湖南省岳陽(yáng)臨湘市2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試試題含解析

湖南省岳陽(yáng)臨湘市2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．紫砂壺是中國(guó)特有的手工制造陶土工藝品,其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多,經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中,石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái)(即圓錐用平行于底面的平面截去一個(gè)錐體得到的).下圖給出了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)(單位:cm),那么該壺的容量約為（）A.100 B.C.300 D.4002．已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，則（）A. B.C. D.3．過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為（）A. B.C. D.4．設(shè)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.5．已知，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B.C. D.6．拋物線型太陽(yáng)灶是利用太陽(yáng)能輻射的一種裝置．當(dāng)旋轉(zhuǎn)拋物面的主光軸指向太陽(yáng)的時(shí)候，平行的太陽(yáng)光線入射到旋轉(zhuǎn)拋物面表面，經(jīng)過(guò)反光材料的反射，這些反射光線都從它的焦點(diǎn)處通過(guò)，形成太陽(yáng)光線的高密集區(qū)，拋物面的焦點(diǎn)在它的主光軸上．如圖所示的太陽(yáng)灶中，灶深CD即焦點(diǎn)到灶底（拋物線的頂點(diǎn)）的距離為1m，則灶口直徑AB為（）A.2m B.3mC.4m D.5m7．已知等差數(shù)列，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A. B.C. D.8．已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的體積為（）A. B.C. D.9．某種心臟手術(shù)成功率為0.9，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率.先利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生09之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，由于成功率是0.9，故我們用0表示手術(shù)不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手術(shù)成功，再以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生如下10組隨機(jī)數(shù)：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為（）A.0.9 B.0.8C.0.7 D.0.610．在中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年之際,廣安市某中學(xué)組織了“黨史知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng),已知該校共有高中學(xué)生1000人,用分層抽樣的方法從該校高中學(xué)生中抽取一個(gè)容量為25的樣本參加活動(dòng),其中高二年級(jí)抽取了8人,則該校高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)為()A.960 B.720C.640 D.32011．某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（）A. B.C. D.12．如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，函數(shù)，若在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)x，y滿足約束條件則的最大值為_(kāi)_______14．當(dāng)曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是____________15．?dāng)€尖是古代中國(guó)建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖．如圖屬重檐四角攢尖，它的上層輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，若此正四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則側(cè)面與底面的夾角為_(kāi)__________16．直線被圓所截得的弦的長(zhǎng)為_(kāi)____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）是否存在正實(shí)數(shù)a，使得不等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．（12分）設(shè)橢圓方程為，短軸長(zhǎng)，____________.請(qǐng)?jiān)冖倥c雙曲線有相同的焦點(diǎn)，②離心率，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上，完成以下問(wèn)題.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程.19．（12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，，若點(diǎn)P為棱上一點(diǎn)，且，Q，R分別為棱上的點(diǎn)，且.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.20．（12分）已知函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，（）（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值），且，證明：.21．（12分）已知函數(shù)，若函數(shù)處取得極值（1）求，的值；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值22．（10分）在中，（1）求的大?。唬?）若，．求的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)圓臺(tái)的體積等于兩個(gè)圓錐的體積之差，即可求出【詳解】設(shè)大圓錐的高為，所以，解得故故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查圓臺(tái)體積的求法以及數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題2、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的定義即可求出【詳解】故選：C3、B【解析】利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.【詳解】由題意可知所求直線的方程為，即.故選：B.4、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可【詳解】由，得，所以切線的斜率為，所以切線方程為，即，故選：A5、A【解析】根據(jù)給定條件求出平面的法向量，再利用空間向量求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】依題意，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，則點(diǎn)到平面的距離為，所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：A6、C【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為，根據(jù)是拋物線的焦點(diǎn)，求得拋物線的方程，進(jìn)而求得的長(zhǎng).【詳解】由題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，O與C重合，設(shè)拋物線的方程為，由題意可得是拋物線的焦點(diǎn)，即，可得，所以拋物線的方程為，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：C.7、A【解析】求出通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，，，所以，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.8、D【解析】設(shè)圓錐的半徑為，母線長(zhǎng)，根據(jù)已知條件求出、的值，可求得該圓錐的高，利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的半徑為，母線長(zhǎng)，因?yàn)閭?cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則，即，又圓錐的表面積為，則，解得，，則圓錐的高，所以圓錐的體積，故選：D.9、B【解析】由題可知10組隨機(jī)數(shù)中表示“3例心臟手術(shù)全部成功”的有8組，即求.【詳解】由題意，10組隨機(jī)數(shù)：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心臟手術(shù)全部成功”的有：812,832,569,683,271,989,537,925,故8個(gè)，故估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為.故選：B.10、D【解析】由分層抽樣各層成比例計(jì)算即可【詳解】設(shè)高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)為,則,解得故選:D11、A【解析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體（三棱錐），根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可計(jì)算該幾何體的表面積.【詳解】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體-正三棱錐，其側(cè)面為等腰直角三角形，底面等邊三角形，由三視圖可得該正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為1，故其表面積為，故選：A.12、A【解析】分別由矩形面積公式與微積分幾何意義計(jì)算陰影部分和矩形部分的面積，最后由幾何概型概率計(jì)算公式計(jì)算即可.【詳解】由已知，矩形的面積為4，陰影部分的面積為，由幾何概型公式可得此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】先作出可行域，由，得，作出直線，向下平移過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，求出點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)中可得答案【詳解】作出可行域如圖（圖中陰影部分），由，得，作出直線，向下平移過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，由，得，即，所以的最大值為，故答案為：114、【解析】求出直線恒過(guò)的定點(diǎn)，結(jié)合曲線的圖象，數(shù)形結(jié)合，找出臨界狀態(tài)，即可求得的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，故可得，其表示圓心為，半徑為的圓的上半部分；因?yàn)?，即，其表示過(guò)點(diǎn)，且斜率為的直線.在同一坐標(biāo)系下作圖如下：不妨設(shè)點(diǎn)，直線斜率為，且過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線斜率為數(shù)形結(jié)合可知：要使得曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，只需即可.容易知：；不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)與相切的直線方程為，則由直線與圓相切可得：，解得，故.故答案為：.15、【解析】設(shè)此四棱錐P-ABCD底面邊長(zhǎng)為，斜高為，連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OP.則以O(shè)為原點(diǎn)，為x、y、z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求出側(cè)面與底面夾角.【詳解】設(shè)此四棱錐P-ABCD底面邊長(zhǎng)為，斜高為，連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OP.則，，以O(shè)為原點(diǎn)，為x、y、z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，顯然平面的法向量為所以，所以側(cè)面與底面的夾角為故答案為：.16、【解析】圓轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式方程，圓心到直線的距離為，圓的半徑為，因此所求弦長(zhǎng)為考點(diǎn)：1．圓的方程；2．直線被圓截得的弦長(zhǎng)的求法；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）通過(guò)構(gòu)造新數(shù)列求解；（2）由（1）得，再研究其單調(diào)性，從而得到最值，再解不等式即可求解.【小問(wèn)1詳解】由，假設(shè)其變形為，則有，所以，又.所以，即.【小問(wèn)2詳解】由（1），所以，令，則，所以，所以是遞減數(shù)列，所以，所以使得不等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立，則，即，因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以.18、（1）答案見(jiàn)解析，.（2）.【解析】（1）若選①：求得雙曲線得雙曲線的焦點(diǎn)得出橢圓的，再由，可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若選②：根據(jù)已知條件和橢圓的離心率可求得，從而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若選③：由已知建立方程，求解可求得，從而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)直線的斜率為k，所求的直線方程為，代入橢圓的方程并整理得，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，由根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得答案.【小問(wèn)1詳解】解：若選①：由雙曲線得雙曲線的焦點(diǎn)和，因?yàn)闄E圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，所以橢圓的，又，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若選②：因?yàn)?，所以，又離心率，所以，即，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若選③：因?yàn)椋裕?，又，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】解：由題意得直線的斜率必存在，設(shè)直線的斜率為k，所求的直線方程為，代入橢圓的方程并整理得，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，則，因?yàn)辄c(diǎn)為AB中點(diǎn)，所以，解得，所以所求的直線方程為，即.19、（1）（2）【解析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求線面角；（2）用空間向量法求二面角【小問(wèn)1詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線方向?yàn)閤，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.當(dāng)時(shí)，，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，即不妨得，，又，所以，則【小問(wèn)2詳解】在長(zhǎng)方體中，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，因?yàn)槠矫媾c平面交于，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，所以平面，即為平面的一個(gè)法向量，，所以，又平面的法向量為，所以.20、（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）由題意得，然后對(duì)其求導(dǎo)，再分，兩種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）由（1）結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，且是的兩個(gè)極值點(diǎn)，再將極值點(diǎn)代入導(dǎo)函數(shù)中化簡(jiǎn)結(jié)合已知可得，，從而將要證的結(jié)論轉(zhuǎn)化為證，令，再次轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求的最小值大于零即可【小問(wèn)1詳解】由，得，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為小問(wèn)2詳解】由（1）知若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則，且，且注意到，所以在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，且時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以是的兩個(gè)極值點(diǎn).，因?yàn)?，所以，所以，所以，即，所以而，所以，所以，要證，即要證即要證：因?yàn)?，所以所以，即要證：即要證：令，即要證：即要證：令當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)增所以結(jié)論得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題的關(guān)鍵是將兩個(gè)極值點(diǎn)代入導(dǎo)函數(shù)中化簡(jiǎn)后，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明成立，換元后構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)證明，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題21、（1）；（