專(zhuān)題522相交線與平行線（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）-2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)突破講與練（人教版）

專(zhuān)題5.22相交線與平行線（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）【知識(shí)點(diǎn)1】對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系，它們的概念及性質(zhì)如下表：圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系對(duì)頂角112∠1與∠2有公共頂點(diǎn)∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長(zhǎng)線對(duì)頂角相等即∠1=∠2鄰補(bǔ)角有公共頂點(diǎn)∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長(zhǎng)線.鄰補(bǔ)角互補(bǔ)即∠3+∠4=180°【知識(shí)點(diǎn)2】垂線及性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離（1）垂線的定義：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.如圖1所示，符號(hào)語(yǔ)言記作：AB⊥CD，垂足為O.特別提醒：要判斷兩條直線是否垂直，只需看它們相交所成的四個(gè)角中，是否有一個(gè)角是直角，兩條線段垂直，是指這兩條線段所在的直線垂直.（2）垂線的性質(zhì)：垂線性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直(與平行公理相比較記).垂線性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.簡(jiǎn)稱(chēng)：垂線段最短.（3）點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離，如圖2：PO⊥AB，點(diǎn)P到直線AB的距離是垂線段PO的長(zhǎng).特別提醒：垂線段PO是點(diǎn)P到直線AB所有線段中最短的一條.【知識(shí)點(diǎn)3】同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁?xún)?nèi)角角的名稱(chēng)位置特征圖形結(jié)構(gòu)特征同位角既在截線的同側(cè)，又在兩條被截線的同側(cè)形如字母“F”（或倒置、反轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)）內(nèi)錯(cuò)角既位于被截兩直線之間，又位于截線兩側(cè)，即被截線“錯(cuò)開(kāi)”形如字母“Z”（或倒置、反轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)）同旁?xún)?nèi)角既位于接線的同側(cè)，又位于被截兩直線之間.形如字母“U”（或倒置、反轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)）【知識(shí)點(diǎn)4】平行線的定義在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，平行用符號(hào)“//”表示.【知識(shí)點(diǎn)5】平行線的畫(huà)法一“落”：把三角尺一邊落在已知直線上；二“靠”：用直尺緊靠三角尺的另一邊；三“移”：沿直尺移動(dòng)三角尺，使三角尺與已知直線重合的邊過(guò)已知點(diǎn)；四“畫(huà)”：沿三角尺過(guò)已知點(diǎn)的變化直線.【知識(shí)點(diǎn)6】平行公理1.平行公理：經(jīng)過(guò)直線過(guò)一點(diǎn)，有且只有一條只限于這條直線平行.2.平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.【知識(shí)點(diǎn)7】平行線的判定判定方法1判定方法2判定方法3兩條直線平行的判定兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行，即同位角相等，兩直線平行兩條直線被第三條直線所截，如果同位內(nèi)角相等，那么這兩條直線平行，即內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行兩條直線被第三條直線所截，如果同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行，即同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行符號(hào)語(yǔ)言那么∠1=∠2那么AB//CD那么∠1=∠2那么AB//CD那么∠1+∠2=180°那么AB//CD【知識(shí)點(diǎn)8】平行線的性質(zhì)性質(zhì)1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，即兩直線平行，同位角相等.性質(zhì)2：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等，即兩直線平行，同位角相等.性質(zhì)3：兩條平行線被第三條直線所截，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，即兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ).【知識(shí)點(diǎn)9】命題、定理、證明1.命題：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題．

要點(diǎn)提醒：（1）命題的結(jié)構(gòu)：每個(gè)命題都由題設(shè)、結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).（2）命題的表達(dá)形式：“如果……，那么…….”，也可寫(xiě)成：“若……，則…….”（3）真命題與假命題：真命題：題設(shè)成立結(jié)論一定成立的命題，叫做真命題.假命題：題設(shè)成立而不能保證結(jié)論一定成立的命題，叫做假命題.2.定理：定理是從真命題（公理或其他已被證明的定理）出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理證實(shí)得到的另一個(gè)真命題，定理也可以作為繼續(xù)推理的依據(jù).3.證明：在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過(guò)推理，才能作出判斷，這個(gè)推理過(guò)程叫做證明.要點(diǎn)提醒：（1）證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”，這些根據(jù)可以是已知條件，學(xué)過(guò)的定義、基本事實(shí)、定理等.（2）判斷一個(gè)命題是正確的，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的證明；判斷一個(gè)命題是假命題，只需列舉一個(gè)反例即可．【知識(shí)點(diǎn)10】平移1.定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，圖形的這種移動(dòng)叫做平移．要點(diǎn)提醒：（1）圖形的平移的兩要素：平移的方向與平移的距離．（2）圖形的平移不改變圖形的形狀與大小，只改變圖形的位置.2.性質(zhì)：圖形的平移實(shí)質(zhì)上是將圖形上所有點(diǎn)沿同一方向移動(dòng)相同的距離，平移不改變線段、角的大小，具體來(lái)說(shuō)：（1）平移后，對(duì)應(yīng)線段平行且相等；（2）平移后，對(duì)應(yīng)角相等；（3）平移后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段平行且相等；（4）平移后，新圖形與原圖形是一對(duì)全等圖形.要點(diǎn)提醒：（1）“連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段”的線段的長(zhǎng)度實(shí)際上就是平移的距離．(2)要注意“連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段”與“對(duì)應(yīng)線段”的區(qū)別，前者是通過(guò)連接平移前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)得到的，而后者是原來(lái)的圖形與平移后的圖形上本身存在的.3.作圖：平移作圖是平移基本性質(zhì)的應(yīng)用，在具體作圖時(shí)，應(yīng)抓住作圖的“四步曲”——定、找、移、連．(1)定：確定平移的方向和距離；(2)找：找出表示圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；(3)移：過(guò)關(guān)鍵點(diǎn)作平行且相等的線段，得到關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；(4)連：按原圖形順次連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)．【考點(diǎn)一】三線八角【對(duì)頂角與鄰補(bǔ)角】【例1】（2023上·黑龍江綏化·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，直線、相交于點(diǎn)O，，射線將分成兩個(gè)角，且．（1）求的度數(shù)；（2）若平分，則是的平分線嗎？判斷并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）OB是的平分線，理由見(jiàn)分析【分析】本題考查了幾何圖形中的角度計(jì)算，角平分線的定義：（1）由對(duì)頂角相等可得，再根據(jù)即可求解；（2）由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求得，再由角平分線的性質(zhì)求得，即可得出結(jié)論．（1）解：，，，，；（2）解：是．理由如下：，，平分，，，，，，是的平分線．【舉一反三】【變式1】（2023下·安徽合肥·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在燈塔處觀測(cè)到輪船A位于北偏西的方向，輪船在的反向延長(zhǎng)線的方向上，同時(shí)輪船在東南方向，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用對(duì)頂角相等，可得輪船B在O的南偏東方向，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：由題意知，輪船B在O的南偏東方向，，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了方向角，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023上·黑龍江綏化·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)O在直線上，射線平分，若，則．【答案】/100度【分析】本題考查了角平分線的定義和鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可求解．解：射線平分，，，，故答案為：．【同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角】【例2】（2019下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是內(nèi)錯(cuò)角？哪些是同旁?xún)?nèi)角？【答案】同位角有∠1和∠5；∠4和∠3；內(nèi)錯(cuò)角有∠2和∠3；∠1和∠4；同旁?xún)?nèi)角有∠3和∠5；∠4和∠5；∠4和∠2．【分析】同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角．內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角．同旁?xún)?nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁?xún)?nèi)角．依此即可得出答案．解：∵∠1和∠5在截線AC同側(cè)，在被截直線BE，CE同方向所成的角；∠4和∠3，在截線CE的上方，被截直線DB、EB的左側(cè)，∴同位角有∠1和∠5；∠4和∠3，共2對(duì)；∵∠2和∠3在截線BD兩側(cè)，被截直線AC與CE內(nèi)部；∠1和∠4在截線BE兩側(cè)，被截直線AC與CE內(nèi)部，∴內(nèi)錯(cuò)角有∠2和∠3；∠1和∠4,共2對(duì)；∵∠3和∠5在截線CD同側(cè)，被截直線CB與DB內(nèi)部；∠4和∠5在截線CE同側(cè)，被截直線CB與EB的內(nèi)部；∠4和∠2在截線BE同側(cè)，被截直線DB與DE的內(nèi)部，∴同旁?xún)?nèi)角有∠3和∠5；∠4和∠5；∠4和∠2，共3對(duì).【點(diǎn)撥】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角，三線八角中的某兩個(gè)角是不是同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁?xún)?nèi)角，完全由那兩個(gè)角在圖形中的相對(duì)位置決定．在復(fù)雜的圖形中判別三類(lèi)角時(shí)，應(yīng)從角的兩邊入手，具有上述關(guān)系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線．同位角的邊構(gòu)成“F“形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁?xún)?nèi)角的邊構(gòu)成“U”形．【舉一反三】【變式1】（2023下·上海奉賢·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．與是同位角 B．與是內(nèi)錯(cuò)角C．與是同位角 D．與是同旁?xún)?nèi)角【答案】D【分析】根據(jù)同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁?xún)?nèi)角的定義逐個(gè)判斷即可．解：、和不是同位角，故本選項(xiàng)不符合題意；B、和不是內(nèi)錯(cuò)角，故本選項(xiàng)不符合題意；C、和是內(nèi)錯(cuò)角，不是同位角，故本選項(xiàng)不符合題意；D、和是同旁?xún)?nèi)角，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁?xún)?nèi)角的定義等知識(shí)點(diǎn)，能正確找出同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角是解此題的關(guān)鍵．【變式2】（2023下·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）如圖，直線，被所截，則和是同位角，和是內(nèi)錯(cuò)角，和是同旁?xún)?nèi)角；（2）在（1）中，如果，那么的推理過(guò)程如下，請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)注明理由：因?yàn)椋ǎ?，（），所以（?/p>

【答案】已知對(duì)頂角相等等量代換【分析】根據(jù)對(duì)頂角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角及同旁?xún)?nèi)角的定義，解答即可．解：如圖，直線，被所截，則和是同位角，和是內(nèi)錯(cuò)角，和是同旁?xún)?nèi)角；（2）在（1）中，如果，那么的推理過(guò)程如下，請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)注明理由：因?yàn)椋ㄒ阎▽?duì)頂角相等），所以（等量代換）故答案為：，，，已知，對(duì)頂角相等，等量代換．【點(diǎn)撥】本題考查了對(duì)頂角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角及共旁?xún)?nèi)角的定義，熟記這些概念，并能熟練應(yīng)用，是解答這類(lèi)題目的關(guān)鍵，同時(shí)還考查了對(duì)頂角相等、等量代換等知識(shí)．【考點(diǎn)三】平行線公理的理解與認(rèn)識(shí)【例3】（2023下·河北邯鄲·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)P、Q分別是的邊、上的點(diǎn)．

（1）過(guò)點(diǎn)P、Q分別畫(huà)、的平行線，兩直線相交于點(diǎn)M；（2）過(guò)點(diǎn)P、畫(huà)的垂線，垂足為H，過(guò)點(diǎn)P畫(huà)的垂線交于點(diǎn)G；（3）線段與的大小關(guān)系是什么？【答案】（1）見(jiàn)分析；（2）見(jiàn)分析；（3）【分析】（1）利用三角板和直尺按要求作圖；（2）利用三角板和直尺按要求作圖；（3）根據(jù)“垂線段最短”進(jìn)行判斷即可．解：（1）所求圖形，如圖所示

（2）所求圖形，如圖所示

（3）根據(jù)“垂線段最短”，可得【點(diǎn)撥】本題考查作平行線，作垂線，垂線段最短，掌握作平行線，作垂線是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2022下·廣東深圳·七年級(jí)統(tǒng)考期中）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）①經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；②一個(gè)角的補(bǔ)角一定大于這個(gè)角；③直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到直線的距離；④同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線；⑤平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4【答案】B【分析】根據(jù)平行公理，補(bǔ)角的定義，點(diǎn)到直線的距離，兩直線的位置關(guān)系，垂線的性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．解：①經(jīng)過(guò)直線外的一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故①錯(cuò)誤；②一個(gè)角的補(bǔ)角不一定大于這個(gè)角，故②錯(cuò)誤③直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做這個(gè)點(diǎn)到直線的距離，故③錯(cuò)誤④同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，故④正確⑤平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故⑤正確，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了平行公理，補(bǔ)角的定義，點(diǎn)到直線的距離，兩直線的位置關(guān)系，垂線的性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022上·上?！ぞ拍昙?jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，點(diǎn)E、F分別是梯形兩腰的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、，如果圖中的面積為1.5，那么梯形的面積等于．【答案】6【分析】過(guò)點(diǎn)A作于H，交于G，根據(jù)梯形中位線定理得到，根據(jù)三角形的面積公式、梯形的面積公式計(jì)算，得到答案．解：過(guò)點(diǎn)A作于H，交于G，如圖，∵點(diǎn)E、F分別是梯形兩腰的中點(diǎn)，∴是梯形的中位線，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，故答案為：6．【點(diǎn)撥】本題考查的是梯形的中位線、三角形的面積計(jì)算，掌握梯形中位線定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四】利用平行線判定求值與證明【例4】（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）小明想知道作業(yè)紙上兩條相交直線，所夾銳角的大?。ㄈ鐖D1）．但發(fā)現(xiàn)其交點(diǎn)不在作業(yè)紙內(nèi)，無(wú)法直接測(cè)量．小明設(shè)計(jì)了如下方案（如圖2）：

①作直線分別交，于點(diǎn)，，以點(diǎn)為頂點(diǎn)，為一邊，在直線的右側(cè)作；②測(cè)量的度數(shù)即可得到直線，所夾銳角的大?。畣?wèn)題1：你認(rèn)為小明的方案可行嗎？并說(shuō)明理由．問(wèn)題2：你還有其他方法嗎？請(qǐng)?jiān)趫D1中畫(huà)圖說(shuō)明．（測(cè)量工具：直尺、量角器）【答案】問(wèn)題1：小明的方案可行．理由見(jiàn)分析；問(wèn)題2：見(jiàn)分析【分析】問(wèn)題1：根據(jù)同位角相等，兩直線平行進(jìn)行判斷；問(wèn)題2：在上取點(diǎn)，在上取點(diǎn)，作直線，量出一組同旁?xún)?nèi)角，根據(jù)同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)兩直線平行進(jìn)行判斷．解：?jiǎn)栴}1：小明的方案可行．理由：如圖，設(shè)直線，相交于點(diǎn)．

，，．問(wèn)題2：如圖，在上取點(diǎn)，在上取點(diǎn)，作直線，量出和的大小，利用三角形內(nèi)角和即可求出直線，所夾銳角的大?。?/p>

若和的和是，則說(shuō)明兩直線平行．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的判定，判定定理：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【舉一反三】【變式1】（2023·山西晉中·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，將一副三角尺如圖放置，、交于點(diǎn)，（，）則下列結(jié)論不正確的是（

）

A． B．C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】由余角的性質(zhì)，得到，由，得到，因?yàn)?，故和不平行，由，得到．解：＋＋，，故A正確；，，故B正確；，，，，和不平行，故C錯(cuò)誤；，，，，，故D正確．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查平行線的判定，關(guān)鍵是掌握平行線的判定方法．【變式2】（2023下·山東濱州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，對(duì)于下列給出的四個(gè)條件：①；②；③；④中，能判定的有．（填寫(xiě)正確條件的序號(hào)）

【答案】①③④【分析】根據(jù)平行線的判定逐個(gè)判斷即可得．解：①能判定（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）；②不能判定；③能判定（同位角相等，兩直線平行）；④能判定（同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）；故答案為：①③④．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)五】利用平行線性質(zhì)求值與證明【例5】（2024下·江西九江·八年級(jí)?？计谀┤鐖D1，直線，將一把直角三角尺的直角頂點(diǎn)P放在兩平行線之間，兩直角邊分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）請(qǐng)你判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，若和的平分線相交于點(diǎn)G，求的度數(shù)；（3）如圖2，若，請(qǐng)用含n的式子表示∠G．【答案】（1），理由見(jiàn)詳解；（2）；（3）【分析】（1）過(guò)P點(diǎn)作，利用平行線的性質(zhì)定理可得結(jié)論；（2）由（1）的計(jì)算可得出（2）的結(jié)論；（3）探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題即可．（1）解：，理由：過(guò)點(diǎn)P作，如圖所示：，，，，，，故答案為：；（2）解：如下圖中，和的平分線相交于點(diǎn)G，，，∴同理可得．（3）解：，，由（2）可知，【點(diǎn)撥】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，規(guī)律型問(wèn)題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．【舉一反三】【變式1】（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市第一一三中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，，平分，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，求出，再利用角平分線計(jì)算即可．解：∵，∴，∴，∴，∵平分，∴,∴，故選：A．【變式2】（2024上·重慶·七年級(jí)重慶八中?？计谀┤鐖D，直線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線和直線上，點(diǎn)P在兩條平行線之間，和的角平分線交于點(diǎn)H，已知，則的度數(shù)為．【答案】/度【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，結(jié)合角平分線的定義得到，同理可得．解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，

∵，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，平分，∴．∵，∴，∴故答案為：．【考點(diǎn)六】作圖【垂線】【例6】（2023下·河北滄州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖是一條河是河邊外一點(diǎn)，是河邊上一碼頭．

（1）若要從走到碼頭，請(qǐng)?jiān)趫D1中作出最短路線示意圖．（2）現(xiàn)欲用水管從河邊將水引到處，請(qǐng)?jiān)趫D2上作出所需水管最短的鋪設(shè)方案．【答案】（1）見(jiàn)分析；（2）見(jiàn)分析【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，連接即可得到答案；（2）根據(jù)垂線段最短，作即可得到答案．（1）解：根據(jù)題意畫(huà)出圖，如圖所示：

；（2）解：根據(jù)題意畫(huà)出圖如圖所示：

．【點(diǎn)撥】本題考查了兩點(diǎn)之間線段最短以及垂線段最短，熟練掌握兩點(diǎn)之間線段最短以及垂線段最短是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2019·浙江金華·校聯(lián)考二模）甲，乙兩位同學(xué)用尺規(guī)作“過(guò)直線l外一點(diǎn)C作直線l的垂線”時(shí)，第一步兩位同學(xué)都以C為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，交直線l于D，E兩點(diǎn)（如圖）；第二步甲同學(xué)作∠DCE的平分線所在的直線，乙同學(xué)作DE的中垂線．則下列說(shuō)法正確的是（）A．只有甲的畫(huà)法正確 B．只有乙的畫(huà)法正確C．甲，乙的畫(huà)法都正確 D．甲，乙的畫(huà)法都不正確【答案】C【分析】利用等腰三角形的三線合一可判斷甲乙的畫(huà)法都正確．解：∵CD＝CE，∴∠DCE的平分線垂直DE，DE的垂直平分線過(guò)點(diǎn)C，∴甲，乙的畫(huà)法都正確．故選C．【點(diǎn)撥】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．【變式2】（2023下·天津南開(kāi)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)移為格點(diǎn)，線段和的端點(diǎn)A，B，C均在幕點(diǎn)上，請(qǐng)按要求用無(wú)刻度的直尺在如圖所示的網(wǎng)格中畫(huà)圖．

（1）過(guò)點(diǎn)A畫(huà)線段的垂線，垂足為點(diǎn)D；（2）作經(jīng)段，；（3）在線段上確定點(diǎn)F，使得最小，在圖中畫(huà)出點(diǎn)F（保留作圖痕跡）．【答案】（1）見(jiàn)分析；（2）見(jiàn)分析；（3）見(jiàn)分析．【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格線的特征畫(huà)圖；（2）根據(jù)網(wǎng)格線的特征畫(huà)圖；（3）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求解．（1）解：如圖，即為所求；（2）如圖，線段即為所求；（3）∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴直接連接即可，如圖，點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)撥】本題考查了作圖，熟悉網(wǎng)格線的特征是解題的關(guān)鍵．【平移】【例7】（2024上·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）如圖1，正方形網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，畫(huà)出將向右平移5個(gè)單位后的；再畫(huà)出關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的圖形；（2）在（1）中，若點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，求的最小值：（3）如圖2，中，為上的一點(diǎn)，在上求作一點(diǎn)，使得（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）．【答案】（1）見(jiàn)分析；（2）5；（3）見(jiàn)分析【分析】對(duì)于（1），將三個(gè)點(diǎn)向右平移5個(gè)單位，再連接可得，然后作三個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，依次連接即可；對(duì)于（2），根據(jù)對(duì)稱(chēng)確定點(diǎn)P的位置，再根據(jù)勾股定理求出答案；對(duì)于（3），先作點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接與的交點(diǎn)即為點(diǎn)Q，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，再根據(jù)對(duì)頂角相等得，即可得出．解：（1）如圖所示．（2）如圖所示，∵點(diǎn)和關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，∴，∴．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，連接與直線l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．根據(jù)勾股定理，得．∴的最小值為5；（3）如圖所示，以點(diǎn)C為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)H，G，再分別以點(diǎn)H，G為圓心，以大于為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)E，作射線，截取，連接交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q為所求作的點(diǎn)．【點(diǎn)撥】本題主要考查了作平移圖形，作軸對(duì)稱(chēng)圖形，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短求線段和最小，作線段垂直平分線等，掌握尺規(guī)作基礎(chǔ)圖形是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2020下·廣西百色·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在方格紙上，向右平移（

）格后得到A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意直接根據(jù)平移的基本性質(zhì)可得對(duì)應(yīng)點(diǎn)間線段長(zhǎng)度即為平移距離進(jìn)行分析即可．解：從圖中看出，點(diǎn)B1與點(diǎn)B的距離為4格，所以向右平移4格后得到．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查圖形平移，注意掌握平移的基本性質(zhì)即對(duì)應(yīng)點(diǎn)間線段長(zhǎng)度即為平移距離．【變式2】（2021下·安徽馬鞍山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形先向右平移，再向下平移，得到長(zhǎng)方形，則陰影部分的面積為．

【答案】【分析】根據(jù)圖形移動(dòng)可求出，的長(zhǎng)，根據(jù)幾何圖形面積的計(jì)算方法即可求解，本題主要考查圖形的平移，掌握?qǐng)D形平移求線段長(zhǎng)度的方法是解題的關(guān)鍵．解：由題意可得，陰影部分是矩形，長(zhǎng)，寬，∴陰影部分的面積，故答案為：．【考點(diǎn)七】平移的性質(zhì)【例8】（2023下·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，線段AB，BC被直線AC所截，D是線段AC上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，連接AE，．將線段AE沿著直線AC平移得到線段PQ，連接DQ．（1）求證：；（2）若，，求的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)分析；（2）解：（1）證明：，．，，．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF∥AE交AB于點(diǎn)F，則．∵，由平移的性質(zhì)，得，，．，，，，【舉一反三】【變式1】（2023下·河北石家莊·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在三角形中，．將三角形沿所在直線向右平移，所得圖形對(duì)應(yīng)為三角形，若要使成立，則平移的距離是（

）

A．6 B．9 C．6或12 D．9或12【答案】C【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得，則，然后分點(diǎn)E在線段上和點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線兩種情況，分別求解即可．解：根據(jù)平移的性質(zhì)可得，∵，∴，又∵，∴當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)