14空間向量的應(yīng)用專(zhuān)項(xiàng)講義-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

1.4空間向量的應(yīng)用專(zhuān)項(xiàng)講義高二數(shù)學(xué)上學(xué)期人教A版（2019）【高頻考點(diǎn)】+【典型例題】+【跟蹤訓(xùn)練】目錄導(dǎo)航目錄導(dǎo)航第一部分：高頻考點(diǎn)第二部分：典型例題第三部分：跟蹤訓(xùn)練【第一部分】高頻考點(diǎn)高頻考點(diǎn)空間直線的點(diǎn)向式方程或標(biāo)準(zhǔn)方程：設(shè)直線L過(guò)點(diǎn)M0（x0，y0，z0），＝（m，n，p）是直線L的方向向量．設(shè)M（x，y，z）是直線L上任意一點(diǎn)，則＝（x﹣x0，y﹣y0，z﹣z0），且∥．由兩向量平行的充要條件可知改方程組稱(chēng)為直線的點(diǎn)向式方程或標(biāo)準(zhǔn)方程（當(dāng)m、n、p中有一個(gè)或兩個(gè)為零時(shí)，就理解為相應(yīng)的分子為零）．若直線L的方程為，平面π的方程為Ax+By+Cz+D＝0，則直線L與平面π平行的充要條件是mA+nB+pC＝0；直線L與平面π垂直得充要條件是空間直線的參數(shù)方程：在直線方程中，記其比值為t，則有（※）這樣，空間直線上動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)x、y、z就都表達(dá)為變量t的函數(shù)．當(dāng)t取遍所有實(shí)數(shù)值時(shí)，由所確定的點(diǎn)M（x，y，z）就描出來(lái)直線．形如（※）的方程稱(chēng)為直線的參數(shù)方程，t為參數(shù)．用空間向量直線與平面所成角的求法：（1）傳統(tǒng)求法：可通過(guò)已知條件，在斜線上取一點(diǎn)作該平面的垂線，找出該斜線在平面內(nèi)的射影，通過(guò)解直角三角形求得．（2）向量求法：設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為θ，與的夾角為φ，則有sinθ＝|cosφ|＝．空間向量法求解二面角及兩平面的夾角1、二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面．棱為AB、面分別為α、β的二面角記作二面角α﹣AB﹣β．有時(shí)為了方便，也可在α、β內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點(diǎn)P、Q，將這個(gè)二面角記作P﹣AB﹣Q．如果棱記作l，那么這個(gè)二面角記作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小與點(diǎn)O的位置無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)，我們可以根據(jù)需要來(lái)選擇棱l上的點(diǎn)O．3、二面角的平面角求法：向量法：用空間向量求平面間夾角的方法：設(shè)平面α和β的法向量分別為和，若兩個(gè)平面的夾角為θ，則（1）當(dāng)0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，此時(shí)cosθ＝cos＜，＞＝．（2）當(dāng)＜＜，＞＜π時(shí)，θ＝π﹣＜，＞，cosθ＝﹣cos＜，＞＝﹣．【第二部分】典型例題典型例題1．（2024春?廣陵區(qū)校級(jí)期中）已知空間三點(diǎn)A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），設(shè)，．（1）若，，求；（2）求與的夾角的余弦值；（3）若與互相垂直，求k．【解答】解：（1）因?yàn)椋剑ī?，﹣1，2），∥，可設(shè)＝（﹣2λ，﹣λ，2λ），則||＝＝3|λ|＝3，解得λ＝±1，所以＝（﹣2，﹣1，2）或＝（2，1，﹣2）．（2）因?yàn)椋剑剑?，1，0），＝＝（﹣1，0，2），所以cos＜，＞＝＝＝﹣．（3）k+＝（k﹣1，k，2），k﹣2＝（k+2，k，﹣4），又因?yàn)椋╧+）⊥（k﹣2），所以（k+）?（k﹣2）＝k2﹣k?﹣2＝2k2+k﹣10＝0，解得k＝2或k＝﹣．2．（2024?湖南二模）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝．（1）若AD⊥PB，證明：AD∥平面PBC；（2）若AD⊥DC，且二面角A﹣CP﹣D的正弦值為，求AD．【解答】解：（1）證明：因?yàn)镻A⊥面ABCD，AD?面ABCD，所以PA⊥AD，又因?yàn)锳D⊥PB，PB∩PA＝P，PB，PA?面PAB，所以AD⊥面PAB，又AB?面PAB，所以AD⊥AB，在△ABC中，AB2+BC2＝AC2，所以AB⊥BC，因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)共面，所以AD∥BC，又因?yàn)锽C?面PBC，AD?面PBC，所以AD∥面PBC．（2）以DA，DC為x，y軸，過(guò)點(diǎn)D作平面ABCD垂直的線為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz：令A(yù)D＝t，則A（t，0，0），P（t，0，2），D（0，0，0），DC＝，C（0，，0），設(shè)平面ACP的法向量＝（x1，y1，z1），所以，設(shè)x1＝，則y1＝t，z1＝0，所以＝（，t，0），設(shè)平面CPD的法向量為＝（x2，y2，z2），所以，設(shè)z2＝t，則x2＝﹣2，y2＝0，所以＝（﹣2，0，t），因?yàn)槎娼茿﹣CP﹣D的正弦值為，則余弦值為，又二面角為銳角，所以＝|cos＜，＞|＝|＝，所以t＝，所以AD＝．3．（2024?大連一模）如圖多面體ABCDEF中，面FAB⊥面ABCD，△FAB為等邊三角形，四邊形ABCD為正方形，EF∥BC，且，H，G分別為CE，CD的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：BF⊥AD；（Ⅱ）求平面BCEF與平面FGH所成角的余弦值；（Ⅲ）作平面FHG與平面ABCD的交線，記該交線與直線AD交點(diǎn)為P，寫(xiě)出的值（不需要說(shuō)明理由，保留作圖痕跡）．【解答】（Ⅰ）證明：取AB的中點(diǎn)O，連接OF，OG，因?yàn)椤鱂AB為等邊三角形，所以O(shè)F⊥AB，又面FAB⊥面ABCD，面FAB∩面ABCD＝AB，OF?平面FAB，所以O(shè)F⊥平面ABCD，因?yàn)锳D?平面ABCD，所以O(shè)F⊥AD，又正方形ABCD，所以AB⊥AD，因?yàn)镺F∩AB＝O，OF、AB?平面FAB，所以AD⊥平面FAB，又BF?平面FAB，所以BF⊥AD．（Ⅱ）解：因?yàn)镺，G分別為AB，CD的中點(diǎn)，所以O(shè)G∥AD，又AB⊥AD，所以O(shè)G⊥AB，由（Ⅰ）知，OF⊥平面ABCD，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（2，0，0），C（2，4，0），F(xiàn)（0，0，2），E（0，3，2），H（1，，），G（0，4，0），所以＝（0，4，0），＝（﹣2，0，2），＝（1，，﹣），＝（0，4，﹣2），設(shè)平面BCEF的法向量為＝（x，y，z），則，即，令z＝1，則x＝，y＝0，所以＝（，0，1），設(shè)平面FGH的法向量為＝（a，b，c），則，即，令c＝4，則a＝﹣3，b＝2，所以＝（﹣3，2，4），設(shè)平面BCEF與平面FGH所成角為θ，則cosθ＝|cos＜，＞|＝＝＝，故平面BCEF與平面FGH所成角的余弦值為．（Ⅲ）解：在AD上取點(diǎn)P，使得＝，連接PF，PG，并延長(zhǎng)PG和BC，相交于點(diǎn)M，則PM即為平面FHG與平面ABCD的交線，理由如下：因?yàn)镋F∥BC∥PD，EF＝PD＝3，所以四邊形DEFP是平行四邊形，所以PF∥DE，又G，H分別是CD和CE的中點(diǎn)，所以GH∥DE，所以PF∥GH，即P，F(xiàn)，H，G四點(diǎn)共面，而P、M∈平面FHG，P、M∈平面ABCD，所以PM即為平面FHG與平面ABCD的交線．【第三部分】跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?遼寧月考）設(shè)x，y∈R，向量＝（x，1，1），＝（1，y，1），＝（2，﹣4，2），且⊥，∥，則|+|＝（）A． B． C．3 D．42．（2024春?興化市校級(jí)期末）已知，，且，則x＝（）A． B．﹣6 C．6 D．13．（2024秋?呂梁月考）若平面α的法向量＝（1，2，﹣3），直線l的方向向量＝（1，1，1），則（）A．l∥α B．l⊥α C．l?α D．l∥α或l?α4．（2024春?惠農(nóng)區(qū)校級(jí)期末）已知直線l和平面α，且l∥α，l的方向向量為，平面α的一個(gè)法向量為，（m＞0，n＞0），則的最小值為（）A． B．2 C． D．45．（2023秋?肇東市校級(jí)期末）已知A（1，0，1），是平面α的一個(gè)法向量，且B（﹣1，2，2）是平面α內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面α的距離為（）A． B． C． D．6．（2023秋?福清市校級(jí)月考）如圖，已知矩形ABCD中，E為線段CD上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記∠AED＝α，現(xiàn)將△ADE沿直線AE翻折到△APE的位置，記直線CP與直線AE所成的角為β，則（）A．cosα＞cosβ B．cosα＜cosβ C．cosα＞sinβ D．sinα＜cosβ7．（2023秋?眉山期末）已知正四棱錐P﹣ABCD的高為，點(diǎn)E滿(mǎn)足，則點(diǎn)D到平面AEC的距離為（）A． B． C． D．8．（2024?浙江開(kāi)學(xué)）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1上的動(dòng)點(diǎn)，且A1F∥平面AD1E，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有（）①二面角F﹣AD1﹣E的大小為常數(shù)②二面角F﹣D1E﹣A的大小為常數(shù)③二面角F﹣AE﹣D1的大小為常數(shù)A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)二．多選題（共3小題）（多選）9．（2023秋?金華期末）已知為直線l的方向向量，，分別為平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列說(shuō)法中，正確的有（）A．∥?α∥β B．⊥?α⊥β C．∥?l∥α D．⊥?l⊥α（多選）10．（2023秋?永州期末）已知平面α與平面β平行，若平面α的一個(gè)法向量為＝（﹣1，2，﹣3），則平面β的法向量可以是（）A．（1，﹣2，3） B．（﹣1，﹣2，3） C．（2，﹣4，6） D．（2，﹣4，﹣6）（多選）11．（2024?七星區(qū)校級(jí)模擬）已知直線a，b和平面α，β，α與β所成銳二面角為θ．則下列結(jié)論正確的是（）A．若a⊥α，b⊥β，則a與b所成角為θ B．若a∥α，b∥β，則a與b所成角為θ C．若a?α，則a與β所成角最大值為 D．若b⊥β，則b與α所成角為三．填空題（共3小題）12．（2024秋?三元區(qū)校級(jí)月考）已知直線l與平面α垂直，直線l的一個(gè)方向向量為，向量為平面α的法向量，則z＝．13．（2024?鄲城縣開(kāi)學(xué)）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為棱A1D1的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若，則直線MP與CC1所成角的余弦值為．14．（2024春?天寧區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知點(diǎn)A是圓臺(tái)O1O的上底面圓O1上的動(dòng)點(diǎn)，B，C在下底面圓O上，，則直線AO與平面O1BC所成角的正弦值的最大值為．四．解答題（共5小題）15．（2023秋?林芝市期末）已知空間向量．（1）求；（2）若向量與垂直，求實(shí)數(shù)k的值．16．（2024春?武進(jìn)區(qū)期中）已知空間三點(diǎn)A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），設(shè)，．（1）若與互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值；（2）若，，求．17．（2023秋?崇明區(qū)校級(jí)期末）在如圖所示的幾何體ABCED中，EC⊥面ABC，DB⊥面ABC，CE＝CA＝CB＝2DB，∠ACB＝90°，M為AD的中點(diǎn)．（1）證明：EM⊥AB；（2）求直線BM和平面ADE所成角的正弦值．18．（2024秋?大慶月考）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB∥DC，△ABD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，DC＝3，O為AB的中點(diǎn)，將△AOD沿OD折到△POD的位置，．（1）求證：PO⊥BD；（2）若E為PC的中點(diǎn)，求直線BE與平面PDC所成角的正弦值．19．（2024?西吉縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1，F(xiàn)分別是棱AD，AA1，AB的中點(diǎn)，G是FC的中點(diǎn)．（1）證明：BG⊥FC1；（2）證明：平面AEE1∥平面FCC1；（3）求二面角B﹣FC1﹣C的余弦值．

1.4空間向量的應(yīng)用專(zhuān)項(xiàng)講義高二數(shù)學(xué)上學(xué)期人教A版（2019）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?遼寧月考）設(shè)x，y∈R，向量＝（x，1，1），＝（1，y，1），＝（2，﹣4，2），且⊥，∥，則|+|＝（）A． B． C．3 D．4【解答】解：設(shè)x，y∈R，向量＝（x，1，1），＝（1，y，1），＝（2，﹣4，2），且⊥，∥，∴，解得x＝1，y＝﹣2，∴＝（1，1，1）+（1，﹣2，1）＝（2，﹣1，2），∴|+|＝．故選：C．2．（2024春?興化市校級(jí)期末）已知，，且，則x＝（）A． B．﹣6 C．6 D．1【解答】解：由于，，且，所以﹣8﹣2+3x＝0，解得x＝．故選：A．3．（2024秋?呂梁月考）若平面α的法向量＝（1，2，﹣3），直線l的方向向量＝（1，1，1），則（）A．l∥α B．l⊥α C．l?α D．l∥α或l?α【解答】解：因?yàn)?，所以l∥α或l?α．故選：D．4．（2024春?惠農(nóng)區(qū)校級(jí)期末）已知直線l和平面α，且l∥α，l的方向向量為，平面α的一個(gè)法向量為，（m＞0，n＞0），則的最小值為（）A． B．2 C． D．4【解答】解：依題意可得：，即，所以（m+n）＝1，所以，又m＞0，n＞0，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取到等號(hào)，所以，故A，B，D錯(cuò)誤，C正確．故選：C．5．（2023秋?肇東市校級(jí)期末）已知A（1，0，1），是平面α的一個(gè)法向量，且B（﹣1，2，2）是平面α內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面α的距離為（）A． B． C． D．【解答】解：由已知，又是平面α的一個(gè)法向量，則點(diǎn)A到平面α的距離為．故選：D．6．（2023秋?福清市校級(jí)月考）如圖，已知矩形ABCD中，E為線段CD上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記∠AED＝α，現(xiàn)將△ADE沿直線AE翻折到△APE的位置，記直線CP與直線AE所成的角為β，則（）A．cosα＞cosβ B．cosα＜cosβ C．cosα＞sinβ D．sinα＜cosβ【解答】解：A、B選項(xiàng)：＝，因?yàn)椋?，所以cosβ＞cosα，A錯(cuò)誤，B正確；由于y＝cosx在上單調(diào)遞減，故β＜α，不確定cosα，sinβ和sinα，cosβ的大小關(guān)系，CD錯(cuò)誤．故選：B．7．（2023秋?眉山期末）已知正四棱錐P﹣ABCD的高為，點(diǎn)E滿(mǎn)足，則點(diǎn)D到平面AEC的距離為（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，連接BD，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，連接PO，在正四棱錐P﹣ABCD中，PO⊥平面ABCD，AC⊥BD，故以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得，所以O(shè)A＝OB＝OC＝OD＝OP＝3，所以O(shè)（0，0，0），A（3，0，0），P（0，0，3），B（0，3，0），C（﹣3，0，0），D（0，﹣3，0），不妨設(shè)E（x，y，z），又因?yàn)椋裕▁，y，z﹣3）＝2（﹣x，3﹣y，﹣z），即x＝﹣2x，y＝6﹣2y，z﹣3＝﹣2z，解得x＝0，y＝2，z＝1，即E（0，2，1），則，設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量為，則由，可得，取y＝1，可得，所以點(diǎn)D到平面AEC的距離為．故選：A．8．（2024?浙江開(kāi)學(xué)）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1上的動(dòng)點(diǎn)，且A1F∥平面AD1E，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有（）①二面角F﹣AD1﹣E的大小為常數(shù)②二面角F﹣D1E﹣A的大小為常數(shù)③二面角F﹣AE﹣D1的大小為常數(shù)A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【解答】解：如圖，分別取CC1，B1C1，BB1的中點(diǎn)G，M，N，則AD1∥BC1∥MN∥EG，A1M∥AE，∴平面AD1E即為平面AD1GE，且A1M∩MN＝M，∴平面A1MN∥平面AD1GE，又A1F∥平面AD1GE，F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1上的動(dòng)點(diǎn)，∴F的軌跡為線段MN，∵M(jìn)N∥AD1，∴二面角F﹣AD1﹣ED的平面角為常數(shù)，∴①正確；∵平面FD1E隨著F點(diǎn)變化而變化，∴二面角F﹣D1E﹣A的大小不是常數(shù)，∴②錯(cuò)誤；∵平面FAE隨著F點(diǎn)變化而變化，∴二面角F﹣AE﹣D1的大小不是常數(shù)，∴③錯(cuò)誤．故選：B．二．多選題（共3小題）（多選）9．（2023秋?金華期末）已知為直線l的方向向量，，分別為平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列說(shuō)法中，正確的有（）A．∥?α∥β B．⊥?α⊥β C．∥?l∥α D．⊥?l⊥α【解答】解：為直線l的方向向量，，分別為平面α，β的法向量（α，β不重合），對(duì)于A，由面面平行的性質(zhì)和判定定理得：∥?α∥β，故A正確；對(duì)于B，由面面垂直的性質(zhì)和判定定理得：⊥?α⊥β，故B正確；對(duì)于C，由線面垂直的性質(zhì)和判定定理得∥?l⊥α，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由線面平行的性質(zhì)和判定定理得⊥?l∥α，故D錯(cuò)誤．故選：AB．（多選）10．（2023秋?永州期末）已知平面α與平面β平行，若平面α的一個(gè)法向量為＝（﹣1，2，﹣3），則平面β的法向量可以是（）A．（1，﹣2，3） B．（﹣1，﹣2，3） C．（2，﹣4，6） D．（2，﹣4，﹣6）【解答】解：∵平面α與平面β平行，平面α的一個(gè)法向量為＝（﹣1，2，﹣3），則平面β的法向量是，（λ≠0），﹣＝（1，﹣2，3），故A正確；﹣2＝（2，﹣4，6），故C正確．故選：AC．（多選）11．（2024?七星區(qū)校級(jí)模擬）已知直線a，b和平面α，β，α與β所成銳二面角為θ．則下列結(jié)論正確的是（）A．若a⊥α，b⊥β，則a與b所成角為θ B．若a∥α，b∥β，則a與b所成角為θ C．若a?α，則a與β所成角最大值為 D．若b⊥β，則b與α所成角為【解答】解：對(duì)于A選項(xiàng)，如圖所示：∵a⊥α，b⊥β，α與β所成銳二面角為θ，∴a與b所成角為θ，∴A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，若a∥α，b∥β，此時(shí)不能確定a與b所成角，例如a∥b時(shí)，此時(shí)a與b所成角為0，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)α∩β＝l，當(dāng)a∥l時(shí)，a與β所成角為0，當(dāng)a與l不平行時(shí)，如圖：設(shè)a∩l＝C，在直線a上取點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥β于點(diǎn)B，作OA⊥l于點(diǎn)O，連接OB，∵OA⊥β，OB，l?β，∴OA⊥OB，OA⊥l，又OA⊥l，OA∩OB＝O，∴l(xiāng)⊥平面OAB，又OB?平面OAB，∴OB⊥l，∴∠AOB即為α與β所成銳二面角的平面角，則∠AOB＝θ，∵AB⊥β，a∈a，∴∠ACB即為a與β所成角的平面角，∴，當(dāng)且僅當(dāng)a⊥l時(shí)取等號(hào)，∴a與β所成角最大值為θ，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，如圖所示：∵b⊥β，α與β所成銳二面角為θ，∴b與α所成角為，故D選項(xiàng)正確．故選：AD．三．填空題（共3小題）12．（2024秋?三元區(qū)校級(jí)月考）已知直線l與平面α垂直，直線l的一個(gè)方向向量為，向量為平面α的法向量，則z＝．【解答】解：因?yàn)橹本€l與平面α垂直，直線l的一個(gè)方向向量為，向量為平面α的法向量，則，則，則z＝．故答案為：．13．（2024?鄲城縣開(kāi)學(xué)）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為棱A1D1的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若，則直線MP與CC1所成角的余弦值為．【解答】解：如圖所示，取AD的中點(diǎn)N，連接MN，NP，因?yàn)镸，N分別為A1D1，AD的中點(diǎn)，可得MN//CC1，所以異面直線MP與CC1所成角，即為直線MP與MN所成角，設(shè)∠PMN＝θ，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，因?yàn)镸N//CC1，且CC1⊥平面ABCD，所以MN⊥平面ABCD，又因?yàn)镹P?平面ABCD，所以MN⊥NP，在直角△PMN中，由，所以直線MP與CC1所成角的余弦值為＝＝．故答案為：．14．（2024春?天寧區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知點(diǎn)A是圓臺(tái)O1O的上底面圓O1上的動(dòng)點(diǎn)，B，C在下底面圓O上，，則直線AO與平面O1BC所成角的正弦值的最大值為．【解答】解：連接OC，過(guò)C作CH垂直于BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：在三角形OBC中，因?yàn)镺B＝3，OC＝3，，故，則，則，，故點(diǎn)，又B（3，0，0），O（0，0，0），O1（0，0，2），設(shè)點(diǎn)A（m，n，2），m，n∈[﹣1，1]，由O1A＝1，則可得m2+n2＝1，，，設(shè)平面O1BC的法向量，則，即，取，則x＝2，z＝3，故平面O1BC的法向量，又，設(shè)直線AO與平面O1BC所成角為則，因?yàn)閙，n∈[﹣1，1]，且m2+n2＝1，故令m＝cosα，n＝sinα，α∈0，2π），則2m+n+6＝sinα+2cosα+6＝3sin（α+φ）+6，，，又α∈0，2π），所以sin（α+φ）∈[﹣1，1]，故3sin（α+φ）+6∈[3，9]，也即，所以sinθ的最大值為．故答案為：．四．解答題（共5小題）15．（2023秋?林芝市期末）已知空間向量．（1）求；（2）若向量與垂直，求實(shí)數(shù)k的值．【解答】解：（1），所以；（2），，由向量與垂直，則，則4（2k﹣3）+（﹣k﹣3）﹣10（﹣2k+12）＝0，解得：k＝5．16．（2024春?武進(jìn)區(qū)期中）已知空間三點(diǎn)A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），設(shè)，．（1）若與互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值；（2）若，，求．【解答】解：（1），，，，與互相垂直，則＝（k﹣1）（k+2）+k2﹣8＝0，解得k＝2或；（2），，則可設(shè)，，則，解得λ＝±1，故或．17．（2023秋?崇明區(qū)校級(jí)期末）在如圖所示的幾何體ABCED中，EC⊥面ABC，DB⊥面ABC，CE＝CA＝CB＝2DB，∠ACB＝90°，M為AD的中點(diǎn)．（1）證明：EM⊥AB；（2）求直線BM和平面ADE所成角的正弦值．【解答】解：（1）證明：以C為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DB＝1，則CE＝CA＝CB＝2．由于A（2，0，0），B（0，2，0），E（0，0，2），D（0，2，1），M（1，1，），∴＝（1，1﹣），＝（﹣2，2，0），∴＝﹣2+2+0＝0，∴，∴EM⊥AB．（2）由（1）知＝（1，﹣1，），＝（﹣2，2，1），＝（﹣2，0，2），＝（0，﹣2，1）．設(shè)面ADE的法向量為＝（x，y，z），則，即，?。剑?，1，2）設(shè)直線BM和平面ADE所成角為θ，則sinθ＝|cos＜，＞＝||＝．18．（2024秋?大慶月考）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB∥DC，△ABD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，DC＝3，O為AB的中點(diǎn)，將△AOD沿OD折