第三章第二節(jié)第3課時函數(shù)性質的綜合應用

第3課時函數(shù)性質的綜合應用【核心考點·分類突破】考點一函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性[例1](1)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),g(x)=xf(x).若a=g(log25.1),b=g(20.8),c=g(3),則a,b,c的大小關系為 ()A.a<b<c B.c<b<aC.b<a<c D.b<c<a【解析】選C.易知g(x)=xf(x)在R上為偶函數(shù),因為奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),且f(0)=0,所以g(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).又3>log25.1>2>20.8,且a=g(log25.1)=g(log25.1),所以g(3)>g(log25.1)>g(20.8),則c>a>b.(2)(2020·新高考Ⅰ卷)若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(∞,0)上單調(diào)遞減,且f(2)=0,則滿足xf(x1)≥0的x的取值范圍是 ()A.[1,1]∪[3,+∞)B.[3,1]∪[0,1]C.[1,0]∪[1,+∞)D.[1,0]∪[1,3]【解析】選D.因為函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),則f(0)=0.又f(x)在(∞,0)上單調(diào)遞減,且f(2)=0,畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖(1)所示,則函數(shù)f(x1)的大致圖象如圖(2)所示.當x≤0時,要滿足xf(x1)≥0,則f(x1)≤0,得1≤x≤0.當x>0時,要滿足xf(x1)≥0,則f(x1)≥0,得1≤x≤3.故滿足xf(x1)≥0的x的取值范圍是[1,0]∪[1,3].【解題技法】綜合應用奇偶性與單調(diào)性解題的技巧(1)比較大小:先利用奇偶性,將不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數(shù)值轉化為同一單調(diào)區(qū)間上的自變量的函數(shù)值,然后利用單調(diào)性比較大小.(2)解不等式:先將所給的不等式轉化為兩個函數(shù)值的大小關系,再利用奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性,再利用單調(diào)性“脫去”函數(shù)的符號“f”,轉化為解不等式(組)的問題.【對點訓練】1.(2023·合肥質檢)若f(x)是定義在R上的偶函數(shù),對?x1,x2∈(∞,0],當x1≠x2時,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0,則a=f(sin3),b=f(ln1A.a>b>c B.a>c>bC.b>c>a D.c>b>a【解析】選A.因為?x1,x2∈(∞,0]且x1≠x2時,都有f(所以函數(shù)f(x)在(∞,0]上單調(diào)遞增.由f(x)為偶函數(shù),得函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,因為0<sin3<1,1<ln3<2,2<21.5,f(ln13)=f(ln3)=f(ln所以f(sin3)>f(ln3)>f(21.5),即a>b>c.2.(2023·宜賓模擬)若函數(shù)f(x)=ax|x|+1為奇函數(shù),則關于x的不等式f(x2)+f(2x3)>【解析】由f(x)=f(x),得a=0,即f(x)=x|x當x≥0時,f(x)=1+1x+1在[0,+∞)上單調(diào)遞減,又f(x)故f(x)在R上單調(diào)遞減.由f(x)為奇函數(shù),則不等式f(x2)+f(2x3)>0可化為f(x2)>f(32x),得x2<32x,解得x∈(3,1).答案:(3,1)考點二函數(shù)的奇偶性與周期性[例2](1)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且周期為4,f(3)=2,則f(2025)= ()A.2 B.0 C.2 D.4【解析】選A.依題意,函數(shù)f(x)是奇函數(shù),又f(x)的周期為4,且f(3)=2,則有f(2025)=f(3+507×4)=f(3)=f(3)=2,所以f(2025)=2.(2)(多選題)(2023·青島質檢)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(2x+1)是偶函數(shù),f(x1)是奇函數(shù),則下列結論正確的是 ()A.f(x)=f(x16) B.f(19)=0C.f(2024)=f(0) D.f(2023)=f(1)【解析】選ABC.因為f(2x+1)是偶函數(shù),所以f(2x+1)=f(1+2x),即f(1x)=f(1+x),即函數(shù)關于x=1對稱,則f(x)=f(2x).因為f(x1)是奇函數(shù),所以f(x1)=f(x1),則f(x2)=f(x)=f(2x),即f(x2)=f(2+x),則f(x)=f(x+4),即f(x+8)=f(x+4)=f(x),即函數(shù)的周期是8,則f(x)=f(x16)成立,故A正確;令x=0,由f(x1)=f(x1),得f(1)=f(1),得f(1)=0,f(3)=0,則f(19)=f(3)=0,故B正確;f(2024)=f(8×253+0)=f(0)成立,故C正確;f(2023)=f(8×2531)=f(1),故D錯誤.【解題技法】綜合應用奇偶性與周期性解題的技巧(1)根據(jù)已知條件及相關函數(shù)的奇偶性推出函數(shù)的周期;(2)利用函數(shù)的周期性將自變量較大的函數(shù)值轉化為自變量較小的函數(shù)值,直到自變量的值進入已知解析式的區(qū)間內(nèi)或與已知的函數(shù)值相聯(lián)系,必要時可再次運用奇偶性將自變量的符號進行轉化;(3)代入已知的解析式求解,即得欲求的函數(shù)值.【對點訓練】1.(多選題)(2023·湖州模擬)函數(shù)f(x)的定義域為R,若f(x+1)與f(x1)都是偶函數(shù),則 ()A.f(x)是偶函數(shù) B.f(x)是奇函數(shù)C.f(x+3)是偶函數(shù) D.f(x)=f(x+4)【解析】選CD.因為f(x+1)是偶函數(shù),所以f(x+1)=f(x+1),從而f(x)=f(x+2).因為f(x1)是偶函數(shù),所以f(x1)=f(x1),從而f(x)=f(x2),所以f(x+2)=f(x2),即f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù).因為f(x1)=f(x1),所以f(x1+4)=f(x1+4),即f(x+3)=f(x+3),所以f(x+3)是偶函數(shù).2.函數(shù)y=f(x)對任意x∈R都有f(x+2)=f(x)成立,且函數(shù)y=f(x1)的圖象關于點(1,0)對稱,f(1)=4,則f(2020)+f(2021)+f(2022)的值為________.

【解析】因為y=f(x1)的圖象關于點(1,0)對稱,所以函數(shù)y=f(x)的圖象關于原點對稱,即函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),所以f(0)=0.因為f(x+2)=f(x),所以f(x+4)=f(x+2)=f(x),故f(x)的周期為4,所以f(2021)=f(505×4+1)=f(1)=4,f(2020)=f(0)=0,f(2022)=f(2)=f(0)=0,所以f(2020)+f(2021)+f(2022)=4.答案:4考點三函數(shù)的奇偶性與對稱性[例3](1)(2023·拉薩統(tǒng)考模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且y=f(x+1)的圖象關于點(1,0)成中心對稱.當x>0時,f(x)=3x+1,則f(2)= (A.1 B.3 C.1 D.3【解析】選C.因為將y=f(x+1)的圖象向右平移1個單位長度后得到函數(shù)y=f(x)的圖象且y=f(x+1)的圖象關于點(1,0)成中心對稱,所以y=f(x)的圖象關于原點成中心對稱,則y=f(x)在R上是奇函數(shù),所以f(2)=f(2)=32+1=1(2)(多選題)已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(x)=0,且f(1x)=f(1+x),則下列結論一定正確的是 ()A.f(x+2)=f(x)B.函數(shù)y=f(x)的圖象關于點(2,0)對稱C.函數(shù)y=f(x+1)是偶函數(shù)D.f(2x)=f(x1)【解析】選BC.對于A選項,因為f(x)+f(x)=0,且f(1x)=f(1+x),則f(1(1+x))=f(1+(1+x)),即f(x+2)=f(x),A錯;對于B選項,因為f(x+2)=f(x),所以f(x+4)=f(x+2)=f(x),因為f(x)+f(x)=0,所以f((2+x))+f(2+x)=0,即f(2+x)=f(2x)=f(2x),即f(2+x)+f(2x)=0,故函數(shù)y=f(x)的圖象關于點(2,0)對稱,B對;對于C選項,因為f(1x)=f(1+x),所以函數(shù)y=f(x+1)是偶函數(shù),C對;對于D選項,因為f(1x)=f(1+x),所以f(1(x1))=f(1+(x1)),即f(2x)=f(x)≠f(x1),D錯.【解題技法】由函數(shù)的奇偶性與對稱性可求函數(shù)的周期,常用于化簡求值、比較大小等.【對點訓練】已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),且f(x)的圖象關于點(1,0)對稱,當x∈[0,1]時,f(x)=22x,則f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2024)的值為 ()A.2 B.1 C.0 D.1【解析】選D.因為f(x)的圖象關于點(1,0)對稱,所以f(x)=f(2+x),又f(x)為R上的偶函數(shù),所以f(x)=f(x),所以f(x+2)=f(x)=f(x),所以f(x+4)=f(x+2)=[f(x)]=f(x),所以f(x)是周期為4的周期函數(shù),所以f(3)=f(1)=f(1)=22=0.又f(0)=1,f(2)=f(0)=1,所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2024)=506[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+f(2024)=506×(1+01+0)+f(0)=1.考點四函數(shù)的周期性與對稱性[例4](1)(2023·新鄉(xiāng)模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),且f(x12)為偶函數(shù),當x∈-12,12時,f(x)=x3,A.0 B.18 C.18 D【解析】選A.因為f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期為4.又f(x12)為偶函數(shù)所以f(x)的圖象關于直線x=12對稱則f(2023)=f(1)=f(0)=0.(2)(多選題)(2023·邯鄲模擬)已知f(x)是定義在R上的函數(shù),f(x)f(x)=0,且滿足f(x+1)為奇函數(shù),當x∈[0,1)時,f(x)=cosπx2,則下列結論正確的是 (A.f(1)=0B.f(x)的周期為2C.f(x)的圖象關于點(1,0)對稱D.f(20232)=【解析】選ACD.因為f(x+1)為奇函數(shù),所以f(x+1)=f(x+1),所以f(0+1)=f(0+1),所以f(1)=0,A正確;因為當x∈[0,1)時,f(x)=cosπx所以f(0)=cos0=1.因為f(x+1)=f(x+1),所以f(2)=f(0)=1,故f(2)≠f(0),所以2不是f(x)的周期,故B錯誤;因為f(x+1)為奇函數(shù),所以函數(shù)f(x+1)的圖象關于原點對稱,所以f(x)的圖象關于點(1,0)對稱,C正確;由f(x+1)=f(x+1),f(x)f(x)=0,可得f(x+2)=f(x1+1)=f(x)=f(x),所以f(x+4)=f(x+2+2)=f(x+2)=f(x),所以函數(shù)f(x)為周期函數(shù),周期為4,所以f(20232)=f(4×25312)=f(12)=f(又當x∈[0,1)時,f(x)=cosπx所以f(20232)=cosπ4=22【解題技法】區(qū)別兩個對應關系函數(shù)f(x)滿足的關系f(a+x)=f(bx)表明的是函數(shù)圖象的對稱性,函數(shù)f(x)滿足的關系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函數(shù)的周期性,在使用這兩個關系時不要混淆.【對點訓練】1.(多選題)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),且f(x)在[1,0]上是增函數(shù).則下列命題正確的是 ()A.f(x)是周期函數(shù)B.f(x)的圖象關于直線x=1對稱C.f(x)在[1,2]上是增函數(shù)D.f(2)=f(0)【解析】選ABD.因為f(x+2)=f(x),所以f(x+4)=f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期為4,即f(x)是周期函數(shù),故A正確;因為f(x+2)=f(x),所以f(x+2)=f(x).又因為f(x)為奇函數(shù),所以f(2x)=f(x),所以函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=1對稱,故B正確;因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(0)=0.因為f(x)在[1,0]上為增函數(shù),且f(x)為奇函數(shù),所以f(x)在[0,1]上為增函數(shù).因為f(x)關于直線x=1對稱,所以f(x)在[1,2]上為減函數(shù),故C錯誤;因為f(x+2)=f(x),令x=0得f(2)=f(0)=f(0),故D正確.2.(多選題)已知f(x)是定義域為R的函數(shù),滿足f(x+1)=f(x3),f(1+x)=f(3x),當0≤x≤2時,f(x)=x2x,則下列說法正確的是 ()A.f(x)的周期為4B.f(x)的圖象關于直線x=2對稱C.當0≤x≤4時,函數(shù)f(x)的最大值為2D.當6≤x≤8時,函數(shù)f(x)的最小值為1【解析】選ABC.對于A,因為f(x+1)=f(x3),所以f(x+3+1)=f(x+33),則f(x)=f(x+4),即f(x