第4章　第6講　第1課時　正弦定理和余弦定理

第6講正弦定理和余弦定理第1課時正弦定理和余弦定理必備知識自主學(xué)習(xí)1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理余弦定理正弦定理公式a2＝eq\o(□,\s\up3(1))b2＋c2－2bccosA；b2＝eq\o(□,\s\up3(2))a2＋c2－2accosB；c2＝eq\o(□,\s\up3(3))a2＋b2－2abcosCeq\f(a,sinA)＝eq\o(□,\s\up3(4))eq\f(b,sinB)＝eq\o(□,\s\up3(5))eq\f(c,sinC)＝2R常見變形cosA＝eq\o(□,\s\up3(6))eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\o(□,\s\up3(7))eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\o(□,\s\up3(8))eq\f(a2＋b2－c2,2ab)(1)a＝2RsinA，b＝eq\o(□,\s\up3(9))2RsinB，c＝eq\o(□,\s\up3(10))2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\o(□,\s\up3(11))eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝eq\o(□,\s\up3(12))sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA2.在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的個數(shù)eq\o(□,\s\up3(13))一解eq\o(□,\s\up3(14))兩解eq\o(□,\s\up3(15))一解eq\o(□,\s\up3(16))一解eq\o(□,\s\up3(17))無解3.三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示a邊上的高).(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(abc,4R)(R為外接圓的半徑).(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓的半徑).常用結(jié)論?(1)三角形內(nèi)角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π，變形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).(2)三角形中的三角函數(shù)關(guān)系①sin(A＋B)＝sinC．②cos(A＋B)＝－cosC．③sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2).④coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個內(nèi)角之比.()(2)在△ABC中，若sinA>sinB，則A>B．()(3)在△ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素．()(4)當(dāng)b2＋c2－a2>0時，△ABC為銳角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2＝0時，△ABC為直角三角形；當(dāng)b2＋c2－a2<0時，△ABC為鈍角三角形.()2．(教材改編)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，則∠BAC＝()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)3．(教材改編)在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，則c＝．4．(教材改編)在△ABC中，已知B＝30°，b＝eq\r(2)，c＝2，則C＝．關(guān)鍵能力互動探究命題點(diǎn)1利用正弦定理、余弦定理解三角形eq\x(例1)(1)(2024·山西太原質(zhì)檢)在△ABC中，已知A＝45°，a＝2，b＝eq\r(2)，則B等于()A．30° B．60°C．150° D．30°或150°(2)(2023·北京卷T7)在△ABC中，(a＋c)·(sinA－sinC)＝b(sinA－sinB)，則C＝()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)命題點(diǎn)睛?1．利用正弦定理可解決以下兩類三角形問題：一是已知兩角和一角的對邊，求其他邊或角；二是已知兩邊和一邊的對角，求其他邊與角(該三角形具有不唯一性，常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷).2．利用余弦定理可解決以下兩類三角形問題：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊與角；二是已知三邊求各個角．由于這兩種情形下的三角形是唯一確定的，所以其解也是唯一的．eq\x(針對訓(xùn)練)(2023·天津卷T16)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知a＝eq\r(39)，b＝2，A＝120°.(1)求sinB的值；(2)求c的值；(3)求sin(B－C)的值．命題點(diǎn)2判斷三角形的形狀eq\x(例2)(1)在△ABC中，eq\f(c－a,2c)＝sin2eq\f(B,2)(a，b，c分別為角A，B，C的對邊)，則△ABC的形狀為()A．直角三角形B．等邊三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形(2)在△ABC中，eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，則△ABC的形狀為等邊三角形．命題點(diǎn)睛?判斷三角形形狀的兩種思路(1)化為邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．(2)化為角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．此時要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個結(jié)論．eq\x(針對訓(xùn)練)1．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若eq\f(c,b)＜cosA，則△ABC為()A．鈍角三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．等邊三角形2．(2024·河南商丘質(zhì)檢)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為直角三角形．命題點(diǎn)3三角形的面積問題eq\x(例3)(2023·全國乙卷理T18)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.(1)求sin∠ABC；(2)若D為BC上一點(diǎn)，且∠BAD＝90°，求△ADC的面積．命題點(diǎn)睛?三角形面積公式的應(yīng)用原則(1)對于面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式．(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化．eq\x(針對訓(xùn)練)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷T17)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC面積為eq\r(3)，D為BC的中點(diǎn)，且AD＝1.(1)若∠ADC＝eq\f(π,3)，求tanB；(2)若b2＋c2＝8，求b，c.拓展培優(yōu)10三角形中的射影定理設(shè)△ABC的三邊是a，b，c，它們所對的角分別是A，B，C，則有a＝bcosC＋ccosB；b＝ccosA＋acosC；c＝acosB＋bcosA．以“a＝bcosC＋ccosB”為例，b，c在a上的射影分別為bcosC，ccosB，故名射影定理．其證明如下：[證明]如圖，在△ABC中，AD⊥BC，則bcosC＝CD，ccosB＝BD，故bcosC＋ccosB＝CD＋BD＝BC＝a，即a＝bcosC＋ccosB，同理可證b＝ccosA＋acosC，c＝acosB＋bcosA．eq\x(例)(1)(2023·全國乙卷文T4)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若acosB－bcosA＝c，且C＝eq\f(π,5)，則B＝()A．eq\f(π,10) B．eq\f(π,5)C．eq\f(3π,10) D．eq\f(2π,5)(2)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，S表示△ABC的面積，若ccosB＋bcosC＝asinA，S＝eq\f(\r(3),12)(b2＋a2－c2)，則B＝()A．90° B．60°C．45° D．30°eq\x(體驗練)1．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，acosB＋bcosA＝3，且sin2eq\f(A＋B,2)＝eq\f(3,4)，b＝3，則a＝()A．eq\f(3,4) B．eq\f(3,2)C．3 D．3eq\r(3)2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，c＝acosB＋2cosA，2b＝c，若cosC＝－eq\f(1,4)，則△ABC的面積為．課時作業(yè)[基礎(chǔ)鞏固練]1．(2023·遼寧丹東二模)△ABC中，AC＝eq\r(2)，BC＝eq\r(3)，A＝60°，則cosB＝()A．±eq\f(\r(2),2) B．±eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(2),2)2．(2023·四川成都二模)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且atanB＝eq\f(20,3)，bsinA＝4，則a的值為()A．6 B．5C．4 D．33．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若asinA＋bsinB－csinC＝eq\f(\r(6),2)asinB，則cosC＝()A．eq\f(\r(6),8) B．eq\f(\r(6),6)C．eq\f(\r(6),4) D．eq\f(\r(6),3)4．(2023·山東濟(jì)寧二模)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若AB邊上的高為2c，A＝eq\f(π,4)，則cosC＝()A．eq\f(\r(10),10) B．eq\f(3\r(10),10)C．eq\f(3\r(5),10) D．eq\f(\r(5),5)5．已知△ABC的面積為S＝eq\f(1,4)(b2＋c2)(其中b，c為△ABC內(nèi)角B，C的對邊)，則△ABC的形狀為()A．等邊三角形B．直角三角形但不是等腰三角形C．等腰三角形但不是直角三角形D．等腰直角三角形6．(2024·廣東廣州質(zhì)檢)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，△ABC的面積S＝eq\f(a2＋b2－c2,4)，且c＝6，則△ABC的外接圓的半徑為()A．6eq\r(3) B．6eq\r(2)C．3eq\r(3) D．3eq\r(2)7．(2023·北京西城二模)在△ABC中，若a＝2，tanA＝－eq\f(4,3)，cosB＝eq\f(4,5)，則b＝．8．(2023·陜西寶雞三模)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中c＝4，且滿足cosC＝sinC，2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,4)))＝c－2eq\r(3)cosA，則a等于．9．(2024·江西九江質(zhì)檢)△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知asinA＝(c－b)sinC＋bsinB，bc＝6，則△ABC的面積為．10．(2023·山東青島三模)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2csinB＝(2a－c)tanC．(1)求角B；(2)若c＝3a，D為AC的中點(diǎn)，BD＝eq\r(13)，求△ABC的周長．11．(2023·全國甲卷文T17)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知eq\f(b2＋c2－a2,cosA)＝2.(1)求bc；(2)若eq\f(acosB－bcosA,acosB＋bcosA)－eq\f(b,c)＝1，求△ABC面積．[能力提升練]12．(2024·山西運(yùn)城質(zhì)檢)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若eq\f(a2,b2)＝eq\f(sinAcosB,sinBcosA)，則△ABC的形狀為()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形