴，解得，又在橢圓上，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查直線與橢圓相交問題，解題時由三角形面積相等得出線段長的比例關系，解題是由把線段長的比例關系用點的橫坐標表示．16、{5}【解析】易得A∪B＝A＝{1,3,9}，則?U(A∪B)＝{5}．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】試題分析：（1）先由公式求出數(shù)列的通項公式；進而列方程組求數(shù)列的首項與公差，得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，再利用“錯位相減法”求數(shù)列的前項和.試題解析：（1）由題意知當時，，當時，，所以．設數(shù)列的公差為，由，即，可解得，所以．（2）由（1）知，又，得，，兩式作差，得所以．考點1、待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項公式；2、利用“錯位相減法”求數(shù)列的前項和.【易錯點晴】本題主要考查待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項公式、利用“錯位相減法”求數(shù)列的前項和，屬于難題.“錯位相減法”求數(shù)列的前項和是重點也是難點，利用“錯位相減法”求數(shù)列的和應注意以下幾點：①掌握運用“錯位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積）；②相減時注意最后一項的符號；③求和時注意項數(shù)別出錯；④最后結果一定不能忘記等式兩邊同時除以.18、（1）時，有一個零點；當且時，有兩個零點；（2）見解析【解析】

（1）利用的導函數(shù)，求得的最大值的表達式，對進行分類討論，由此判斷出的零點的個數(shù).（2）由，得到和，構造函數(shù)，利用導數(shù)證得，即有，從而證得，即.【詳解】（1），∴當時，，當時，在上遞增，在上遞減，.令在上遞減，在上遞增，，當且僅當時取等號．①時，有一個零點；②時，，此時有兩個零點；③時，，令在上遞增，，此時有兩個零點；綜上:時，有一個零點;當且時，有兩個零點;（2）由（1）可知：，令在上遞增，．【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點，考查利用導數(shù)證明不等式，考查分類討論的數(shù)學思想方法，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.19、（1）（2）或【解析】

（1）根據(jù)題意計算得到，，得到橢圓方程.（2）設，聯(lián)立方程得到，根據(jù)，計算得到答案.【詳解】（1）由平行四邊形的周長為8，可知，即.由平行四邊形的最大面積為，可知，又，解得.所以橢圓方程為.（2）注意到直線的斜率不為0，且過定點.設，由消得，所以，因為，所以.因為點在以線段為直徑的圓上，所以，即，所以直線的方程或.【點睛】本題考查了橢圓方程，根據(jù)直線和橢圓的位置關系求直線，將題目轉化為是解題的關鍵.20、（1）（2）【解析】

（1）利用降次公式、輔助角公式化簡解析式，根據(jù)三角函數(shù)單調區(qū)間的求法，求得的單調遞增區(qū)間.（2）先由求得，利用正弦定理得到，結合余弦定理列方程，求得，由此求得三角形的面積.【詳解】（1）函數(shù)，，由，得.所以的單調遞增區(qū)間為.（2）因為且為銳角，所以.由及正弦定理可得