九年級數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課的構(gòu)建及教學(xué)策略

摘要：九年級數(shù)學(xué)綜合復(fù)習(xí)課的學(xué)習(xí)效果直接影響學(xué)生的數(shù)學(xué)中考備考。教師應(yīng)以整體性和系統(tǒng)性思維為核心，將初中數(shù)學(xué)教材中零散的知識點(diǎn)重新整合成一個(gè)個(gè)知識模塊，以技能的訓(xùn)練、概念知識的關(guān)聯(lián)、數(shù)學(xué)思想方法的提煉等分別構(gòu)建尺規(guī)作圖專題復(fù)習(xí)課、平行四邊形專題復(fù)習(xí)課和二次函數(shù)專題復(fù)習(xí)課，從教學(xué)實(shí)踐出發(fā)發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主體作用，落實(shí)專題復(fù)習(xí)的專項(xiàng)訓(xùn)練，從而提高九年級數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)的教學(xué)質(zhì)量。關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；專題復(fù)習(xí)；尺規(guī)作圖；平行四邊形；二次函數(shù)復(fù)習(xí)是學(xué)生再認(rèn)識和深化理解已學(xué)知識，對知識進(jìn)行歸納和總結(jié)，形成知識體系的過程。復(fù)習(xí)課用于指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，鞏固基礎(chǔ)知識和基本技能，使學(xué)生所學(xué)知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，進(jìn)而提高學(xué)生的學(xué)業(yè)水平。目前初中九年級數(shù)學(xué)綜合復(fù)習(xí)教學(xué)存在一些問題，影響了學(xué)生的數(shù)學(xué)中考備考。如：部分教師在復(fù)習(xí)課中仍然堅(jiān)持按照教材所規(guī)定的章節(jié)進(jìn)行按部就班、形式單一的練習(xí)，不利于學(xué)生構(gòu)建知識框架；部分教師在復(fù)習(xí)階段，沒有幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知，而是讓學(xué)生盲目刷題，導(dǎo)致學(xué)生復(fù)習(xí)效率低下。學(xué)生在有限的備考時(shí)間內(nèi)無法將數(shù)學(xué)知識連成一個(gè)有機(jī)的整體，不能內(nèi)化和掌握技能、方法，綜合運(yùn)用知識分析問題和解決問題的能力便得不到提高［1］。如何遵循正確的途徑和方法進(jìn)行高效的復(fù)習(xí)課教學(xué)呢？筆者結(jié)合多年初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，提出了專題復(fù)習(xí)教學(xué)策略。專題復(fù)習(xí)教學(xué)是一種以特定主題為基礎(chǔ)，教師將相關(guān)知識有機(jī)融合，遵循鞏固性、綜合性、層次性、遷移性原則組織學(xué)生進(jìn)行高效復(fù)習(xí)的一種復(fù)習(xí)課教學(xué)方法，有利于全面提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。在初中數(shù)學(xué)九年級綜合復(fù)習(xí)中，專題復(fù)習(xí)體現(xiàn)了教師的知識整合能力和綜合教學(xué)能力。教師以整體性和系統(tǒng)性思維為核心，將初中數(shù)學(xué)教材中零散的知識點(diǎn)重新整合成一個(gè)知識模塊，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，梳理知識之間的關(guān)系，歸納出相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，與學(xué)生探討解決問題的方法技能，促使學(xué)生更好地總結(jié)、提煉數(shù)學(xué)思想方法，構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)知識體系。專題復(fù)習(xí)的切口較小，可以避免學(xué)生出現(xiàn)思維跳躍的狀況，降低復(fù)習(xí)的難度，提高復(fù)習(xí)的效率［2］。一、以技能的訓(xùn)練構(gòu)建尺規(guī)作圖專題復(fù)習(xí)課在九年級數(shù)學(xué)綜合復(fù)習(xí)中，教師可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況對章節(jié)知識進(jìn)行整理，制作成數(shù)學(xué)技能訓(xùn)練專題課，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)技能進(jìn)行系統(tǒng)的復(fù)習(xí)。教師引導(dǎo)學(xué)生積極參與技能訓(xùn)練，分情況、分種類對技能進(jìn)行強(qiáng)化，有利于學(xué)生深入學(xué)習(xí)知識和運(yùn)用技能解決問題。尺規(guī)作圖是中考必考內(nèi)容之一，每一項(xiàng)作圖技能學(xué)生都必須熟練掌握，因此教師應(yīng)把尺規(guī)作圖作為重點(diǎn)技能進(jìn)行專題訓(xùn)練。（一）尺規(guī)作圖專題復(fù)習(xí)應(yīng)注意的教學(xué)環(huán)節(jié)在初中數(shù)學(xué)尺規(guī)作圖專題復(fù)習(xí)中，學(xué)生需要通過掌握尺規(guī)作圖的基礎(chǔ)知識和基本工具、了解不同作圖命題和相關(guān)的幾何概念、熟悉常見的作圖構(gòu)造和技巧等，不斷提高自己的答題能力。初中階段的尺規(guī)作圖主要有過一個(gè)點(diǎn)作已知直線的垂線、作已知線段的垂直平分線、截取線段等于已知線段、作一個(gè)角等于已知角、作一個(gè)角的角平分線。教師可以依照“知識導(dǎo)入—原理解釋—基本規(guī)則—練習(xí)演示—錯(cuò)誤分析—拓展應(yīng)用”教學(xué)環(huán)節(jié)（如表1），引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)尺規(guī)作圖相關(guān)知識。學(xué)生通過實(shí)踐練習(xí)，可逐漸提高在尺規(guī)作圖方面的解題技巧與學(xué)業(yè)水平。表1尺規(guī)作圖專題復(fù)習(xí)應(yīng)注意的教學(xué)環(huán)節(jié)[教學(xué)環(huán)節(jié)復(fù)習(xí)內(nèi)容知識導(dǎo)入引導(dǎo)學(xué)生回顧相關(guān)的幾何基礎(chǔ)知識，如線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等，提出問題，使學(xué)生產(chǎn)生用尺規(guī)作圖的需要，從而了解尺規(guī)作圖的重要性原理解釋向?qū)W生簡要介紹尺規(guī)作圖的原理和基本概念，如尺子、圓規(guī)的用途及特點(diǎn)等。解釋清楚尺規(guī)作圖是基于已知條件利用尺規(guī)進(jìn)行構(gòu)圖的方法基本規(guī)則詳細(xì)介紹尺規(guī)作圖的基本規(guī)則和步驟，如利用尺規(guī)作等分線段、平行線、垂直線、角平分線等操作，強(qiáng)調(diào)每一步的操作要點(diǎn)和技巧練習(xí)演示給學(xué)生提供一些簡單的練習(xí)題，演示具體的尺規(guī)作圖過程。選擇一些具有代表性的例題，讓學(xué)生跟隨教師一起完成作圖，并解釋每一步的操作原因和思路錯(cuò)誤分析引導(dǎo)學(xué)生分析常見的尺規(guī)作圖錯(cuò)誤原因，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并提出改進(jìn)方法，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和創(chuàng)新思維拓展應(yīng)用給學(xué)生提供一些有挑戰(zhàn)性的綜合性問題，讓學(xué)生嘗試運(yùn)用尺規(guī)作圖解決，培養(yǎng)學(xué)生的問題分析和解決能力]（二）復(fù)習(xí)中注意將作圖原理與作圖技巧相結(jié)合尺規(guī)作圖專題復(fù)習(xí)的教學(xué)目標(biāo)是提高學(xué)生的思維能力和解題技巧，幫助學(xué)生高效完成作圖任務(wù)。學(xué)生在解答作圖題時(shí)，要清晰地表達(dá)出每個(gè)步驟的邏輯推理和依據(jù)，以確保解答的科學(xué)性、嚴(yán)密性和準(zhǔn)確性。教師要利用初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試試題中的作圖題對學(xué)生進(jìn)行鞏固訓(xùn)練，讓學(xué)生把五種基本作圖原理牢記于心，掌握常見的作圖技巧。例如，作已知角的角平分線、作兩條已知線段的等分線，是解決一些較為復(fù)雜的作圖問題的基礎(chǔ)。教師可以設(shè)計(jì)尺規(guī)作圖訓(xùn)練題（如圖1），通過一圖專訓(xùn)的專題設(shè)計(jì)方法，讓學(xué)生體會到五種基本作圖原理與技巧在實(shí)戰(zhàn)中的應(yīng)用。[例題：已知Rt△ABC，∠C=90°，請同學(xué)們運(yùn)用尺規(guī)作出∠ABC的角平分線，交AC于點(diǎn)D。]圖1尺規(guī)作圖訓(xùn)練題教師結(jié)合題目引導(dǎo)學(xué)生回顧作角平分線的知識，并演示具體的尺規(guī)作圖過程：首先以點(diǎn)B為圓心，以a為半徑畫弧，分別交AB、BC邊于點(diǎn)G、H；其次分別以點(diǎn)G、H為圓心，以b為半徑畫弧，兩弧在∠ABC內(nèi)相交于點(diǎn)P，最后連接BP并延長交AC邊于點(diǎn)D，線段BD即是所求∠ABC的角平分線。畫角的平分線并不復(fù)雜，但是理解作圖原理，明白其中半徑的限定條件，卻是學(xué)生容易忽視的知識內(nèi)容。因此，教師結(jié)合畫圖操作提出問題：“畫法中的半徑a、b的值有無限制？”學(xué)生在教師的問題驅(qū)動下嘗試幾種畫法，最后總結(jié)得出半徑a>0，半徑b>[12]GH的結(jié)論。教師還可以利用一圖多問的不同設(shè)問形式，如作AC邊的垂直平分線、作AB邊的中線、作AB邊上的高、過點(diǎn)C作直線CF∥AB等，幫助學(xué)生掌握尺規(guī)作圖的基本方法和技巧。教師在尺規(guī)作圖解答問題的演示過程中，應(yīng)該清晰地演示每一步的操作，并引導(dǎo)學(xué)生思考和討論；根據(jù)學(xué)生的實(shí)際水平和能力，將尺規(guī)作圖與其他數(shù)學(xué)知識相聯(lián)系，如與平面幾何、三角函數(shù)等內(nèi)容進(jìn)行關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生深入理解基本作圖原理和運(yùn)用尺規(guī)作圖解決數(shù)學(xué)問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生的幾何思維。二、以概念知識的關(guān)聯(lián)構(gòu)建平行四邊形專題復(fù)習(xí)課初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)重點(diǎn)在于指引學(xué)生主動回顧、整理知識，梳理知識脈絡(luò)，將零散的知識點(diǎn)有機(jī)地連接起來，從而實(shí)現(xiàn)對所學(xué)知識的融會貫通［3］。數(shù)學(xué)中考一般會結(jié)合平移、折疊、軸對稱等綜合性問題對平行四邊形的概念、性質(zhì)和判定方法進(jìn)行考查。在平行四邊形專題復(fù)習(xí)課中，教師應(yīng)該以概念知識、圖形的變化等設(shè)問，讓學(xué)生思考、討論和解答，培養(yǎng)學(xué)生的問題分析能力和問題解決能力。同時(shí)教師還應(yīng)提供一些拓展性的題目，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和綜合應(yīng)用能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。（一）運(yùn)用概念圖進(jìn)行平行四邊形概念知識的復(fù)習(xí)平行四邊形包含了矩形、正方形和菱形，每一種圖形至少有兩種判定方法。在解題過程中，學(xué)生需要通過一定的方法證明圖形是平行四邊形或是哪一種特殊的平行四邊形。學(xué)生會出現(xiàn)審題困難和概念知識混淆的狀況，難以通過概念、性質(zhì)和判定方法進(jìn)行證明。在平行四邊形專題復(fù)習(xí)課中，教師可引導(dǎo)學(xué)生回顧平行四邊形的知識點(diǎn)，通過繪制概念圖展示圖形的差異性（如圖2），在概念圖中注明判定方法，幫助學(xué)生理解一般平行四邊形與特殊平行四邊形的關(guān)系。概念圖是一種以節(jié)點(diǎn)為代表、以連線為表達(dá)方式的圖形展示方法，用以呈現(xiàn)概念之間的關(guān)系。一般平行四邊形與特殊平行四邊形概念圖不僅能以清晰明了的方式呈現(xiàn)各類圖形之間的相互關(guān)系，而且能清晰地呈現(xiàn)各類圖形的判定方法。圖2一般平行四邊形與特殊平行四邊形概念圖（二）通過題目條件的變化進(jìn)行變式訓(xùn)練教師在對平行四邊形題目進(jìn)行講解時(shí)，可以對一個(gè)圖形加以剖解，讓學(xué)生抓住圖形中的概念知識抽象出來形成模型，通過題目條件的變化進(jìn)行變式訓(xùn)練，加深學(xué)生對平行四邊形判定方法的理解，培養(yǎng)學(xué)生對知識的遷移運(yùn)用能力。當(dāng)學(xué)生遇到同類型題目時(shí)，就會有正確的思考方向和解題方法。綜合性復(fù)習(xí)需要學(xué)生具備較高的綜合知識運(yùn)用能力，教師在專題復(fù)習(xí)教學(xué)中應(yīng)注重變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考和解決問題。針對平行四邊形的判定例題（如圖3），教師先讓學(xué)生通過判定方法推導(dǎo)出四邊形EGFH是平行四邊形。接著，教師示范給題目添加條件，如添加了“EF⊥GH”這個(gè)條件，使得四邊形EGFH轉(zhuǎn)變?yōu)閷蔷€互相垂直的菱形。[例題：在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O畫出直線EF、GH分別與平行四邊形的邊相交，連接EG、GF、FH、HE如圖所示。請問四邊形EGFH是什么形狀？]圖3平行四邊形的判定例題師：除此之外，同學(xué)們可以添加其他什么條件，推導(dǎo)或者通過繪制精確的圖形來得出相應(yīng)的結(jié)論？生1：添加“AC=BD”一個(gè)條件，平行四邊形ABCD變?yōu)榫匦?，四邊形EGFH是平行四邊形（如圖4）。生2：添加“AC=BD，EF⊥GH”兩個(gè)條件，平行四邊形ABCD變?yōu)榫匦危倪呅蜤GFH是菱形（如圖5）。生3：添加“AC=BD，EF⊥GH，AC⊥BD”三個(gè)條件，平行四邊形ABCD變?yōu)檎叫?，四邊形EGFH是正方形（如圖6）。圖4

圖5

圖6教師將圖形模型條件的變化與概念知識進(jìn)行串聯(lián)，使學(xué)生對平行四邊形概念知識有一個(gè)清晰的認(rèn)識，明確各個(gè)知識點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系和內(nèi)在聯(lián)系，通過變式訓(xùn)練區(qū)別每個(gè)圖形模型中的不同點(diǎn)，有助于學(xué)生完善平行四邊形的知識框架，在解決問題時(shí)能夠游刃有余，從而有效提高了復(fù)習(xí)效果。三、以數(shù)形結(jié)合思想構(gòu)建二次函數(shù)專題復(fù)習(xí)課我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說：數(shù)無形時(shí)少直觀，形無數(shù)時(shí)難入微。教師在初中數(shù)學(xué)九年級綜合復(fù)習(xí)教學(xué)中要做好數(shù)與形關(guān)系的揭示與轉(zhuǎn)化，有目的、有計(jì)劃地進(jìn)行數(shù)形結(jié)合教學(xué)，使學(xué)生逐步形成數(shù)形結(jié)合思想，并使之成為解決數(shù)學(xué)問題的工具。二次函數(shù)在數(shù)學(xué)中考中占的分值較大，但由于其綜合性強(qiáng)，考生在二次函數(shù)解題過程中正確率不高。數(shù)形結(jié)合思想可以使一些抽象的、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題形象化、簡單化，有助于學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，從而解決問題。在二次函數(shù)專題復(fù)習(xí)課中，教師應(yīng)注重解題方法的提煉，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生通過把數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)問題或把圖形性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問題，感悟數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)解題中的重要作用，從而提高解題能力。（一）數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生理解二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的題設(shè)和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其數(shù)量關(guān)系，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，并充分利用這種結(jié)合探求解決問題的思想方法。學(xué)生只有在對二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)充分理解的前提下，才能根據(jù)函數(shù)表達(dá)式或圖象來分析數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合。教師在二次函數(shù)專題復(fù)習(xí)教學(xué)中，應(yīng)注重訓(xùn)練學(xué)生將二次函數(shù)的文字語言、圖象語言和符號語言進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，把“數(shù)”對應(yīng)的“形”找出來，加強(qiáng)學(xué)生對二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)的理解。首先，教師讓學(xué)生從最簡單的二次函數(shù)y=ax2入手，逐步過渡到y(tǒng)=ax2+k、y=a（x-h）2、y=a（x-h）2+k，通過列表格觀察數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，作圖把函數(shù)表達(dá)式的特征在圖象中呈現(xiàn)出來，觀察常數(shù)a、h、k與圖象的對應(yīng)關(guān)系，完成由數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為圖形的過程。其次，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察二次函數(shù)y=ax2的圖象，讓學(xué)生通過圖象的平移變換，認(rèn)識y=a（x-h）2+k型二次函數(shù)的圖象特征，體會常數(shù)a、h、k在圖象中的作用，從而掌握二次函數(shù)的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、y的最大值或最小值等性質(zhì)。學(xué)生在理解y=a（x-h）2+k型二次函數(shù)圖象特征的基礎(chǔ)上，通過代數(shù)式的變換，得出y=ax2+bx+c型二次函數(shù)的性質(zhì)，完成由圖形轉(zhuǎn)化為文字的過程。經(jīng)歷了以上復(fù)習(xí)過程以后，學(xué)生便可以根據(jù)任意一個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式，在頭腦中呈現(xiàn)出該函數(shù)的大致圖象；還可以根據(jù)二次函數(shù)圖象的特征，確定表達(dá)式中常數(shù)的取值情況。（二）找準(zhǔn)解題突破口，搭建數(shù)與形之間的橋梁將數(shù)形結(jié)合思想用于理解和解決二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)的問題，學(xué)生還必須根據(jù)實(shí)際條件找準(zhǔn)解題突破口，搭建數(shù)與形之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的有效結(jié)合。二次函數(shù)與一元二次方程和一元二次不等式有著密切的聯(lián)系，如何理解三者之間的關(guān)系，是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一，借助數(shù)形結(jié)合直觀反映三者之間的聯(lián)系，有利于提高學(xué)生的綜合分析能力和靈活解決問題的能力。初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要是以形輔數(shù)，教師可以選取二次函數(shù)典型例題（如圖7）進(jìn)行分析講解，突出數(shù)形結(jié)合思想的指導(dǎo)作用。教師從圖象入手，讓學(xué)生理解函數(shù)圖象與性質(zhì)之間的聯(lián)系，并在此基礎(chǔ)上通過問題引導(dǎo)，幫助學(xué)生厘清二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式三者的關(guān)系。學(xué)生根據(jù)題目所提供的圖象及已知條件提取準(zhǔn)確的信息解決二次函數(shù)相關(guān)問題，并依據(jù)二次函數(shù)圖象的幾何含義運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解答問題。[例題：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的圖象如圖所示。（1）當(dāng)x取什么值時(shí)，函數(shù)值y>0？（2）分別求出方程x2+bx+c=0，ax2+bx+c=4，ax2+bx+c=5的解，根據(jù)上述解的情況，若方程ax2+bx+c=k有解，試求k的取值范圍。（3）當(dāng)x取什么值時(shí)，函數(shù)值0≤y≤3？]圖7二次函數(shù)典型例題教師通過提問，讓學(xué)生從數(shù)和形兩個(gè)方面回憶二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)。師：不進(jìn)行計(jì)算，同學(xué)們直接從函數(shù)圖象可以得到哪些信息？請從數(shù)和形兩個(gè)方面去歸納。生1：函數(shù)圖象是一條拋物線，開口向下，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，與y軸有一個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)x<1時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而減小。生2：函數(shù)圖象的對稱軸是x=1，與x軸的交點(diǎn)分別是（-1，0），（3，0），與y軸的交點(diǎn)是（0，3）。當(dāng)x<-1或x>3時(shí)，y<0；當(dāng)-1<x0。</x對于第（1）問，可能會有部分學(xué)生通過解一元二次不等式ax2+bx+c>0求出x的取值范圍，由于一元二次不等式學(xué)生可能不太會解，會得出一些錯(cuò)解。此時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察二次函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)不等式ax2+bx+c>0的解集，就是拋物線位于x軸上方部分對應(yīng)自變量x的取值范圍，初步學(xué)會運(yùn)用數(shù)