（重慶卷）（參考答案）2023年中考數(shù)學(xué)第一模擬考試卷

2023年中考數(shù)學(xué)第一次模擬考試卷(重慶卷)

數(shù)學(xué).參考答案

選擇題(共12個(gè)小題，每小題4分，共48分)在每個(gè)小題的下面，都給出了序號(hào)為A、

B、C、D的四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)正確的，請(qǐng)將答題卡上題號(hào)右側(cè)的正確答案所對(duì)應(yīng)

的方框涂黑.

123456789101112

ABACCABADBCA

第n卷

二.填空題(共4個(gè)小題，每小題4分，共16分)請(qǐng)將每小題的答案直接填在答題卡中對(duì)

應(yīng)的橫線上.

13.3.14.2.15.8百16.36%.

93

三、解答題(本大題共9個(gè)小題，17、18每小題8分，19-25每小題10分，共86分)解答

題時(shí)每小題必須給出必要的演算過(guò)程或推理步驟，畫(huà)出必要的圖形(包括作輔助線)，請(qǐng)

將解答過(guò)程書(shū)寫(xiě)在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上。

17.(8分)計(jì)算：

(1)(。+2)(〃-2)-a

(2)(jc+1--L.)+

x+1x2+x

［詳解］(1)-4-a2+3a=3a-4；

(2)原式=(，+2x+l_1)二(x+2)(x-2)=J+2x二(x+2)(x-2)=

x+1x+1x(x+1)x+1x(x+1)

x(x+2)乂x(x+l)=d

x+1(x+2)(x-2)x-2

18.(8分)如圖，^ABCDAD>AB,

(1)尺規(guī)作圖：在AO上截取AE,使得作NADC的平分線交3C于點(diǎn)尸(保

留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)；

(2)在(1)所作圖形中，連接BE,求證：四邊形3￡。尸是平行四邊形.(請(qǐng)補(bǔ)全下面

的證明過(guò)程，不寫(xiě)證明理由).

證明：尸平分NAOC,

???/CDF=/ADF

???在團(tuán)A3CO中，BC//AD,

:./ADF=/CFD

：.ZCDF=ZCFDf

：.CD=CF.

?.,在回ABC。中，AB=CD,

又：4E=AB,

：.AE=CF.

?.,在團(tuán)A8CD中，AD=BC,

：.AD-AE=BC-CF,

即DE=BF

又；DE//BF

：.四邊形BEDF是平行四邊形.

/.ZCDF=ZADF

?.,在團(tuán)ABC。中，BC//AD,

NADF=NCFD,

：.ZCDF=ZCFD,

：.CD=CF.

?.?在EL4BCC中，AB=CD,

又；AE=AB,

：.AE=CF.

；在團(tuán)ABC。中，AD=BC,

：.AD-AE=BC-CF,

即DE=BF,

又,：DE〃BF,

四邊形BE。尸是平行四邊形.

故答案為：/CDF=/ADF,NADF=NCFD,DE=BF,DE//BF.

19（10分）.2022年4月2日，中國(guó)人民銀行召開(kāi)數(shù)字人民幣研發(fā)試點(diǎn)工作座談會(huì)，在現(xiàn)有

試點(diǎn)地區(qū)基礎(chǔ)上增加重慶市等6個(gè)城市作為試點(diǎn)地區(qū)，某校數(shù)學(xué)興趣小組為了調(diào)查七、

八年級(jí)同學(xué)們對(duì)數(shù)字人民幣的了解程度，設(shè)計(jì)了一張含10個(gè)問(wèn)題的調(diào)查問(wèn)卷，在該校七、

八年級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并將結(jié)果整理、描述和分析，下面給出了部分

信息.

七年級(jí)20名學(xué)生答對(duì)的問(wèn)題數(shù)量為:

5556667777

888889991010

八年級(jí)20名學(xué)生答對(duì)的問(wèn)題數(shù)量的條形統(tǒng)i?圖如圖:

八年級(jí)抽取的學(xué)生答對(duì)問(wèn)題數(shù)量的條形統(tǒng)計(jì)圖

七、八年級(jí)抽取的學(xué)生答對(duì)問(wèn)題數(shù)量的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、答對(duì)8題及以上人數(shù)所

占百分比如表所示：兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)，優(yōu)秀率如表所示：

年級(jí)平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)答對(duì)8題及以上人數(shù)所占百分比

七年級(jí)7.4a7.550%

八年級(jí)7.88bc

根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：

(1)直接寫(xiě)出上述表中的a,b,c的值；

(2)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級(jí)中哪個(gè)年級(jí)的學(xué)生更了解數(shù)字人民幣？請(qǐng)說(shuō)

明理由(寫(xiě)出一條理由即可)；

(3)若答對(duì)7題及以上視為比較了解數(shù)字人民幣，該校七年級(jí)有800名學(xué)生，八年級(jí)有

700名學(xué)生，估計(jì)該校七年級(jí)和八年級(jí)比較了解數(shù)字人民幣的學(xué)生總?cè)藬?shù)是多少？

【詳解】(1)七年級(jí)20名學(xué)生答對(duì)的問(wèn)題數(shù)量為8個(gè)的出現(xiàn)次數(shù)最多，故眾數(shù)為8題,

故67=8,

從統(tǒng)計(jì)圖可知，八年級(jí)抽取的學(xué)生答對(duì)問(wèn)題數(shù)量的中位數(shù)為：8題，故6=8,

八年級(jí)抽取的學(xué)生答對(duì)問(wèn)題數(shù)量答對(duì)8題以上的有6+4+3=13(人)，

故八年級(jí)抽取的學(xué)生答對(duì)8題及以上人數(shù)所占百分比為」gxl00%=65%,故c=65%；

20

(2)八年級(jí)抽取的學(xué)生答對(duì)問(wèn)題數(shù)量的中位數(shù)及平均數(shù)均大于七年級(jí)抽取的學(xué)生答對(duì)問(wèn)

題數(shù)量的中位數(shù)及平均數(shù)，且八年級(jí)抽取的學(xué)生答對(duì)8題及以上人數(shù)所占百分比高于七

年級(jí)抽取的學(xué)生答對(duì)8題及以上人數(shù)所占百分比，故八年級(jí)的學(xué)生更了解數(shù)字人民幣.

(3)該校七年級(jí)和八年級(jí)比較了解數(shù)字人民幣的學(xué)生總?cè)藬?shù)是800x11+700x15=1085

2020

(人).

20.(10分)如圖，正比例函數(shù)yi=2x與反比例函數(shù)y上的圖象交于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)4的

2X

橫坐標(biāo)為2.

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，連接力，PB,若S△出B=20,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出不等式2x》s的解集.

【詳解】(1)當(dāng)冗=2時(shí)，由y=2x得y=4,

7A(2,4),

.?.4=K,即％=8,

2

?.?正比例函數(shù)yi=2x與反比例函數(shù)y上的圖象交于A,B兩點(diǎn),

2X

「?A、5關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

：.B(-2,-4)；

(2)點(diǎn)尸是x軸上一點(diǎn)，設(shè)P(加，0),

(4+4)=20,

解得m=±5,

：.P(5,0)或(-5,0)；

（3）由圖形可知，不等式2x/的解集是忘2或-2%<0.

x

21.（10分）為了盡快建一條全長(zhǎng)11000米的道路，安排甲乙兩隊(duì)合作完成任務(wù)，最終乙隊(duì)

所修的道路比甲隊(duì)所修的道路的兩倍少1000米.

（1）甲乙兩隊(duì)各修道路多少米？

（2）實(shí)際修建過(guò)程中，乙隊(duì)每天比甲隊(duì)多20米，最終乙隊(duì)完成任務(wù)時(shí)間是甲隊(duì)完成任

務(wù)時(shí)間的5倍，乙隊(duì)每天修建道路多少米？

4

【詳解】（1）設(shè)甲隊(duì)修道路x米，則乙隊(duì)修道路（2r-1000）米，

由題意得：x+2x-1000-11000,

解得：x=4000,

則1000=7000,

答：甲隊(duì)修道路4000米，乙隊(duì)修道路7000米；

（2）乙隊(duì)每天修建道路x米，則甲隊(duì)每天修建道路（x-20）米，

由題意得：7000=4000xN,

xx-204

解得：x=70,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=70是原方程的解，且符合題意，

答：乙隊(duì)每天修建道路70米.

22.（10分）如圖，某工程隊(duì)從A處沿正北方向鋪設(shè)了184米軌道到達(dá)B處.某同學(xué)在博物

館C測(cè)得A處在博物館C的南偏東27。方向，8處在博物館C的東南方向.（參考數(shù)據(jù)：

sin27°=0.45,cos27°~0.90,tan270~0.50,V6-2.45.）

（1）請(qǐng)計(jì)算博物館C到B處的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）博物館C周?chē)舾擅變?nèi)因有綠地不能鋪設(shè)軌道.某同學(xué)通過(guò)計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，軌道線路

鋪設(shè)到B處時(shí)，只需沿北偏東15。的2E方向繼續(xù)鋪設(shè)，就能使軌道線路恰好避開(kāi)綠地.請(qǐng)

計(jì)算博物館C周?chē)辽俣嗌倜變?nèi)不能鋪設(shè)軌道.（結(jié)果精確到個(gè)位）

2A

c

國(guó)i

在RtABCG中，/CBG=45。,

...△8CG是等腰直角三角形，

：.CG=BG,

設(shè)CG=BG=x米，則BC=&x米，

在RQACG中，NC4G=27°,tanZCAG=-^-=tan27°~0.50,

AG

.?.AG=2CG=Zt米，

"：AG=AB+BG=(184+x)米,

；?2F184+X,

解得：石184,

:.BC=?m84近（米），

答：博物館C到B處的距離約為184加米;

（2）如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CHL8E于點(diǎn)H,

由題意得：ZCBG=45°,NO8E=15。，

:.ZCBE=ZCBG+NDBE=60°,

由（1）可知，BCR84&米,

在RSC8”中,CH=BC*sm600~（米）,

答：博物館C周?chē)辽?25米內(nèi)不能鋪設(shè)軌道.

23.（10分）若一個(gè)四位自然數(shù)滿足千位數(shù)字比十位數(shù)字大3.百位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大3,

我們稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“多多數(shù)將一個(gè)“多多數(shù)'3各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字倒序排列可得到一個(gè)新的

四位數(shù)加，記尸（AH）=興-正_二54。,.

909

例如：，“=4512,；.W=2154,則F（4512）=4512-2154-540=2.

909

（1）判斷7643和4631是否為“多多數(shù)”?請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）若，為一個(gè)能被13整除的“多多數(shù)”，且尸（A）迎,求滿足條件的“多多數(shù)”A.

【詳解】（1）在7643中，7-4=3,6-3=3,

A7643是“多多數(shù)”，

在4631中，4-3=1,6-1=5,

???4631不是“多多數(shù)”；

(2)設(shè)A的個(gè)位數(shù)字為x,則百位數(shù)字為x+3,設(shè)8的十位數(shù)字為乃則千位數(shù)字為尹3,

則A=1000(y+3)+100(x+3)+10>^=1010y+10lx+3300,

A'=1000x+100)，+10(x+3)+y+3=1010x+101y+33,

A-A'=101Oy+lOlx+3300-(1010x+101/33)=909)，-909x+3267,

，⑷=3

?\y>x-3,

l<x49

04x+349'

l<y+3<9

解得lVx46

0<y<6

??"，y為整數(shù)，A為一個(gè)能被13整除的“多多數(shù)”,

.,.A=1010y+101x+3300=13(77y+7x+253)+9y+10x+ll,

當(dāng)x=l時(shí)，9)-10x+ll=9)，+21,滿足條件的只有y=2；

同理，當(dāng)x=2時(shí)，9y'+10x+ll=9y+31,沒(méi)有滿足條件的y；

當(dāng)x=3時(shí)，9y+10x+ll=9)，+4I,沒(méi)有滿足條件的y；

當(dāng)x=4時(shí)，9y+10x+ll=9y+51,滿足條件的只有y=3；

當(dāng)x=5時(shí)，9/10x+ll=9)，+61,沒(méi)有滿足條件的y；

當(dāng)x=6時(shí)，9y+10x+ll=9y+71,沒(méi)有滿足條件的y.

綜上所述，滿足條件的“多多數(shù)”為5421或6734.

24.(10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/+for+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0),B(1,

2

0),直線)=》+上與拋物線交于C,。兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線在第四象限內(nèi)圖象上的一個(gè)動(dòng)

2

點(diǎn).過(guò)點(diǎn)尸作PGJ_CZ),垂足為G,PQ〃y軸，交x軸于點(diǎn)Q.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式：

(2)當(dāng)&PG+PQ取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和&PG+P。的最大值；

(3)將拋物線向右平移」③個(gè)單位得到新拋物線，M為新拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)N

4

是平面內(nèi)一點(diǎn).當(dāng)(2)中&PG+PQ最大時(shí)，直接寫(xiě)出所有使得以點(diǎn)A,P,M,N為

頂點(diǎn)的四邊形是菱形的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)N的坐標(biāo)的過(guò)程寫(xiě)出來(lái).

備用圖

【詳解】(1)...拋物線y=/+bx+c與x軸交于A(-1,0),B(20)兩點(diǎn),

…=。g2

拋物線的解析式為：-1.

22

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)尸作PE〃x軸交CO于點(diǎn)E,

.?.△PGE是等腰直角三角形，

：.PE=y/2PG,

設(shè)點(diǎn)P(f,則0(7,0),EP-3-包),

22222

."0=-p+M+S,PE=t-(p--3)=-P+Sf+3,

2222

，版PG+PQ=PE+PQ

=-八&+3+(-尸+號(hào)+5)

222

=-2(f-1)2+生，

2

：-2<0,

當(dāng)點(diǎn)尸(1,-3)時(shí)，MPG+PQ的最大值為為■.

2

(3)存在點(diǎn)N,使以點(diǎn)A,P,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，理由如下：

(-1,0),B(互，0),

2

v原拋物線的軸對(duì)稱(chēng)為直線x=3

4

.?.新拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為：直線x=4,并設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)尸；

由(2)知P(1,-3),

,,MP=^22+32=V13-

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,s),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(加，〃)，

當(dāng)AP為菱形的邊時(shí)，

①以點(diǎn)尸為圓心，AP長(zhǎng)為半徑作圓，交直線x=4于點(diǎn)Mi，M2,過(guò)點(diǎn)P作PGJ_y軸交

直線x=4于點(diǎn)R,如圖所示，

：.M\F=\,MiF=5,

：.M\(4,-1),Mi(4,-5),

VA(-1,0),P(1,-3),

二點(diǎn)A向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度可得到點(diǎn)P,

...點(diǎn)Ml(4,-1)向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度可得到點(diǎn)M(2,2),

同理可得，N2(2,-2)；

②以點(diǎn)A為圓心，AP長(zhǎng)為半徑作圓，

尸=5,且

此圓與直線x=4無(wú)交點(diǎn)；此時(shí)不存在點(diǎn)M不能構(gòu)成菱形.

當(dāng)AP為菱形的對(duì)角線時(shí)，為另一對(duì)角線，AP垂直平分MM此時(shí)AP的中點(diǎn)為(0,

-1),如圖所示，

2

設(shè)MN與直線x=4的交點(diǎn)為M3,

；點(diǎn)A(-1,0),P(1,-3),

???直線AP的解析式為：尸-當(dāng)一旦.

22

直線MN的解析式為：y=2r-3.

32

二%(4,4)，

6

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，N3(-4,-空).

6

綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為M(2,2),N2(2,-2),M(-4,-里0.

6

25.(10分)如圖.已知ZVlBC為等腰直角三角形，ZA=90°,。、E分別為AC、BC上的

兩點(diǎn)，CD八歷BE，連接。E,將。E繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得EF,連接。尸與AB交于

點(diǎn)M.

(1)如圖1,當(dāng)NOEC=30。時(shí)，若BC=2+V^，求4。的長(zhǎng)；

(2)如圖2,連接CF,N為CP的中點(diǎn)，連接求證:MN冬E；

(3)如圖3,連接4F,將AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得AG,連接FG、BG、CG,若AC

=4,當(dāng)AACG周長(zhǎng)取得最小值時(shí)，直接寫(xiě)出ABCG的面積.

G

圖3

【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)。作。H，8C,垂足為“，如圖1：

設(shè)BE=a,則CD=?BE=Ha,

：△ABC是等腰直角三角形，ZA=90°,

；.NB=NC=45。，

:DHLBC,

：.NDHC=90°,

AZ/7DC=90°-ZC=45°,

：.DH=CH,

/\DHC為等腰直角三角形，

：.DH=CH=^=J^-=a,

V2V2

VZD￡C=30°,

：.DE=2DH=2a,

；?E"=A/DE2-DH2r（2a）2-a2=貶a,

**?BC=BE+EH+HC=—2a+J^cb

又???8C=2+F，

2。+J^a=2+,

,Q=1,

***CD=*V^〃=

?「△ABC是等腰直角三角形，

.?.叱=尊=2g

V2V22

.?.AO=4C-8=6-&=乎；

(2)證明：連接BF、ME,過(guò)點(diǎn)。作。HLBC,垂足為H,如圖2：

圖2

由旋轉(zhuǎn)可得：月力;切且/0所二鄉(xiāng)。。，

：.NDEH+NFEB=9。。,

"DHYBC,

：.ZDEH+ZEDH=90°,

：./FEB=ZEDH,

'：CD=\l2BE,且CD=?HD,

：.BE=HD,

在△尸E8和AE?！敝?，

'FE=ED

<NFEB=NEDH，

BE=HD

:./XFEB空/\EDH(SAS),

NFBE=NEHD=90°,

,:ED=EF,且/￡>EF=90°,

：.ZEFD=ZEDF=45°,

又；/ABC=45°,

NEFD=/ABC=45°,即NEFM=NMBE=45。,

:.F、B、E、M四點(diǎn)共圓，即四邊形尸BEM為圓內(nèi)接四邊形,

：.ZFBE+ZFME=180°,

ZFME=180°-ZFBE=180°-90°=90°,

：.EMLFM,

又,：EF=ED,

：.FM=DM(三線合一)，

.?.點(diǎn)M是。尸的中點(diǎn)，

又：點(diǎn)N是CF的中點(diǎn)，

:.MN是4DFC的中位線,

:.MN=LDC,

2

,:CD=MBE,

2

(3)以AB為邊向外作等邊三角形AABP,連接BF,如圖3：

由旋轉(zhuǎn)可得：AF=AG,且/陽(yáng)G=60。，

二.△AG尸為等邊三角形，

:△AB尸為等邊三角形，

：.AB=AP,且NBAP=60°,

：.ZFAG^ZBAP=60°,

：.ZFAG+ZPAF^ZBAP+ZFAF,

：.ZBAF=ZPAG,

在ZiBAF和ARIG中，

'AB=AP

,NBAF=/PAG，

AF=AG

:.XBAF烏APAG(SAS),

/.ZABF=NAPG,

由(2)可知，ZFBE=90°,

：.ZABF=NFBE-NABC=90°-45°=45°,

二/APG=/ABF=45。，

：AP是一條定線段，NAPG=45。說(shuō)明。、E運(yùn)動(dòng)時(shí)，尸隨之運(yùn)動(dòng)，G也隨之運(yùn)動(dòng)，但G

始終在與線段AD成45。角的直線上運(yùn)動(dòng)，或者說(shuō)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與

AP夾角大小為45。的直線，即圖3中的直線產(chǎn)。，

作點(diǎn)C關(guān)于直線KQ的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，，連接AC交KQ于點(diǎn)G,連接CG,此時(shí)2ACG的周長(zhǎng)

最小，

設(shè)C