第08講一元一次不等式（原卷版）

第08講一元一次不等式思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦1.一元一次不等式的定義2.求一元一次不等式的解集3.求一元一次不等式的整數(shù)解4.在數(shù)軸上表示不等式的解集5.求一元一次不等式解的最值6.解|x|≥a型的不等式7.列一元一次不等式8.用一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題一．一元一次不等式的定義（1）一元一次不等式的定義：含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式．（2）概念解析一方面：它與一元一次方程相似，即都含一個(gè)未知數(shù)且未知項(xiàng)的次數(shù)都是一次，但也有不同，即它是用不等號(hào)連接，而一元一次方程是用等號(hào)連接．另一方面：它與不等式有區(qū)別，不等式中可含、可不含未知數(shù)，而一元一次不等式必含未知數(shù)．但兩者也有聯(lián)系，即一元一次不等式屬于不等式．二．解一元一次不等式根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類(lèi)項(xiàng)；⑤化系數(shù)為1．以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數(shù)為1可能用到性質(zhì)3，即可能變不等號(hào)方向，其他都不會(huì)改變不等號(hào)方向．注意：符號(hào)“≥”和“≤”分別比“＞”和“＜”各多了一層相等的含義，它們是不等號(hào)與等號(hào)合寫(xiě)形式．三．一元一次不等式的整數(shù)解解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于正確解得不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對(duì)于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進(jìn)而求得不等式的整數(shù)解．可以借助數(shù)軸進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，得到需要的值，進(jìn)而非常容易的解決問(wèn)題．四．由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次不等式用不等式表示不等關(guān)系時(shí)，要抓住題目中的關(guān)鍵詞，如“大于（小于）、不超過(guò)（不低于）、是正數(shù)（負(fù)數(shù)）”“至少”、“最多”等等，正確選擇不等號(hào)．因此建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵，不同的詞里蘊(yùn)含著不同的不等關(guān)系．五．一元一次不等式的應(yīng)用（1）由實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系列出不等式，建立解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)解不等式可以得到實(shí)際問(wèn)題的答案．（2）列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過(guò)”、“不低于”等詞來(lái)體現(xiàn)問(wèn)題中的不等關(guān)系．因此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵．（3）列一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題的方法和步驟：①弄清題中數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù)．②根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式．③解不等式，求出解集．④寫(xiě)出符合題意的解．1.一元一次不等式的定義，含參數(shù)問(wèn)題時(shí)，要保證未知數(shù)的系數(shù)不為0.2.解一元一次不等式時(shí)，去分母每一項(xiàng)都要乘.3.一元一次不等式的應(yīng)用中理解“至少”、“最多”、“不超過(guò)”、“不低于”等詞來(lái)體現(xiàn)問(wèn)題中的不等關(guān)系．考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、一元一次不等式的定義例題：下列不等式是一元一次不等式的是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】A中不含未知數(shù)，不是一元一次不等式，故不符合題意；B中是一元一次不等式，故符合題意；C中中含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元一次不等式，故不符合題意；D中未知數(shù)的最高次數(shù)為2，不是一元一次不等式，故不符合題意．故選：B．【變式訓(xùn)練】1．下列式子：；；；，是一元一次不等式的有(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．已知關(guān)于x的不等式是一元一次不等式，那么m的值是.考點(diǎn)二、求一元一次不等式的解集例題：解不等式；【詳解】解：，，，．【變式訓(xùn)練】1．解不等式：2．解不等式：(1)；(2)．考點(diǎn)三、求一元一次不等式的整數(shù)解例題：不等式的正整數(shù)解是．【答案】1，2，3，4，5【詳解】解：解不等式，得，∴不等式的正整數(shù)解為1，2，3，4，5；故答案為：1，2，3，4，5．【變式訓(xùn)練】1．關(guān)于x的不等式的正整數(shù)解是．2．不等式的正整數(shù)解有個(gè)．考點(diǎn)四、在數(shù)軸上表示不等式的解集例題：解下列不等式，并把解表示在下列數(shù)軸上．．【詳解】解：原不等式可變形為：，解得：；此解集在數(shù)軸上表示為：【變式訓(xùn)練】1．解不等式：，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．2．解下列不等式，并把不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)：(1)；(2)．考點(diǎn)五、求一元一次不等式解的最值例題：已知關(guān)于x的方程．(1)若該方程的解滿足，求a的取值范圍；(2)若該方程的解是不等式的最大整數(shù)解，求a的值．【詳解】（1）解方程，得，∵該方程的解滿足，∴，解得．（2）解不等式，得，則最大的整數(shù)解是．把代入，解得．【變式訓(xùn)練】1．已知是關(guān)于x，y的二元一次方程的解．

(1)求a的值．(2)若y的取值范圍如圖所示，求x的最小值．考點(diǎn)六、解|x|≥a型的不等式例題：先閱讀下面的解題過(guò)程，然后回答下列問(wèn)題．例：解絕對(duì)值方程：．解：分情況討論：①當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得；②當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得．所以原方程的解為或．(1)理解應(yīng)用：；(2)拓展應(yīng)用：不等式的解集為_(kāi)_____．【詳解】（1）解：分情況討論：①當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得；②當(dāng)時(shí)，原方程可化為：，解得：，所以原方程的解為或；（2）解：分情況討論：①當(dāng)時(shí)，解得：；②當(dāng)時(shí)，解得：，所以不等式解集為或．【變式訓(xùn)練】1．閱讀理解：例1．解方程，因?yàn)樵跀?shù)軸上到原點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，所以方程的解為．例2．解不等式，在數(shù)軸上找出的解（如圖），因?yàn)樵跀?shù)軸上到1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離等于2的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為或3，所以方程的解為或，因此不等式的解集為或．

參考閱讀材料，解答下列問(wèn)題：(1)方程的解為_(kāi)_______(2)解不等式：．(3)解不等式：．考點(diǎn)七、列一元一次不等式例題：“x的3倍與2的和大于8”用不等式表示為．【答案】【詳解】解：由題意可得，．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．某校組織開(kāi)展了“詩(shī)詞大會(huì)”的知識(shí)競(jìng)賽初賽，共有20道題，答對(duì)一題加10分，答錯(cuò)或不答每題倒扣5分，小輝在初賽得分超過(guò)170分順利進(jìn)入決賽，設(shè)他答對(duì)x道題，根據(jù)題意，可列出關(guān)于x的不等式為．2．今年植樹(shù)節(jié)時(shí)，小川同學(xué)在學(xué)?；▓@栽種了一棵樹(shù)，此樹(shù)的樹(shù)圍（樹(shù)干的周長(zhǎng)）為，已知以后此樹(shù)樹(shù)圍每年增長(zhǎng)，若生長(zhǎng)x年后此樹(shù)樹(shù)圍超過(guò)，則x滿足的不等式為．考點(diǎn)八、用一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題例題：某中學(xué)棋類(lèi)興趣小組，準(zhǔn)備新購(gòu)進(jìn)一批圍棋和象棋，通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：圍棋每副18元，象棋每副10元，如果購(gòu)買(mǎi)圍棋與象棋共50副，且總價(jià)錢(qián)不超過(guò)660元，那么至少需要購(gòu)買(mǎi)多少副象棋？【詳解】解：設(shè)需要需要購(gòu)買(mǎi)x副象棋，則購(gòu)買(mǎi)圍棋副，則列不等式為：，解得：，∴至少需要購(gòu)買(mǎi)副象棋．答：至少需要購(gòu)買(mǎi)副象棋．【變式訓(xùn)練】1．“我運(yùn)動(dòng)，我健康，我快樂(lè)．”如皋某初中為響應(yīng)“每天陽(yáng)光運(yùn)動(dòng)1小時(shí)活動(dòng)”的號(hào)召，計(jì)劃購(gòu)入足球，籃球兩種球類(lèi)．若購(gòu)買(mǎi)足球15個(gè)，籃球10個(gè)，共需資金1850元；若購(gòu)買(mǎi)足球10個(gè)，籃球12個(gè)，共需資金1740元．(1)求足球、籃球的單價(jià)；(2)若學(xué)校準(zhǔn)備投入2100元資金，計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)這兩種球類(lèi)共30個(gè)，則籃球最多可以購(gòu)買(mǎi)多少個(gè)？2．習(xí)近平總書(shū)記說(shuō)：“人民群眾多讀書(shū)，我們的民族精神就會(huì)厚重起來(lái)、深邃起來(lái)．”某書(shū)店計(jì)劃在4月23日世界讀書(shū)日之前，同時(shí)購(gòu)進(jìn)A，B兩類(lèi)圖書(shū)，已知購(gòu)進(jìn)3本A類(lèi)圖書(shū)和4本B類(lèi)圖書(shū)共需288元；購(gòu)進(jìn)6本A類(lèi)圖書(shū)和2本B類(lèi)圖書(shū)共需306元．(1)A，B兩類(lèi)圖書(shū)每本的進(jìn)價(jià)各是多少元？(2)該書(shū)店計(jì)劃用4500元全部購(gòu)進(jìn)兩類(lèi)圖書(shū)，設(shè)購(gòu)進(jìn)A類(lèi)x本，B類(lèi)y本．①直接寫(xiě)出y關(guān)于x的關(guān)系式；②進(jìn)貨時(shí)，A類(lèi)圖書(shū)的購(gòu)進(jìn)數(shù)量不少于60本，已知A類(lèi)圖書(shū)每本的售價(jià)為38元，B類(lèi)圖書(shū)每本的售價(jià)為50元，若書(shū)店全部售完可獲利W元，求W關(guān)于x的關(guān)系式，并說(shuō)明應(yīng)該如何進(jìn)貨才能使書(shū)店所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少元？過(guò)關(guān)檢測(cè)一、單選題1．下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；中是一元一次不等式的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．0個(gè)2．不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

）A．

B．

C．

D．

3．如果關(guān)于的不等式的解集為，那么的取值范圍是（）．A． B． C． D．4．關(guān)于的方程的解是非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題5．等式有意義的條件是．6．“x與7的和大于2”用不等式表示為．7．已知（k－3）x|k|－2＋1＞0是關(guān)于x的一元一次不等式，則k＝．8．若關(guān)于x、y的方程組有整數(shù)解，且關(guān)于z的一元一次不等式有負(fù)整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的和為．9．對(duì)于實(shí)數(shù)，，我們用符號(hào)表示，兩數(shù)中較小的數(shù)，如．因此，；若，則．三、解答題10．解不等式，并寫(xiě)出其非負(fù)整數(shù)解．11．解不等式，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

12．解不等式，并將其解集在數(shù)軸上表示出來(lái)：(1)(2)13．下面是蘭蘭同學(xué)解一元一次不等式的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)：解不等式：．解：去分母，得

第一步去括號(hào)，得

第二步移項(xiàng)，得

第三步合并同類(lèi)項(xiàng)，得

第四步系數(shù)化為1，得

第五步任務(wù)：(1)上述過(guò)程中，第一步的依據(jù)是________，第________步出現(xiàn)錯(cuò)誤，具體錯(cuò)誤是________．(2)該不等式的解集是________________．14．已知關(guān)于x的不等式．(1)當(dāng)時(shí)，求該不等式的解集；(2)m取何值時(shí)，該不等式有解，并求出解集．15．已知關(guān)于和的方程組，且，(1)若，求方程組的解；(2)若方程組的解滿足不等式，且符合要求的整數(shù)只有兩個(gè)，求的取值范圍．16