5.3.5-隨機事件的獨立性教學(xué)設(shè)計

5.3.5隨機事件的獨立性本節(jié)課是概率的第5節(jié)內(nèi)容，安排在學(xué)習(xí)了古典概型，頻率與概率的關(guān)系之后，統(tǒng)計和概率的綜合應(yīng)用之前。隨機事件的獨立性是概率論非常重要的概念之一，它的引進(jìn)極大地推動了概率論的發(fā)展，概率論中很多重要地結(jié)論大都是在獨立論地假定下獲得的。對于高中階段的概率知識來說，獨立性的概念的引入，一方面很大程度上簡化了多個事件同時發(fā)生的概率的求法，另一方面也為后續(xù)二項分布等的介紹做鋪墊。不過，需要注意的是，隨機事件的獨立性是一個比較抽象的概念，要對獨立性產(chǎn)生準(zhǔn)確理解，并不是一件容易的事。本節(jié)課的教學(xué)重點是通過實例，讓學(xué)生理解兩個隨機事件的獨立性的意義，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，并掌握相互獨立事件的概率乘法公式，運用公式求事件的概率，提升數(shù)學(xué)運算，邏輯推理的核心素養(yǎng).考點教學(xué)目標(biāo)核心素養(yǎng)獨立事件的定義結(jié)合實例，理解兩個隨機事件獨立的意義，并會判斷兩個事件的獨立性數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理概率的乘法公式理解概率的乘法公式數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理互斥事件的概率加法公式和獨立事件的概率乘法公式掌握并綜合運用互斥事件的概率加法公式和獨立事件的概率乘法公式解題邏輯推理，數(shù)學(xué)運算【教學(xué)重點】獨立事件的定義、概率的乘法公式、互斥事件的概率加法公式和獨立事件的概率乘法公式【教學(xué)難點】判斷兩個隨機事件的獨立性，互斥和獨立的區(qū)別與聯(lián)系引入：解答：如果用表示甲選的是第i天，乙選的是第j天，則樣本空間可以記為：共包含6個樣本點.又因為：因此，可以算出：知識點1：隨機事件獨立性的定義（1）一般地，當(dāng)時，就稱A與B相互獨立（簡稱獨立），事件A與B相互獨立的直觀理解是，事件A是否發(fā)生不會影響事件B發(fā)生的概率，事件B是否發(fā)生也不會影響事件A發(fā)生的概率.（2）如果事件A與B相互獨立，則與B，A與，與也相互獨立.（3）對于n個事件A1，A2，…，An，如果其中任一個事件發(fā)生的概率不受其他事件是否發(fā)生的影響，則稱n個事件A1，A2，…，An相互獨立．知識點2：獨立事件的概率乘法公式（1）若A與B相互獨立，則，同時，，;(2)若兩兩獨立，則.例1.甲、乙兩人各擲一個骰子，觀察朝上的面的點數(shù)，記事件A：甲得到的點數(shù)為2，B：乙得到的點數(shù)為奇數(shù).（1）求，判斷事件A與B是否相互獨立；（2）求解：如果用表示甲得到的點數(shù)，乙得到的點數(shù)，則樣本空間可以記為：而且這個樣本空間可用如圖直觀表示.（1）不難看出，圖中橙色框中的點代表事件A，綠色框中的點代表事件B因此，可以算出又因為，所以因為，所以A與B相互獨立.(2)由A與B相互獨立可知，與B也相互獨立，因此：【解題方法】有兩種方法判斷兩事件是否具有獨立性(1)定義法：直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響．(2)公式法：檢驗P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．【變式練習(xí)】壇子中放有3個白球，2個黑球，從中進(jìn)行不放回地取球2次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，則A1和A2是()A．互斥的事件B．相互獨立的事件C．對立的事件D．不相互獨立的事件解析：∵P(A1)＝eq\f(3,5).若A1發(fā)生了，P(A2)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)；若A1不發(fā)生，P(A2)＝eq\f(3,4)，即A1發(fā)生的結(jié)果對A2發(fā)生的結(jié)果有影響，∴A1與A2不是相互獨立事件．答案：D例2.(1)甲、乙兩名射手同時向一目標(biāo)射擊，設(shè)事件A：“甲擊中目標(biāo)”，事件B：“乙擊中目標(biāo)”，則事件A與事件B()A．相互獨立但不互斥B．互斥但不相互獨立C．相互獨立且互斥D．既不相互獨立也不互斥(2)擲一顆骰子一次，設(shè)事件A：“出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件B：“出現(xiàn)3點或6點”，則事件A，B的關(guān)系是()A．互斥但不相互獨立B．相互獨立但不互斥C．互斥且相互獨立D．既不相互獨立也不互斥解析：(1)對同一目標(biāo)射擊，甲、乙兩射手是否擊中目標(biāo)是互不影響的，所以事件A與B相互獨立；對同一目標(biāo)射擊，甲、乙兩射手可能同時擊中目標(biāo)，也就是說事件A與B可能同時發(fā)生，所以事件A與B不是互斥事件．(2)事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，基本事件空間Ω＝{1,2,3,4,5,6}．所以P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)，即P(AB)＝P(A)P(B)，因此，事件A與B相互獨立．當(dāng)“出現(xiàn)6點”時，事件A，B同時發(fā)生，所以A，B不是互斥事件．[答案](1)A(2)B【解題方法】隨機事件互斥的區(qū)別與聯(lián)系（1）二者都是刻畫隨機事件的關(guān)系（2）兩事件互斥是指兩個隨機事件不會同時發(fā)生，此時兩事件獨立是指兩個事件不相互影響，此時【變式練習(xí)】已知下列各對事件：(1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生．今從甲、乙兩組中各選一名同學(xué)參加游園活動．“從甲組中選出一名男生”與“從乙組中選出一名女生”．(2)一盒內(nèi)盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球．“從8個球中任取1個，取出的是白球”與“從剩下的7個球中任意取1個，取出的仍是白球”．(3)一筐內(nèi)有6個蘋果和3個梨，“從中任取1個，取出的是蘋果”與“取出第一個后放回筐內(nèi)，再取1個是梨”．其中為相互獨立事件的有()A．(1)(2)B．(1)(3)C．(2)D．(2)(3)答案：B例3.已知甲運動員的投籃命中率為0.7，乙運動員的投籃命中率為0.8（1）若甲、乙各投籃一次，則都命中的概率為多少？（2）若甲投籃兩次，則恰好投中一次的概率為多少？解：（1）記事件A：甲投中，B：乙投中，因為A與B相互獨立，所以即都命中的概率為0.56（2）記事件：甲第i次投中，其中，則恰好投中一次，可能是第一次投中且第二次沒投中，也可能是第一次沒投中且第二次投中，即注意到與相互獨立，且互斥，因此：【變式練習(xí)】甲、乙兩人獨立地解決同一問題，甲解決這個問題的概率是p1，乙解決這個問題的概率是p2，那么恰好有1人解決這個問題的概率是()A．p1p2B．p1(1－p2)＋p2(1－p1)C．1－p1p2D．1－(1－p1)(1－p2)解析：恰好有1人解決可分為：甲解決乙沒解決、甲沒解決乙解決．這兩個事件顯然是互斥的．所以恰好有1人解決這個問題的概率為：p1(1－p2)＋p2(1－p1)．故選B.答案：B例4.某同學(xué)在參加一次考試時，有三道選擇題不會，每道選擇題他都隨機選擇了一個答案，且每道題他猜對的概率均為（1）求該同學(xué)三道題都猜對的概率；（2）求該同學(xué)至少猜對一道題的概率.解：記事件：該同學(xué)第i題猜對了，其中，則（1）三道題都猜對可以表示為，又因為相互獨立，因此：（2）“至少猜對一道題“的對立事件時“三道都猜錯”，后者可以表示為，所以：【解題方法】求P(AB)時注意事件A、B是否相互獨立，求P(A＋B)時同樣應(yīng)注意事件A、B是否互斥，對于“至多”“至少”型問題的解法有兩種思路：①是分類討論；②是求對立事件，利用P(eq\x\to(A))＝1－P(A)來運算．【變式練習(xí)】1．甲、乙、丙三人獨立地去譯一個密碼，分別譯出的概率為eq\f(1,5)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，則此密碼能譯出的概率是()A.eq\f(1,60)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(59,60)解析：用A、B、C分別表示甲、乙、丙三人破譯出密碼，則P(A)＝eq\f(1,5)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1,4)，且P(eq\x\to(A)·eq\x\to(B)·eq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))·P(eq\x\to(C))＝eq\f(4,5)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(2,5).∴此密碼被譯出的概率為1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).答案：C2．有一道數(shù)學(xué)難題，在半小時內(nèi)，甲能解決的概率是eq\f(1,2)，乙能解決的概率是eq\f(1,3)，2人試圖獨立地在半小時內(nèi)解決它，則兩人都未解決的概率為________，問題得到解決的概率為________．解析：都未解決的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).問題得到解決就是至少有1人能解決問題，∴P＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(1,3)eq\f(2,3)例5.在一段線路中并聯(lián)著3個自動控制的常開開關(guān)，只要其中1個開關(guān)能夠閉合，線路就能正常工作．假定在某段時間內(nèi)每個開關(guān)能夠閉合的概率都是0.7，計算在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率．解析：如圖所示，記這段時間內(nèi)開關(guān)JA，JB，JC能夠閉合為事件A、B、C.由題意，這段時間內(nèi)3個開關(guān)是否能夠閉合相互之間沒有影響，根據(jù)相互獨立事件的概率公式，這段時間內(nèi)3個開關(guān)都不能閉合的概率是P(eq\x\to(A)·eq\x\to(B)·eq\x\to(C))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝[1－P(A)][1－P(B)]·[1－P(C)]＝(1－0.7)×(1－0.7)×(1－0.7)＝0.027.于是這段時間內(nèi)至少有1個開關(guān)能夠閉合，從而使線路能夠正常工作的概率是1－P(eq\x\to(A)·eq\x\to(B)·eq\x\to(C))＝1－0.027＝0.973.即這段時間內(nèi)線路正常工作的概率是0.973.【變式練習(xí)】(1)如圖①添加第四個開關(guān)JD與其他三個開關(guān)串聯(lián)，在某段時間內(nèi)此開關(guān)能夠閉合的概率也是0.7，計算在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率．(2)如圖②兩個開關(guān)串聯(lián)再與第三個開關(guān)并聯(lián)，在某段時間內(nèi)每個開關(guān)能夠閉合的概率都是0.7，計算在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率．①②解析：(1)[1－P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))]·P(D)＝0.973×0.7＝0.6811.(2)法一：P(Aeq\x\to(B)C)＋P(eq\x\to(A)BC)＋P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)C)＋P(ABC)＋P(ABeq\x\to(C))＝P(A)P(eq\x\to(B))P(C)＋P(eq\x\to(A))P(B)P(C)＋P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(eq\x\to(C))＝0.847.法二：分析要使這段時間內(nèi)線路正常工作只要排除JC開且JA與JB至少有1個開的情況．則1－P(eq\x\to(C))[1－P(AB)]＝1－0.3×(1－0.72)＝0.847.小結(jié)：1.隨機事件的獨立性定義有兩種方法判斷兩事件是否具有獨立性(1)定義法：直接判定兩個事件發(fā)