2024-2025版高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1.2.3三角形中的幾何計(jì)算學(xué)案新人教A版必修5

PAGE第3課時(shí)三角形中的幾何計(jì)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等學(xué)問和方法進(jìn)一步解決有關(guān)三角形的問題(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)2.駕馭三角形的面積公式的簡潔推導(dǎo)和應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.能證明三角形中簡潔的恒等式(邏輯推理)必備學(xué)問·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.三角形的面積公式有哪些?2.如何用兩邊及其夾角表示三角形面積?三角形的面積公式(1)S=QUOTEa·ha=QUOTEb·hb=QUOTEc·hc(ha,hb,hc分別表示a,b,c邊上的高);(2)S=QUOTEabsinC=QUOTEbcsinA=QUOTEcasinB;

(3)S=QUOTE(a+b+c)·r(r為內(nèi)切圓半徑).用兩邊及其夾角表示三角形面積適用于哪些三角形?提示:適用于隨意三角形.1.辨析記憶(對的打“√”,錯(cuò)的打“×”).(1)三角形中已知三邊無法求其面積.()(2)已知三角形的兩個(gè)內(nèi)角及一邊能求三角形的面積.()(3)在△ABC中,若c=b=2,S△ABC=QUOTE,則A=60°.()提示:(1)×.已知三邊可以先利用余弦定理求出其中一角,然后再求面積.(2)√.利用正弦定理或余弦定理求出另外的邊或角,再依據(jù)面積公式求解.(3)×.由S=QUOTEbcsinA可得sinA=QUOTE,所以A=60°或120°.2.在△ABC中,已知b=5,A=60°,S△ABC=5QUOTE,則c等于()A.4 B.16 C.21 D.QUOTE【解析】選A.由題意得,b=5,A=60°,S△ABC=5QUOTE,所以QUOTEbcsinA=5QUOTE,可得QUOTE×5×c×QUOTE=5QUOTE,解得c=4.3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)在△ABC中,A=60°,AB=2,AC=3,則△ABC的面積等于.

【解析】△ABC的面積=QUOTE×2×3×sin60°=QUOTE.答案:QUOTE關(guān)鍵實(shí)力·合作學(xué)習(xí)類型一與三角形面積有關(guān)的計(jì)算問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】1.在△ABC中,∠A=30°,AB=QUOTE,BC=1,則△ABC的面積等于()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE或QUOTE D.QUOTE或QUOTE2.(2024·全國Ⅱ卷)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若b=6,a=2c,B=QUOTE,則△ABC的面積為.

3.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,cos2B-5cos(A+C)=2.(1)求角B的大小;(2)若cosA=QUOTE,△ABC的面積為10QUOTE,求BC邊上的中線長.【思路導(dǎo)引】1.知兩邊及其一邊的對角可以用正弦定理求出另一條邊對的角,進(jìn)而可求三角形的面積,但要留意此類問題可能有兩個(gè)解.2.依據(jù)已知條件和余弦定理可求邊c的長,進(jìn)而可以用公式S=QUOTEacsinB求面積.3.(1)依據(jù)二倍角公式和誘導(dǎo)公式可得到關(guān)于cosB的方程,進(jìn)而可求cosB,最終求角B;(2)依據(jù)題目條件可以先求出bc,依據(jù)正弦定理可推出b與c的關(guān)系,從而可解出b,c,進(jìn)而可用余弦定理求a和BC邊上的中線長.【解析】1.選D.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以sinC=QUOTE.因?yàn)?°<∠C<180°,所以∠C=60°或120°.(1)當(dāng)∠C=60°時(shí),∠B=90°,所以AC=2.此時(shí)S△ABC=QUOTE.(2)當(dāng)∠C=120°時(shí),∠B=30°,此時(shí)S△ABC=QUOTE×QUOTE×1×sin30°=QUOTE.2.因?yàn)閏osB=QUOTE,又因?yàn)閎=6,a=2c,B=QUOTE,可得c2=12,解得c=2QUOTE,a=4QUOTE,則△ABC的面積S=QUOTE×4QUOTE×2QUOTE×QUOTE=6QUOTE.答案:6QUOTE3.(1)因?yàn)锳+B+C=π,所以cos(A+C)=-cosB,又因?yàn)閏os2B-5cos(A+C)=2,所以2cos2B-1+5cosB=2,即2cos2B+5cosB-3=0,解得cosB=QUOTE或cosB=-3(舍去).又0<B<π,所以B=QUOTE.(2)因?yàn)閏osA=QUOTE,所以sinA=QUOTE.由∠A為三角形內(nèi)角,得0<A<QUOTE,所以S△ABC=QUOTEbcsinA=10QUOTE,所以bc=35.①由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,又sinQUOTE=QUOTEsinA+QUOTEcosA=QUOTE,所以5b=7c.②由①②知,b=7,c=5,所以由余弦定理,得a=QUOTE=8,所以BC邊上的中線長為QUOTE=QUOTE.三角形面積公式三角形面積公式S△ABC=QUOTEabsinC=QUOTEbcsinA=QUOTEacsinB,即給出三角形的兩邊和夾角(其中某邊或角需求解)求三角形面積,反過來,給出三角形的面積利用上述公式也可求得相應(yīng)的邊或角.1.在△ABC中,已知BC=6,A=30°,B=120°,則△ABC的面積等于()A.9 B.18 C.9QUOTE D.18QUOTE【解析】選C.在△ABC中,由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,所以AC=QUOTE=QUOTE=6QUOTE.又因?yàn)镃=180°-120°-30°=30°,所以S△ABC=QUOTE×6QUOTE×6×QUOTE=9QUOTE.2.(2024·大慶高一檢測)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若b-QUOTEc=acosC,a=2.(1)求△ABC外接圓的半徑;(2)若b+c=bc,求△ABC的面積.【解析】(1)由正弦定理得:sinB-QUOTEsinC=sinAcosC,因?yàn)閟inB=sin(A+C),所以cosAsinC-QUOTEsinC=0,又sinC≠0,所以cosA=QUOTE,又A∈(0,π),所以A=QUOTE,所以△ABC外接圓的半徑為QUOTE×QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)由a2=b2+c2-2bccosA得b2+c2-bc=4,所以(b+c)2-3bc=4,因?yàn)閎+c=bc,所以(bc)2-3bc-4=0,又bc>0,所以bc=4,所以△ABC的面積S=QUOTEbcsinA=QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.銳角△ABC中,若面積S=QUOTEab,則角C=.

【解析】由題意得S=QUOTEabsinC=QUOTEab,所以sinC=QUOTE,又因?yàn)榻荂為銳角,所以C=QUOTE.答案:QUOTE2.在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對的邊,已知c=3,C=QUOTE,sinB=2sinA.(1)求a,b的值;(2)求△ABC的面積.【解析】(1)因?yàn)閟inB=2sinA,由正弦定理可得b=2a,由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得9=a2+4a2-2a2,解得a2=3,所以a=QUOTE,b=2a=2QUOTE.(2)△ABC的面積S=QUOTEabsinC=QUOTE×QUOTE×2QUOTE×QUOTE=QUOTE.類型二三角恒等式證明問題(邏輯推理)角度1證明平面幾何中的結(jié)論

【典例】在△ABC中,∠ABC的平分線BD交AC邊于點(diǎn)D.求證:QUOTE=QUOTE.【思路導(dǎo)引】留意到∠ABD=∠CBD.∠ADB+∠CDB=180°,可考慮分別在△ABD和△CBD中用正弦定理推出QUOTE和QUOTE.并證明兩者相等,再依據(jù)比例的性質(zhì)可推出所證等式.【證明】在△ABD中利用正弦定理得QUOTE=QUOTE.在△CBD中利用正弦定理得QUOTE=QUOTE.因?yàn)锽D是∠ABC的平分線,所以∠ABD=∠CBD,又因?yàn)椤螦DB+∠CDB=180°,所以sin∠ADB=sin∠CDB,所以QUOTE=QUOTE.即QUOTE=QUOTE成立.角度2證明恒等式

【典例】在△ABC中,證明下列各式:(1)(a2-b2-c2)tanA+(a2-b2+c2)tanB=0;(2)QUOTE=QUOTE.【思路導(dǎo)引】(1)可由左到右推導(dǎo),先切化弦,再用正弦、余弦定理化角為邊.(2)先用余弦定理對左邊式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再借助正弦定理進(jìn)行進(jìn)一步轉(zhuǎn)化得出右邊式子.【證明】(1)左邊=(a2-b2-c2)QUOTE+(a2-b2+c2)·QUOTE=(a2-b2-c2)·QUOTE·QUOTE+(a2-b2+c2)·QUOTE·QUOTE=QUOTE=QUOTE(-1+1)=0=右邊,故原式得證.(2)由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA,于是QUOTE=QUOTE=1-QUOTE·2cosA=1-QUOTE·2cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,故原式成立.本例條件不變,求證:S△ABC=QUOTE.【解析】因?yàn)镾△ABC=QUOTEabsinC,且由正弦定理可得:sinB=QUOTE,sinA=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTEabsinC=S△ABC,得證.1.三角恒等式證明的三個(gè)基本原則(1)統(tǒng)一邊角關(guān)系.(2)由繁推簡.(3)目標(biāo)明確,等價(jià)轉(zhuǎn)化.2.三角恒等式證明的基本途徑(1)把角的關(guān)系通過正、余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系,然后進(jìn)行化簡、變形.(2)把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,一般是通過正弦定理,然后利用三角函數(shù)公式進(jìn)行恒等變形.1.已知:四邊形ABCD為平行四邊形.求證:AC2+BD2=AD2+DC2+CB2+BA2.【證明】在△BAD內(nèi),BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD,在△ABC內(nèi),AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC,因?yàn)椤螦BC+∠BAD=180°,所以cos∠ABC+cos∠BAD=0.所以BD2+AC2=2AB2+AD2+BC2,即AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.2.在△ABC中,求證:QUOTE=QUOTE.【證明】方法一:左邊=QUOTE=QUOTE·QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=右邊,其中R為△ABC外接圓的半徑.所以QUOTE=QUOTE.方法二:左邊=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=右邊(cosC≠0),所以QUOTE=QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.已知△ABC中內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,sinAsinB+sin2A=sin2求證:QUOTE=sinA.【證明】△ABC中,sinAsinB+sin2A=sin2所以ab+a2=c2;即c2-a2=ab;所以cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE=QUOTE=sinA,其中R為△ABC外接圓半徑,即證得QUOTE=sinA.2.在△ABC中,求證:a2sin2B+b2sin2A=2absinC.【證明】方法一:左邊=a2·2sinBcosB+b2·2sinAcosA=a2·QUOTE·QUOTE+b2·QUOTE·QUOTE=QUOTE·(a2+c2-b2+b2+c2-a2)=QUOTE·2c2=2ab·QUOTE=2absinC=右邊.所以原式得證.方法二:a2sin2B+b2sin2A=(2RsinA)2·2sinBcosB+(2RsinB)2·2sinAcosA=8R2sinAsinB(sinAcosB+cosAsinB)=8R2sinAsinBsin(A+B)=8R2sinAsinBsinC=2·2RsinA·2RsinB·sinC=2absinC.所以原式得證.類型三與三角形面積有關(guān)的綜合問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】已知△ABC的面積為S,且·=S.(1)求sin2QUOTE-cos2QUOTE-QUOTEsin2A的值;(2)若2B=A+C,|-|=4,求△ABC的面積S.【解析】(1)設(shè)△ABC中A,B,C的對邊分別為a,b,c,因?yàn)镾=·=bccosA及S=QUOTEbcsinA,所以tanA=2?QUOTE=2,因?yàn)閟in2A+cos2所以sinA=QUOTE,cosA=QUOTE.sin2QUOTE-cos2QUOTE-QUOTEsin2A=-cosA-2QUOTEsinAcosA=-QUOTE.(2)因?yàn)?B=A+C,A+B+C=π,所以B=QUOTE,從而有sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=QUOTE,因?yàn)閏===4,所以由正弦定理得b=QUOTE=QUOTE=8QUOTE-12QUOTE,所以S=QUOTEbcsinA=32QUOTE-48.解三角形綜合問題的策略三角形中的綜合應(yīng)用問題經(jīng)常把正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、三角恒等變換、向量、三角函數(shù)等學(xué)問綜合考查,解答此類題目,首先要正確應(yīng)用所學(xué)學(xué)問“翻譯”題目條件,然后依據(jù)題目條件和要求選擇正弦或余弦定理求解.設(shè)函數(shù)f(x)=m·n,其中向量m=(2cosx,1),n=(cosx,QUOTEsin2x),x∈R.(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在△ABC中a,b,c分別是角A,B,C的對邊,已知f(A)=2,b=1,△ABC的面積為QUOTE,求c的值.【解析】(1)f(x)=2cos2x+QUOTEsin2x=cos2x+QUOTEsin2x+1=2sinQUOTE+1.令-QUOTE+2kπ≤2x+QUOTE≤QUOTE+2kπ,k∈Z,解得-QUOTE+kπ≤x≤QUOTE+kπ,k∈Z,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為QUOTE(k∈Z).(2)由f(A)=2sinQUOTE+1=2得sinQUOTE=QUOTE,而A∈(0,π),所以2A+QUOTE∈QUOTE,所以2A+QUOTE=QUOTEπ,得A=QUOTE.又S△ABC=QUOTEbcsinA,所以c=QUOTE=QUOTE=2.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知△ABC的角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,設(shè)向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).(1)若m∥n,求證:△ABC為等腰三角形;(2)若m⊥p,邊長c=2,C=QUOTE,求△ABC的面積.【解析】(1)因?yàn)閙∥n,所以asinA=bsinB,即a·QUOTE=b·QUOTE,其中R是△ABC的外接圓半徑,所以a=b,所以△ABC為等腰三角形.(2)因?yàn)閙⊥p,所以a(b-2)+b(a-2)=0.即a+b=ab,由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,解得ab=4(ab=-1舍去),所以S=QUOTEabsinC=QUOTE×4×sinQUOTE=QUOTE.備選類型平面圖形面積的最值問題(數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象)【典例】如圖所示,已知半圓O的半徑為1,點(diǎn)C在直徑AB的延長線上,BC=1,點(diǎn)P是半圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以PC為邊作等邊三角形PCD,且點(diǎn)D與圓心分別在PC的兩側(cè).(1)若∠POB=θ,試將四邊形OPDC的面積y表示成θ的函數(shù);(2)求四邊形OPDC面積的最大值.【思路導(dǎo)引】四邊形OPDC可以分成△OPC和△PCD,S△OPC可用QUOTEOP·OC·sinθ表示;求△PCD的面積關(guān)鍵在于求出邊長PC,在△POC中利用余弦定理可求解.【解析】(1)在△POC中,由余弦定理,得PC2=OP2+OC2-2OP·OC·cosθ=12+22-2×1×2×cosθ=5-4cosθ.所以y=S△OPC+S△PCD=QUOTE×1×2sinθ+QUOTE(5-4cosθ)=sinθ-QUOTEcosθ+QUOTE=2sinQUOTE+QUOTE.(2)當(dāng)θ-QUOTE=QUOTE,即θ=QUOTE時(shí),ymax=2+QUOTE.(1)數(shù)形結(jié)合:依據(jù)題意畫出圖形,將圖形中的已知條件與未知量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形中的邊與角的關(guān)系.(2)轉(zhuǎn)化思想:三角形問題中,常涉及求邊、求角及求面積等幾個(gè)問題,用正、余弦定理作為解題的工具進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.在涉及變量取值范圍或最值問題時(shí),經(jīng)常用到函數(shù)等數(shù)學(xué)相關(guān)學(xué)問.易錯(cuò)提示:解三角形時(shí),角的取值范圍至關(guān)重要.角的取值范圍往往隱含在題目中.如圖,已知扇形的圓心角∠AOB=QUOTE,半徑為4QUOTE,若點(diǎn)C是QUOTE上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合).(1)若弦BC=4(QUOTE-1),求QUOTE的長;(2)求四邊形OACB面積的最大值.【解析】(1)在△OBC中,BC=4(QUOTE-1),OB=OC=4QUOTE,所以由余弦定理得cos∠BOC=QUOTE=QUOTE,所以∠BOC=QUOTE,于是QUOTE的長為QUOTE×4QUOTE=QUOTEπ.(2)設(shè)∠AOC=θ,θ∈QUOTE,則∠BOC=QUOTE-θ,S四邊形OACB=S△AOC+S△BOC=QUOTE×4QUOTE×4QUOTEsinθ+QUOTE×4QUOTE×4QUOTE·sinQUOTE=24sinθ+8QUOTEcosθ=16QUOTEsinQUOTE,由于θ∈QUOTE,所以θ+QUOTE∈QUOTE,當(dāng)θ=QUOTE時(shí),四邊形OACB的面積取得最大值16QUOTE.課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=2,B=QUOTE,C=QUOTE,則△ABC的面積為()A.2QUOTE+2 B.QUOTE+1C.2QUOTE-2 D.QUOTE-1【解析】選B.由正弦定理QUOTE=QUOTE及已知條件得c=2QUOTE,又sinA=sin(B+C)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.從而S△ABC=QUOTEbcsinA=QUOTE×2×2QUOTE×QUOTE=QUOTE+1.2.已知銳角三角形ABC的面積為3QUOTE,BC=4,CA=3,則C的大小為()A.75° B.60° C.45° D.30°【解析】選B.由S=QUOTEAC·BCsinC=3QUOTE,得sinC=QUOTE