猜想01勾股定理（易錯必刷27題9種題型）

猜想01：勾股定理【考點預(yù)測】題型一：勾股定理理解三角形和勾股數(shù)題型二：勾股定理與網(wǎng)格問題和折疊問題題型三：直角三角形三邊為邊長的圖形面積題型四：勾股定理的數(shù)量關(guān)系題型五：勾股定理的應(yīng)用問題題型六：勾股定理的逆應(yīng)用題型七：勾股定理的證明和弦圖問題題型八：勾股定理的綜合問題【題型通關(guān)】題型一：勾股定理理解三角形和勾股數(shù)1．（2023上·廣東清遠(yuǎn)·八年級?？计谀┤鐖D，在三角形中，已知，，，則的大小有可能是（）A．7 B．4 C．6 D．5【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：在中，，則，故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的內(nèi)容，在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．2．（2023下·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期末）在下列四組數(shù)中，屬于勾股數(shù)的是（

）A．0.3，0.4，0.5 B．9，40，41 C．6，7，8 D．1，，【答案】B【分析】利用勾股數(shù)的定義進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A、0.3，0.4，0.5不是整數(shù)，不是勾股數(shù)；B、∵，∴9、40、41是勾股數(shù)；C、，∴6，7，8不是勾股數(shù)；D、，均不是整數(shù)，∴1，，不是勾股數(shù)；故選：B．【點睛】此題考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．3．（2023下·廣東佛山·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，平分，于D，如果，那么等于（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由勾股定理求出，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，則計算即可．【詳解】解：∵，，,∴,∵平分，，，∴，∴．故選B．【點睛】本題考查的是角平分的性質(zhì)和勾股定理，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．題型二：勾股定理與網(wǎng)格問題和折疊問題4．（2023下·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，由單位長度為1的4個小正方形拼成的一個大正方形網(wǎng)格，連接三個小格點，可得，則邊上的高是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)邊上的高為，由題意知，，則，即，計算求解即可．【詳解】解：設(shè)邊上的高為，由題意知，，∴，即，解得，∴邊上的高為，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握割補(bǔ)法求面積以及等面積法．5．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考三模）如圖，在矩形紙片中，，，點是上一點，點是上一點，將矩形沿折疊，使點的對應(yīng)點正好落在的中點處，則的長為（）

A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】設(shè)，先根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)分別表示出的長度，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：∵四邊形為矩形，，∴，，∵矩形沿折疊，點的對應(yīng)點正好落在的中點處，∴，，設(shè)，∵，∴，在中，由勾股定理得，即，解得，∴，故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．6．（2023下·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，有一塊直角三角形紙片，，，，將斜邊翻折，使點B落在直角邊的延長線上的點E處，折痕為，則的長為（

）

A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出的長，利用翻折得到，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵，，，∴，由翻折得，∴，故選：C．題型三：直角三角形三邊為邊長的圖形面積7．（2023下·貴州黔南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，分別以四邊形的四條邊為邊長，向外作四個正方形，面積分別為和．若，則的值是（

）

A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【分析】連接，根據(jù)勾股定理可得，從而得到，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，

解：由題意可知：，在直角三角形和中，，即，∵∴故選B．【點睛】本題主要考查的是勾股定理的靈活運用，解答的關(guān)鍵是利用兩個直角三角形公共的斜邊．8．（2023下·安徽馬鞍山·八年級?？计谀┲校?，分別以的三邊作為邊長向形外作正方形，并把各正方形的面積分別記作，，，如圖，若，，則的值為（

）

A．13 B．17 C．20 D．35【答案】B【分析】由，，再根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴，，∵，∴，∴．故選：B．【點睛】本題主要考查了勾股定理，即直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，熟練的利用勾股定理模型解決問題是解題的關(guān)鍵．9．（2023下·湖南婁底·八年級統(tǒng)考期末）如圖：，，則的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】現(xiàn)根據(jù)正方形的性質(zhì)表示出的表達(dá)式，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】三個四邊形都是正方形，，正方形中間的三角形為直角三角形，，即，，，，故選：C．題型四：勾股定理的數(shù)量關(guān)系10．（2021上·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M為AD上任一點，則MC2－MB2等于（

）A．29 B．32 C．36 D．45【答案】D【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分別表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分別將BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出結(jié)果．【詳解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2?AD2，CD2＝AC2?AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2?AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2?AD2＋MD2，∴MC2?MB2＝（AC2?AD2＋MD2）?（AB2?AD2＋MD2）＝AC2?AB2＝45．故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的知識，題目有一定的技巧性，比較新穎，解答本題需要認(rèn)真觀察，分別兩次運用勾股定理求出MC2和MB2是本題的難點，重點還是在于勾股定理的熟練掌握．11．（2023下·山東德州·八年級統(tǒng)考期末）已知a，b，c是中，，的對邊，下列說法正確的有（

）個①若，則+；②若，則；③若，則+；④總有+．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理逐一判斷即可求解．【詳解】解：，，是中，，的對邊，若，則；若，則；若，則；故①②③正確；只有當(dāng)時才有，故④錯誤，故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．12．（2023上·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，將邊，分別繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，連接，與交于點，連接，，，，．下列結(jié)論：①；②；③平分；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明，得到，，可判定①，結(jié)合三角形內(nèi)角和可判斷②，過點A作，，垂足分別為M，N，根據(jù)全等三角形面積相等，底邊相等可得，利用角平分線的判定可判斷③，根據(jù)勾股定理可得，可判斷④．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)可知：，，，∴，即，∴，∴，，故①正確；∵，∴，∴，故②正確，過點A作，，垂足分別為M，N，∵，∴，即，∵，∴，∴平分，故③正確；∵，∴，，，，∴，，∴，故④正確，∴正確的有4個，故選A．題型五：勾股定理的應(yīng)用問題13．（2023上·四川成都·八年級成都市樹德實驗中學(xué)校考期末）如圖，有一個圓柱，它的高等于，底面上圓的周長等于，在圓柱下底面的點A處有一只螞蟻，它想吃到上底面與點A相對的點B處的食物，則螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是平面展開最短路徑問題，根據(jù)題意得出螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是指展開后線段的長，求出，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得出：螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是指展開后線段的長，

由題意得：，，由勾股定理得：，故選：C．14．（2023下·河北邢臺·八年級?？计谀┤鐖D，釣魚竿的長為，露在水面上的魚線長為．釣魚者想看魚鉤上的情況，把釣魚竿轉(zhuǎn)到的位置，此時露在水面上的魚線長為，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理進(jìn)行計算即可得．【詳解】解：在中，，，根據(jù)勾股定理得，，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，∴，故選：A．【點睛】本題考查勾股定理的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想并掌握勾股定理．15．（2023下·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期末）如圖是樓梯的一部分，若，，，一只螞蟻在處發(fā)現(xiàn)處有一塊糖，則這只螞蟻吃到糖所走的最短路程為（）

A． B．3 C． D．5【答案】A【分析】將臺階展開得到的是一個矩形，螞蟻要從A點到C點的最短距離，便是矩形的對角線，利用勾股定理即可解出答案．【詳解】解：將臺階展開，如圖，∵，，∴根據(jù)勾股定理可得：，∴，故選：A．

題型六：勾股定理的逆應(yīng)用16．（2023下·吉林白城·八年級校聯(lián)考期末）由線段a、b、c組成的三角形是直角三角形的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【分析】根據(jù)判斷三條線段是否能構(gòu)成直角三角形的三邊，需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方，分別對每一項進(jìn)行分析，即可得出答案．【詳解】解：A、∵，∴a、b、c無法組成的三角形，更無法構(gòu)成直角三角形，故A不符合題意；B、∵，∴a、b、c組成的三角形，不是直角三角形，故B不符合題意；C、∵，∴a、b、c組成的三角形，不是直角三角形，故C不符合題意；D、∵，∴a、b、c組成的三角形，是直角三角形，故D符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理：用到的知識點是已知的三邊滿足，則是直角三角形．17．（2023下·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，道路因為施工需要封閉，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個取水點H（A，H，B在同一條直線上），并新修一條道路，已知千米，千米，千米，新的取水點H與原取水點B相距千米，則新建后比原來少走的路程為（

）千米

A． B．1 C． D．【答案】C【分析】直接利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，再利用勾股定理得出的長，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：千米，千米，千米，，，，是直角三角形，，∴，（千米），故新建后比原來少走的路程為（千米）．故選：C．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確運用勾股定理是解題關(guān)鍵．18．（2023下·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形中，對角線，相交于，過點作交于點，若，，，則的長度為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，由線段垂直平分線的性質(zhì)得，再由勾股定理的逆定理證明是直角三角形，，然后由勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵四邊形是平行四邊形，，，∴，，∵，∴，∵，∴，，∴，∴是直角三角形，，∴，∴，故選：B．

題型七：勾股定理的證明和弦圖問題19．（2023下·湖南永州·八年級統(tǒng)考期末）勾股定理現(xiàn)約有500多種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一，在中國周朝的商定提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，古埃及人用“結(jié)繩法”在金字塔等建筑的拐角處作出直角；“普林頓322”的古巴比倫泥板上記載了很多勾股數(shù)；公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派用演繹法證明了勾股定理．下面圖例中，不能證明勾股定理的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理的證明方法可知一般通過面積法證明，據(jù)此分析即可求解．【詳解】解：B，C，D選項通過面積法可以證明勾股定理，A選項不能證明勾股定理，故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理的證明，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．20．（2023下·河北廊坊·八年級統(tǒng)考期末）勾股定理是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一，也是用代數(shù)思想解決幾何問題最重要的工具之一．下列圖形中可以證明勾股定理的有（

）

A．①③ B．②③ C．②④ D．①④【答案】D【分析】利用同一個圖形的面積的不同表示方法進(jìn)行驗證即可．【詳解】解：①，，∴，整理得，故①滿足題意；④或，∴，∴，故④滿足題意；②沒有體現(xiàn)直角三角形斜邊的長度，故②不符合題意；③無法證明直角三角三邊關(guān)系，故③不符合題意；故選：D【點睛】此題考查了勾股定理，熟練掌握利用圖形面積相等證明勾股定理是解題的關(guān)鍵．21．（2023下·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期末）如圖是用四個全等的直角三角形與一個小正方形鑲嵌而成的大正方形圖案．若較短直角邊y為3，較長直角邊x為5，則圖中大正方形與小正方形面積之比為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意求得小正方形的邊長，根據(jù)勾股定理求出大正方形的邊長，由正方形的面積公式即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵直角三角形的兩條直角邊的長分別是3和5，∴小正方形的邊長為，根據(jù)勾股定理得：大正方形的邊長，∴．故選：C．題型八：勾股定理的綜合問題22．（2023下·黑龍江鶴崗·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一塊草坪的形狀為四邊形，其中∠，．求這塊草坪的面積．

【答案】該草坪的面積為【分析】本題考查了勾股定理及勾股定理的逆定理在實際生活中的運用，直角三角形面積計算，連接，則為直角三角形，為斜邊，求出，根據(jù)判定為直角三角形，根據(jù)直角三角形面積計算可以計算該草坪的面積．【詳解】解：連接，

，在直角中，由勾股定理得，，，又，在中，，，即是直角三角形，，答：該草坪的面積為．23．（2023下·山東聊城·八年級校聯(lián)考期末）如圖是一個滑梯示意圖，若將滑梯水平放置，則剛好與一樣長，已知滑梯的高度為4米，為1米．

(1)求滑道的長度；(2)若把滑梯改成滑梯，使，求出的長．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)米(2)5.2米【分析】（1）由題意設(shè)滑道的長度為x米，則米，米，然后在中，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可；（2）先根據(jù)勾股定理求出的長，然后結(jié)合（1）的結(jié)果利用線段的和差求解即可．【詳解】（1）由題意可得：是直角三角形，，∵，∴，設(shè)滑道的長度為x米，則米，米，在中，由勾股定理得：，解得：，答：滑道的長度為米；（2）由，可設(shè)米，則米，∴（米），∴，解得：，∴（米），由（1）可知，（米），∴（米）．答：的長約為5.2米．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意、利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．24．（2023下·湖南懷化·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是邊長為2的等邊三角形，過點A的直線與x軸交于E．

(1)求點E的坐標(biāo)；(2)求證是直角三角形．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）如圖所示，過點作于點，利用等邊三角形的性質(zhì)得出，再利用勾股定理得出的長，即可得出點坐標(biāo)，將點代入直線即可求出函數(shù)解析式，進(jìn)而求出點E的坐標(biāo)；（2）根據(jù)（1）所求得出的長、的長，再利用勾股定理逆定理得出答案．【詳解】（1）解：如圖所示，過點作于點，

是邊長為2的等邊三角形，，，，，將點代入直線得：，解得：，∴直線的解析式為，在中，當(dāng)時，，∴；（2）證明：由（1）得，，，，∵，，，，∴是直角三角形．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理以及勾股定理逆定理和一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得出點坐標(biāo)．25．（2023上·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知與都是等腰直角三角形，其中，為邊上一點．

(1)試判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；(2)試說明三者之間的關(guān)系．【答案】(1)，理由見解析(2)，理由見解析【分析】（1）證明即可；（2）根據(jù)（1）可得，得到，，得到是直角三角形，根據(jù)勾股定理證明即可．【詳解】（1）．理由如下：∵與都是等腰直角三角形，∴，∴．∴，∴．（2）．理由如下：由（1）可得，∴，，∴，∴，∴．【點睛】此題綜合運用了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、以及勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出．26．（2023下·貴州黔南·八年級統(tǒng)考期末）臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力，有一臺風(fēng)中心沿東西方向由點A行駛向點B，已知點C為一海港，且點C與直線上兩點A、B的距離分別為和，又，以臺風(fēng)中心為圓心周圍以內(nèi)為受影響區(qū)域．

(1)海港C會受臺風(fēng)影響嗎？為什么？(2)若臺風(fēng)的速度為，臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長？【答案】(1)海港C會受到臺風(fēng)影響，理由見解析(2)臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有【分析】（1）過點C作于D點，根據(jù)勾股定理逆定理可得為直角三角形，再由三角形的面積公式可得，即可求解；（2）當(dāng)時，即臺風(fēng)經(jīng)過EF段時，正好影響到海港C，此時為等腰三角形，根據(jù)勾股定理求出，從而得到，即可求解