河南省許昌市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)

XCS20232024學(xué)年第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測高一數(shù)學(xué)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B.C. D.2.在中，，，若點滿足，以作為基底，則等于（

）A. B.C. D.3.有一組樣本數(shù)據(jù)如下：56，62，63，63，65，67，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，80，85，87，88，95，98，則其分位數(shù)與分位數(shù)的和為（）A.144 B.145 C.146 D.1474.設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下面命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，，則C若，，則 D.若，，，則5.若樣本的平均數(shù)是10，方差為2，則對于樣本，下列結(jié)論正確的是（）A.平均數(shù)為20，方差為4 B.平均數(shù)為11，方差為4C.平均數(shù)21，方差為8 D.平均數(shù)為20，方差為86.小明與小華兩人玩游戲，則下列游戲不公平的是（）A.拋擲一枚骰子，向上點數(shù)為奇數(shù)，小明獲勝，向上的點數(shù)為偶數(shù)，小華獲勝B.同時拋擲兩枚硬幣，恰有一枚正面向上，小明獲勝，兩枚都正面向上，小華獲勝C.從一副不含大小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色，小明獲勝，撲克牌是黑色，小華獲勝D.小明、小華兩人各寫一個數(shù)字6或8，如果兩人寫的數(shù)字相同，小明獲勝，否則小華獲勝7.農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)慣，粽子又稱粽籺，俗稱“粽子”，古稱“角泰”，是端午節(jié)大家都會品嘗的食品，傳說這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈原．小明在和家人一起包粽子時，想將一丸子（近似為球）包入其中，如圖，將粽葉展開后得到由六個邊長為9的等邊三角形所構(gòu)成的平行四邊形，將粽葉沿虛線折起來，可以得到如圖所示的粽子形狀的六面體，則放入丸子的體積最大值為（）．A. B. C. D.8.有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.(多選題)在給出的下列幾個命題中錯誤的是（）A.若x是實數(shù)，則x可能不是復(fù)數(shù)B.若z是虛數(shù)，則z不是實數(shù)C.一個復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是這個復(fù)數(shù)的實部等于零D.－1沒有平方根10.已知向量，，，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.若，則C.的最大值為2 D.的最小值為211.已知正方體的棱長為2，為底面內(nèi)（包括邊界）的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.存在點，使得平面C.若，則點在正方形底面內(nèi)的運(yùn)動軌跡長為D.若點是的中點，點是的中點，經(jīng)過，，三點的正方體的截面周長為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.正四棱臺上、下底面的邊長分別為2，4，且側(cè)面積等于兩底面面積之和，則該棱臺的體積是________.13.已知，，則在方向上的投影向量坐標(biāo)為______．14.在三棱錐中，若，，，且，，，為底面內(nèi)部及邊界上動點，則與底面所成角的正弦值的取值范圍為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，，與的夾角是．（1）求的值及的值；（2）當(dāng)為何值時，？16.在一個文藝比賽中，10名專業(yè)人士和10名觀眾代表各組成一個評委小組，給參賽選手打分，下面是兩組評委對同一名選手的打分：小組A：45484652474955425145小組B：55367066754968426247（1）如果選擇方差度量每一組評委打分相似性的量，計算每組評委打分的方差；（2）你能據(jù)此判斷小組A和小組B中哪一個更像是由專業(yè)人士組成的嗎？17.已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，且．（1）求；（2）若，求面積的取值范圍．18.某種植園芒果臨近成熟時，隨機(jī)從一些芒果樹上摘下100個芒果，其質(zhì)量分別在，，，，，（單位：克）中，經(jīng)統(tǒng)計得頻率分布直方圖如圖所示．（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（2）現(xiàn)按分層隨機(jī)抽樣的方法從質(zhì)量在，內(nèi)的芒果中隨機(jī)抽取6個，再從這6個中隨機(jī)抽取3個，求這3個芒果中質(zhì)量至少有一個在內(nèi)的概率；（3）若該種植園中還未摘下的芒果大約有10000個，以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均值，用樣本估計總體．某經(jīng)銷商來收購未摘芒果，提出如下兩種收購方案：A：所有芒果以10元/千克收購；B：對質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個收購，高于或等于250克的芒果以3元/個收購．通過計算確定該種植園選擇哪種方案獲利更多？19.如圖，三棱柱中，是正三角形，，，平面平面，E、F分別為的中點.（1）證明：平面；（2）若P為底面內(nèi)（包括邊界）的動點，平面，且P的軌跡長度為，求三棱柱的體積.（3）在（2）的條件下，求二面角的正切值.XCS20232024學(xué)年第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測高一數(shù)學(xué)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先將復(fù)數(shù)的分母化成實數(shù)，再求其共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】而的共軛復(fù)數(shù)是故選：B.2.在中，，，若點滿足，以作為基底，則等于（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合圖形，將和分別用和，和表示，代入方程即可求解.【詳解】

如圖，因，則，即，解得：.故選：A.3.有一組樣本數(shù)據(jù)如下：56，62，63，63，65，67，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，80，85，87，88，95，98，則其分位數(shù)與分位數(shù)的和為（）A.144 B.145 C.146 D.147【答案】D【解析】【分析】由百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】因為，所以樣本數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)為第六個數(shù)據(jù)即67；因為，所以樣本數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為第十七個數(shù)據(jù)即80.所以25%分位數(shù)與75%分位數(shù)的和為.故選：D.4.設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下面命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，則 D.若，，，則【答案】D【解析】【分析】利用已知條件直接判斷線面位置關(guān)系，可判斷AC選項；利用已知條件直接判斷線線位置關(guān)系，可判斷B選項；利用線面垂直的性質(zhì)可判斷D選項.【詳解】對于A選項，若，，則、或與相交，A錯；對于B選項，若，，則與平行或異面，B錯；對于C選項，若，，則、或與相交，C錯；對于D選項，因為，，則，又因為，則，D對.故選：D.5.若樣本的平均數(shù)是10，方差為2，則對于樣本，下列結(jié)論正確的是（）A.平均數(shù)為20，方差為4 B.平均數(shù)為11，方差為4C.平均數(shù)為21，方差為8 D.平均數(shù)為20，方差為8【答案】D【解析】【分析】由兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系,可判斷二者平均數(shù)的關(guān)系,方差的關(guān)系,進(jìn)而可得到答案.【詳解】樣本的平均數(shù)是10，方差為2，所以樣本的平均數(shù)為,方差為.故選:D.【點睛】樣本的平均數(shù)是，方差為，則的平均數(shù)為,方差為.6.小明與小華兩人玩游戲，則下列游戲不公平的是（）A.拋擲一枚骰子，向上的點數(shù)為奇數(shù)，小明獲勝，向上的點數(shù)為偶數(shù)，小華獲勝B.同時拋擲兩枚硬幣，恰有一枚正面向上，小明獲勝，兩枚都正面向上，小華獲勝C.從一副不含大小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色，小明獲勝，撲克牌是黑色，小華獲勝D.小明、小華兩人各寫一個數(shù)字6或8，如果兩人寫的數(shù)字相同，小明獲勝，否則小華獲勝【答案】B【解析】【分析】分別計算各選項中小明、小華獲勝的概率，若二人獲勝的概率相等，則公平，否則不公平，由此得到選項．【詳解】對于A，拋擲一枚骰子，一共6種情況，向上的點數(shù)為奇數(shù)的概率為，向上的點數(shù)為偶數(shù)的概率為，所以游戲公平；對于B，同時拋擲兩枚硬幣，一共4種情況：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），恰有一枚正面向上的概率為，兩枚都正面向上的概率為，所以游戲不公平；對于C，從一副不含大小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅的的概率為，撲克牌是黑色的概率為，所以游戲公平；對于D，小明?小華兩人各寫一個數(shù)字6或8，共四種情況，兩人寫的數(shù)字相同的概率為，兩人寫的數(shù)字不同的概率為，所以游戲公平．故選：B．7.農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)慣，粽子又稱粽籺，俗稱“粽子”，古稱“角泰”，是端午節(jié)大家都會品嘗的食品，傳說這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈原．小明在和家人一起包粽子時，想將一丸子（近似為球）包入其中，如圖，將粽葉展開后得到由六個邊長為9的等邊三角形所構(gòu)成的平行四邊形，將粽葉沿虛線折起來，可以得到如圖所示的粽子形狀的六面體，則放入丸子的體積最大值為（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】該丸子體積最大值轉(zhuǎn)化為球體積取最大值.球心為，且該球與相切，過球心作，則就是球的半徑，求得后，利用球的體積公式即可得解.【詳解】該六面體是由兩個全等的正四面體組合而成，正四面體的棱長為，如圖所示.在棱長為9的正四面體中，取中點，連接，作平面，垂足在上，則,，.當(dāng)該六面體內(nèi)有一球，且該球體積取最大值時，球心為，且該球與相切，過球心作，則就是球的半徑．，該球半徑．該球體積的最大值為．故放入丸子體積最大值為.故選：A8.有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立【答案】B【解析】【分析】根據(jù)獨立事件概率關(guān)系逐一判斷【詳解】，故選：B【點睛】判斷事件是否獨立，先計算對應(yīng)概率，再判斷是否成立

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．9.(多選題)在給出下列幾個命題中錯誤的是（）A.若x是實數(shù)，則x可能不是復(fù)數(shù)B.若z是虛數(shù)，則z不是實數(shù)C.一個復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是這個復(fù)數(shù)的實部等于零D.－1沒有平方根【答案】ACD【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的概念，判斷選項.【詳解】因?qū)崝?shù)是復(fù)數(shù)，故A錯，根據(jù)虛數(shù)的定義可知B正確；因復(fù)數(shù)為純虛數(shù)要求實部為零，虛部不為零，故C錯；因－1的平方根為±i，故D錯.故選：ACD10.已知向量，，，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.若，則C.最大值為2 D.的最小值為2【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)向量的模的坐標(biāo)公式求，判斷A；根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示列方程即可判斷B；根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求最大值，判斷C，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)判斷D.【詳解】對于A，，A正確；對于B，若，則，所以，又，所以，B錯誤；對于C，，因為，所以，所以的最大值為2，C正確；對于D，，，因為，所以，當(dāng)，取得最小值1，D錯誤故選：AC.11.已知正方體的棱長為2，為底面內(nèi)（包括邊界）的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐體積為定值B.存在點，使得平面C.若，則點在正方形底面內(nèi)的運(yùn)動軌跡長為D.若點是的中點，點是的中點，經(jīng)過，，三點的正方體的截面周長為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，由題意可知點到平面的距離是常數(shù)2，從而可得結(jié)論，對于B，當(dāng)點為的中點時，利用線面平行的判定定理分析判斷，對于C，若，則點在以為直徑的球面上，然后通過判斷球心到平面的距離分析判斷，對于D，連接，可證得經(jīng)過，，三點的正方體的截面為梯形，求出梯形的周長，可得截面周長.【詳解】對于A，因為為底面內(nèi)（包括邊界）的動點，所以點到平面的距離是2，所以，即三棱錐的體積為定值，所以A正確；對于B，設(shè)，連接，當(dāng)點為的中點時，，且∥，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，因為平面，平面，所以平面，所以B正確，對于C，若，則點在以為直徑的球面上，球心為的中點，半徑為，因為到平面的距離為2，且，所以以為直徑的球與平面無交點，所以不存在點，使，所以C錯誤，對于D，連接，因為點是的中點，點是的中點，所以∥，，因為∥，所以∥，所以經(jīng)過，，三點的正方體的截面為梯形，因為，，所以梯形的周長為，即經(jīng)過，，三點的正方體的截面周長為，所以D正確，故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查棱錐體積的求法，考查線面平行的判定，考查正方體的截面，D選項解題的關(guān)鍵是利用平行關(guān)系確定出過，，三點的截面，從而可求了截面周長，考查空間想象能力和推理能力，屬于較難題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.正四棱臺上、下底面的邊長分別為2，4，且側(cè)面積等于兩底面面積之和，則該棱臺的體積是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正棱臺的性質(zhì)，求得正四棱臺的斜高，結(jié)合題意側(cè)面積等于兩底面面積之和列出關(guān)系式，求得高，然后代入棱臺體積公式即可求解.【詳解】由題意，正四棱臺上、下底面的邊長分別為，高為，可得上、下底面面積為，如圖所示，取上、下底面正方形的中心分別為，再取分別為的中點，分別連接，過點作，在直角中，可得，因為側(cè)面積等于兩底面面積之和，可得，可得.代入棱臺體積公式：，得：故答案為：.13.已知，，則在方向上的投影向量坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義和公式求解即可.【詳解】在方向上的投影向量為，，，代入計算，得到.故答案為：.14.在三棱錐中，若，，，且，，，為底面內(nèi)部及邊界上的動點，則與底面所成角的正弦值的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】利用空間向量法來確定坐標(biāo)，再利用空間向量法來求線面角正弦值，最后利用解析幾何思想，數(shù)形結(jié)合找到最優(yōu)解求值即可.【詳解】因為，所以以為坐標(biāo)原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，又因為，，則，，設(shè)，，，又由，，可得，，解得，則，由為底面內(nèi)部及邊界上的動點，可設(shè)，且，則，設(shè)與底面所成角為，由于平面的法向量可取為，則，把看成動點到定點的距離的平方，利用數(shù)形結(jié)合可得：在底面內(nèi)部及邊界上的動點中，最小值最優(yōu)解是，代入得，最大值是優(yōu)解是，代入得，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，，與的夾角是．（1）求的值及的值；（2）當(dāng)為何值時，？【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）（2）利用向量積運(yùn)算來求模，利用向量積為零來求兩向量垂直.【小問1詳解】，；【小問2詳解】因為，所以，整理得，解得．即當(dāng)時，．16.在一個文藝比賽中，10名專業(yè)人士和10名觀眾代表各組成一個評委小組，給參賽選手打分，下面是兩組評委對同一名選手的打分：小組A：45484652474955425145小組B：55367066754968426247（1）如果選擇方差度量每一組評委打分相似性的量，計算每組評委打分的方差；（2）你能據(jù)此判斷小組A和小組B中哪一個更像是由專業(yè)人士組成的嗎？【答案】（1）13.4；155.4（2）A組更像是由專業(yè)人士組成的【解析】【分析】（1）根據(jù)題意數(shù)據(jù)結(jié)合平均數(shù)和方差公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，結(jié)合方差的意義分析判斷.【小問1詳解】記小組A的數(shù)據(jù)依次為，小組B的數(shù)據(jù)依次為，，由題意可得：每組的平均數(shù)分別為：，，每組的方差分別為：，.【小問2詳解】由于專業(yè)人士給分更符合專業(yè)規(guī)則，相似程度更高，由（1）可知，，因而，根據(jù)方差越大數(shù)據(jù)波動越大，因此A組更像是由專業(yè)人士組成的．17.已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，且．（1）求；（2）若，求面積的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由正弦定理化簡再應(yīng)用輔助角公式化簡求出三角函數(shù)值進(jìn)而求出角；（2）先由正弦定理化簡面積結(jié)合三角恒等變換，最后應(yīng)用三角函數(shù)的值域可得范圍.【小問1詳解】由及正弦定理得：，即，，，因為，因此，所以得，即，得或，又因為，所以．【小問2詳解】由正弦定理得：，所以，，所以，因為，所以，因此，，所以．因此：面積的取值范圍是：．18.某種植園在芒果臨近成熟時，隨機(jī)從一些芒果樹上摘下100個芒果，其質(zhì)量分別在，，，，，（單位：克）中，經(jīng)統(tǒng)計得頻率分布直方圖如圖所示．（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（2）現(xiàn)按分層隨機(jī)抽樣的方法從質(zhì)量在，內(nèi)的芒果中隨機(jī)抽取6個，再從這6個中隨機(jī)抽取3個，求這3個芒果中質(zhì)量至少有一個在內(nèi)的概率；（3）若該種植園中還未摘下的芒果大約有10000個，以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均值，用樣本估計總體．某經(jīng)銷商來收購未摘芒果，提出如下兩種收購方案：A：所有芒果以10元/千克收購；B：對質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個收購，高于或等于250克的芒果以3元/個收購．通過計算確定該種植園選擇哪種方案獲利更多？【答案】（1）268.75（2）（3）選擇B方案獲利更多【解析】【分析】（1）運(yùn)用中位數(shù)兩邊的頻率都為0.5，列方程可解；（2）利用列舉法，再用古典概型公式求解即可；（3）算出兩種方案的利潤，比較大小即可.【小問