2025屆河南省登封市外國語高級(jí)中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題含解析

2025屆河南省登封市外國語高級(jí)中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)B到直線的距離為（）A. B.C. D.2．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則的公差為（）A.1 B.2C.4 D.83．對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則4．已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A.橢圓 B.直線C.線段 D.圓5．函數(shù)y=的最大值為Ae-1 B.eC.e2 D.6．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，已知，，，，則（）A. B.C. D.7．在等比數(shù)列中，若，則公比（）A. B.C.2 D.38．已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的方程為A. B.C. D.9．在各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列中，首項(xiàng)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）A. B.C. D.10．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般的等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次成等差數(shù)列．如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為2，3，5，8，12，17，23，則該數(shù)列的第31項(xiàng)為（）A.336 B.467C.483 D.60111．以下說法：①將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變；②設(shè)有一個(gè)回歸方程，變量增加1個(gè)單位時(shí)，平均增加5個(gè)單位③線性回歸方程必過④設(shè)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)為，那么越接近于0，之間的線性相關(guān)程度越高；⑤在一個(gè)列聯(lián)表中，由計(jì)算得的值，那么的值越大，判斷兩個(gè)變量間有關(guān)聯(lián)的把握就越大。其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1C.2 D.312．已知點(diǎn)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，若，則（）A.與雙曲線的實(shí)軸長相等B.的面積為C.雙曲線的離心率為D.直線是雙曲線的一條漸近線二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知一個(gè)樣本數(shù)據(jù)為3，3，5，5，5，7，7，現(xiàn)在新加入一個(gè)3，一個(gè)5，一個(gè)7得到一個(gè)新樣本，則與原樣本數(shù)據(jù)相比，新樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)______，方差______.（“變大”、“變小”、“不變”）14．已知函數(shù)，若遞增數(shù)列滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.15．已知橢圓的右頂點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，則的最大值為______.16．已知圓M過，，且圓心M在直線上.（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線m截圓M所得弦長為，求直線m的方程；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2022北京冬奧會(huì)即將開始，北京某大學(xué)鼓勵(lì)學(xué)生積極參與志愿者的選拔．某學(xué)院有6名學(xué)生通過了志愿者選拔，其中4名男生，2名女生（1）若從中挑選2名志愿者，求入選者正好是一名男生和一名女生的概率；（2）若從6名志愿者中任選3人負(fù)責(zé)滑雪項(xiàng)目服務(wù)崗位，那么現(xiàn)將6人分為A、B兩組進(jìn)行滑雪項(xiàng)目相關(guān)知識(shí)及志愿者服務(wù)知識(shí)競賽，共賽10局．A、B兩組分?jǐn)?shù)（單位：分）如下：A：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142B：126，115，143，126，143，115，139，139，115，139從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度看，應(yīng)選擇哪個(gè)組更合適？理由是什么？18．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和19．（12分）城南公園種植了4棵棕櫚樹，各棵棕櫚樹成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p，設(shè)為成活棕櫚樹的株數(shù)，數(shù)學(xué)期望.（1）求p的值并寫出的分布列；（2）若有2棵或2棵以上的棕櫚樹未成活，則需要補(bǔ)種，求需要補(bǔ)種棕櫚樹的概率.20．（12分）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）四邊形的頂點(diǎn)在橢圓上，且對(duì)角線，均過坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的取值范圍.21．（12分）已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作直線的垂線，線段的中垂線與交于點(diǎn).（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若過點(diǎn)直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求與面積之和的最小值.（為坐標(biāo)原點(diǎn)）22．（10分）在2021年“雙11”網(wǎng)上購物節(jié)期間，某電商平臺(tái)銷售了一款新手機(jī)，現(xiàn)在該電商為調(diào)查這款手機(jī)使用后的“滿意度”，從購買了該款手機(jī)的顧客中抽取1000人，每人在規(guī)定區(qū)間內(nèi)給出一個(gè)“滿意度”分?jǐn)?shù)，評(píng)分在60分以下的視為“不滿意”，在60分到80分之間（含60分但不含80分）的視為“基本滿意”，在80分及以上的視為“非常滿意”.現(xiàn)將他們的評(píng)分按，，，，分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求這1000人中對(duì)該款手機(jī)“非常滿意”的人數(shù)和“滿意度”評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值.（2）若按“滿意度”采用分層抽樣的方法從這1000名被調(diào)查者中抽取20人，再從這20人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中對(duì)該款手機(jī)“非常滿意”的人數(shù)為X.①寫出X的分布列，并求數(shù)學(xué)期望；②若被抽取的這3人中對(duì)該款手機(jī)“非常滿意”的被調(diào)查者將獲得100元話費(fèi)補(bǔ)貼，其他被調(diào)查者將獲得50元話費(fèi)補(bǔ)貼，請(qǐng)求出這3人將獲得的話費(fèi)補(bǔ)貼總額的期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，取，，利用向量法，根據(jù)公式即可求出答案.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，取，，則，，則點(diǎn)B到直線AC1的距離為.故選：A2、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式利用條件，列出關(guān)于與的方程組，通過解方程組求數(shù)列的公差.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，聯(lián)立，解得.故選：C.3、D【解析】判斷不等式的真假，就是要考慮在不等式的變形過程中是否遵守不等式變形的規(guī)則.【詳解】若，令，，，，，故A錯(cuò)誤；若，令c=0，則，故B錯(cuò)誤；若，令a=-1，b=-2，，，故C錯(cuò)誤；∵，故，根據(jù)不等式運(yùn)算規(guī)則，在不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以一個(gè)正數(shù)，不等式的方向不變，故D正確.故選：D.4、C【解析】根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式的幾何意義即可判定出動(dòng)點(diǎn)軌跡.【詳解】由題意可知表示動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和等于，又因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)的距離等于，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段.故選：5、A【解析】,所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以函數(shù)的最大值為時(shí)，y==故選A點(diǎn)睛：研究函數(shù)最值主要根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，找到最值，分式求導(dǎo)公式要記熟6、A【解析】利用空間向量加法法則直接求解【詳解】連接BD，如圖，則故選：A7、C【解析】由題得，化簡即得解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，解?故選：C8、B【解析】由已知可設(shè)，則，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，從而可求解.【詳解】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得所求橢圓方程為，故選B法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補(bǔ)，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)9、C【解析】當(dāng)時(shí)，，故可以得到，因?yàn)?，進(jìn)而得到，所以是等比數(shù)列，進(jìn)而求出【詳解】由，得，得，又?jǐn)?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且，∴，∴，即∴數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和，得，故選：C.10、B【解析】先由遞推關(guān)系利用累加法求出通項(xiàng)公式，直接帶入即可求得.【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列2，3，5，8，12，17，23……滿足，，所以該數(shù)列的第31項(xiàng)為.故選：B11、C【詳解】方差反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變，故①正確；一個(gè)回歸方程，變量增加1個(gè)單位時(shí)，平均減少5個(gè)單位，故②不正確；線性回歸方程必過樣本中心點(diǎn)，故③正確；根據(jù)線性回歸分析中相關(guān)系數(shù)的定義：在線性回歸分析中，相關(guān)系數(shù)為r，越接近于1，相關(guān)程度越大，故④不正確；對(duì)于觀察值來說，越大，“x與y有關(guān)系”的可信程度越大，故⑤正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查用樣本估計(jì)總體、線性回歸方程、獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想.12、B【解析】由題意及雙曲線的定義可得，的值，進(jìn)而可得A不正確，計(jì)算可判斷B正確，再求出，的關(guān)系可得C不正確，求出，的關(guān)系，進(jìn)而求出漸近線的方程，可得D不正確【詳解】因?yàn)?，又由題意及雙曲線的定義可得：，則，，所以A不正確；因?yàn)樵谝詾橹睆降膱A上，所以，所以，所以B正確；在△中，由勾股定理可得，即，所以離心率，所以C不正確；由C的分析可知：，故，所以漸近線的方程為，即，所以D不正確；故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.不變②.變大【解析】通過計(jì)算平均數(shù)和方差來確定正確答案.【詳解】原樣本平均數(shù)為，原樣本方差為，新樣本平均數(shù)為，新樣本方差為.所以平均數(shù)不變，方差變大.故答案為：不變；變大14、【解析】根據(jù)的單調(diào)性列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由于是遞增數(shù)列，所以.所以的取值范圍是.故答案為：15、【解析】設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式建立函數(shù)關(guān)系，借助二次函數(shù)計(jì)算最值作答.【詳解】橢圓的右頂點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)，則，即，且，于是得，因，則當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為.故答案為：16、（1）（2）或【解析】(1)首先由條件設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再將圓上兩點(diǎn)代入，即可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分斜率不存在和存在兩種情況，分別根據(jù)弦長公式，求得直線方程.【小問1詳解】圓心在直線上，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓過點(diǎn)，，，解得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】①當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線m的方程為：，直線m截圓M所得弦長為，符合題意②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線m：，圓心M到直線m的距離為根據(jù)垂徑定理可得，，，解得直線m方程為或.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）答案見詳解【解析】(1)：把4名男生和2名女生編號(hào)后用列舉法寫出任選2名的所有基本事件，同時(shí)可得出，兩人是一男一女的基本事件，計(jì)數(shù)后可計(jì)算概率；(2)：求出兩組數(shù)據(jù)的均值和方差，比較可得【小問1詳解】設(shè)4名男生分別用A，B，C，D表示：2名女生分別用1，2表示.基本事件為：，，，，，，，，，，，，共15種，所以所求概率為；【小問2詳解】A組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，B組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，A組數(shù)據(jù)的方差，B組數(shù)據(jù)的方差，所以選擇A隊(duì)．理由：A、B兩隊(duì)平均數(shù)相同，且，A組成績波動(dòng)小18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和求和公式求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合（1）求出，再令得出數(shù)列的正數(shù)項(xiàng)和負(fù)數(shù)項(xiàng)，進(jìn)而結(jié)合等差數(shù)列求和公式求得答案.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別為和，∴，解得：所以.【小問2詳解】，所以.當(dāng)；當(dāng)，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.綜上：.19、（1），分布列見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)二項(xiàng)分布知識(shí)即可求解；（2）將補(bǔ)種棕櫚樹的概率轉(zhuǎn)化為成活的概率，結(jié)合概率加法公式即可求解.【小問1詳解】由題意知，，又，所以，故未成活率為，由于所有可能的取值為0,1,2,3,4，所以，，，，，則的分布列為01234【小問2詳解】記“需要補(bǔ)種棕櫚樹”為事件A，由（1）得，，所以需要補(bǔ)種棕櫚樹的概率為.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，由求解；（2）設(shè)直線AC方程為，則直線BD的方程為，分時(shí)，與橢圓方程聯(lián)立求得A，B的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積求解.【小問1詳解】解：因?yàn)闄E圓的離心率為，且過點(diǎn)，所以，所以，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】設(shè)直線AC的方程為，則直線BD的方程為.當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，得，不妨設(shè)A，聯(lián)立，得，當(dāng)B時(shí)，，，當(dāng)B時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，同理可得上述結(jié)論.綜上，21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義可得軌跡方程；（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用根與系數(shù)關(guān)系結(jié)合均值不等式可得最小值【小問1詳解】如圖所示，由已知得點(diǎn)為線段中垂線上一點(diǎn)，即，即動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離相等，所以點(diǎn)的軌跡為拋物線，其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為直線，所以點(diǎn)的軌跡方程為，【小問2詳解】如圖所示：設(shè)，點(diǎn)，，聯(lián)立直線與拋物線方程，得，，，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，即，所以當(dāng)直線直線，時(shí)取得最小值為.【點(diǎn)睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式22、（1）65分（2）①分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：；②172.5元【解析】（1）由圖可知中位數(shù)在第二組，則設(shè)中位數(shù)為，從而得，解方程可得答案，（2）①由題意可求得“不滿意”與“基本滿意”的用戶應(yīng)抽取17人，“非常滿意”的用戶應(yīng)抽取3人，則X的可能取值分別為