第26講圓的相關(guān)概念及性質(zhì)（講義）（原卷版）

第26講圓的相關(guān)概念及性質(zhì)目錄TOC\o"13"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構(gòu)考點一圓的相關(guān)概念題型01理解圓的相關(guān)概念題型02圓的周長與面積相關(guān)計算題型03圓中的角度計算題型04圓中線段長度的計算題型05求一點到圓上一點的距離最值考點二圓的性質(zhì)題型01由垂徑定理及推論判斷正誤題型02利用垂徑定理求解題型03根據(jù)垂徑定理與全等三角形綜合求解題型04根據(jù)垂徑定理與相似三角形綜合求解題型05在坐標系中利用勾股定理求值或坐標題型06利用垂徑定理求平行弦問題題型07利用垂徑定理求同心圓問題題型08垂徑定理在格點中的應(yīng)用題型09利用垂徑定理的推論求解題型10垂徑定理的實際應(yīng)用題型11利用垂徑定理求取值范圍題型12利用弧、弦、圓心角關(guān)系判斷正誤題型13利用弧、弦、圓心角關(guān)系求角度題型14利用弧、弦、圓心角關(guān)系求線段長題型15利用弧、弦、圓心角關(guān)系求周長題型16利用弧、弦、圓心角關(guān)系求面積題型17利用弧、弦、圓心角關(guān)系求弧的度數(shù)題型18利用弧、弦、圓心角關(guān)系比較大小題型19利用弧、弦、圓心角關(guān)系求最值題型20利用弧、弦、圓心角關(guān)系證明題型21利用圓周角定理求解題型22利用圓周角定理推論求解題型23已知圓內(nèi)接四邊形求角度題型24利用圓的有關(guān)性質(zhì)求值題型25利用圓的有關(guān)性質(zhì)證明題型26利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決翻折問題題型27利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決最值問題題型28利用圓的有關(guān)性質(zhì)求取值范圍題型29利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決多結(jié)論問題題型30圓有關(guān)的常見輔助線遇到弦時,常添加弦心距題型31圓有關(guān)的常見輔助線遇到有直徑時,常添加（畫）直徑所對的圓周角考點要求新課標要求命題預(yù)測圓的相關(guān)概念①理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念.了解等圓、等弧的概念.在中考數(shù)學(xué)中，圓的基本性質(zhì)在小題中通常考察圓的基本概念、垂徑定理、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形等基礎(chǔ)考點，難度一般在中檔及以下，而在簡答題中，圓的基本性質(zhì)還可以和相似、三角形函數(shù)、特殊四邊形等結(jié)合出題，難度中等或偏上.在整個中考中的占比也不是很大，通常都是一道小題一道大題，分值在313分左右，屬于中考中的中檔考題.所以，考生在復(fù)習(xí)這塊考點的時候，要充分掌握圓的基本性質(zhì)的各個概念、性質(zhì)以及推論，才能在后續(xù)的結(jié)合問題中更好的舉一反三.圓的性質(zhì)圓的對稱性理解圓既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.垂徑定理及推論探索并證明垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧.弧、弦、圓心角的關(guān)系探索圓周角與圓心角及其所對弧的關(guān)系，知道同弧(或等弧)所對的圓周角相等.圓周角定理及推論了解并證明圓周角定理及其推論.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)理解圓內(nèi)接四邊形的對角互補.考點一圓的相關(guān)概念定義內(nèi)容補充說明圓在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫圓.以O(shè)點為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O.由圓的定義可知，確定圓的兩個條件①圓心，它確定圓的位置.②半徑，它確定圓的大小.圓心為O、半徑為r的圓可以看成是所有到定點O的距離等于定長r的點組成的圖形.弦連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦.①在一個圓上可以畫無數(shù)條弦和直徑.

②直徑是弦，但弦不一定是直徑.

③直徑是最長的弦.直徑經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.弧圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.弧用符號：“”表示.以A、B為端點的弧記作AB，讀作：“圓弧AB”或“弧AB①半圓是弧,但弧不一定是半圓.②弧有長度和度數(shù),規(guī)定半圓的度數(shù)為180°,劣弧的度數(shù)小于180°,優(yōu)弧的度數(shù)大于180°.半圓圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.優(yōu)弧大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.劣弧小于半圓的弧叫做劣弧.同圓圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓.①在同圓或等圓中能夠互相重合的弧是等弧,度數(shù)或長度相等的弧不一定是等弧.②同圓或等圓的半徑相同.等圓半徑相等的圓叫做等圓.同心圓圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓.弦心距從圓心到弦的距離叫做弦心距.圓心角頂點在圓心的角叫做圓心角.圓周角頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.兩個特征：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交，二者缺一不可．圓內(nèi)接四邊形如果四邊形的四個頂點均在同一個圓上，這個四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形.這個圓叫做這個四邊形的外接圓.題型01理解圓的相關(guān)概念【例1】（2023·廣東湛江·統(tǒng)考二模）下列說法中，正確的是（

）①對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形；②對角線相等的四邊形是矩形；③同弧或等弧所對的圓周角相等；④弧分為優(yōu)弧和劣?。瓵．① B．①③ C．①③④ D．②③④【變式11】（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）下列關(guān)于圓的說法中，正確的是（

）A．過三點可以作一個圓 B．相等的圓心角所對的弧相等C．平分弦的直徑垂直于弦 D．圓的直徑所在的直線是它的對稱軸【變式12】（2021·河南南陽·校聯(lián)考一模）下列關(guān)于圓的說法，正確的是（

）A．弦是直徑，直徑也是弦B．半圓是圓中最長的弧C．圓的每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸D．過三點可以作一個圓【變式13】（2022·四川德陽·模擬預(yù)測）下列語句中，正確的是（）①相等的圓周角所對的弧相等；②同弧或等弧所對的圓周角相等；③平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧；④圓內(nèi)接平行四邊形一定是矩形．A．①② B．②③ C．②④ D．④題型02圓的周長與面積相關(guān)計算【例2】（2023·福建泉州·南安市實驗中學(xué)?？级＃┻m時的休閑可以緩解學(xué)習(xí)壓力，如圖是火影忍者中的仙法·白激之術(shù)，其形狀外圍大致為正圓，整體可看成為兩個同心圓，BC=400像素，∠ABC=90°

A．40000π B．1600π C．64000π【變式21】（2019·廣東佛山·佛山市三水區(qū)三水中學(xué)校考一模）某公園計劃砌一個形狀如圖（1）所示的噴水池，后來有人建議改為圖（2）的形狀，且外圓的直徑不變，噴水池邊沿的寬度、高度不變，你認為砌噴水池的邊沿（

）A．圖（1）需要的材料多 B．圖（2）需要的材料多C．圖（1）、圖（2）需要的材料一樣多 D．無法確定【變式22】（2021·河南南陽·校聯(lián)考一模）方孔錢是我國古代銅錢的固定形式，呈“外圓內(nèi)方”．如圖所示，是方孔錢的示意圖，已知“外圓”的周長為2π，“內(nèi)方”的周長為4，則圖中陰影部分的面積是．【變式23】（2022·山東濟寧·統(tǒng)考一模）如圖，一枚圓形古錢幣的中間是一個正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對角線之比為3∶1，則圓的面積約為正方形面積的倍．（精確到個位）【變式24】（2021·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考一模）把一個圓心為O，半徑為r的小圓面積增加一倍，兩倍，三倍，分別得到如圖所示的四個圓（包括原來的小圓），則這四個圓的周長之比（按從小到大順序排列）是．題型03圓中的角度計算【例3】（2022·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，點C在弦AB上，連接CO并延長CO交于⊙O于點D，∠DA．30° B．40° C．50° D．60°【變式31】（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OC＝12OD，則A．90° B．95° C．100° D．105°【變式32】（2022·河北廊坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，CD是⊙O的直徑，弦DE∥AO，若∠A=25°，則∠A．30° B．40° C．50° D．60°【變式33】（2022·江蘇蘇州·蘇州市振華中學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，在扇形AOB中，D為AB上的點，連接AD并延長與OB的延長線交于點C，若CD=OA，∠O=75°，則A．35° B．52.5° C．70° D．72°題型04圓中線段長度的計算【例4】（2023·湖南益陽·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D在斜邊AB上，以BD為直徑的⊙O經(jīng)過邊AC上的點E，連接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半徑為3

A．403 B．8 C．245 D【變式41】（2023·云南臨滄·統(tǒng)考一模）已知AB=12，C、D是以AB為直徑的⊙O上的任意兩點，連接CD，且AB⊥CD，垂足為M，∠OCD=30°【變式42】（2023·廣東·統(tǒng)考一模）已知A、B是圓O上的點，以O(shè)為圓心作弧，交OA、OB于點C、D．分別以點C和點D為圓心，大于12CD長為半徑畫弧，兩弧相交于點E．作線段OE，交AB于點F，交⊙O于點G．若OF=3cm，∠AOB題型05求一點到圓上一點的距離最值【例5】（2023·山東德州·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=3，BC=4．點P是線段BC上一動點，點M為線段AP上一點．∠ADM=∠BAPA．52 B．125 C．13-【變式51】（2021·山東臨沂·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=10，BC=12，點D是ΔABC內(nèi)的一點，連接AD，CD，BDA．5 B．6 C．8 D．13【變式52】（2022·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC中，AB=AC，BC=24，AD⊥BC于點D，AD=5，P是半徑為3的⊙A上一動點，連結(jié)PC，若E是PC的中點，連結(jié)DE，則DE長的最大值為（

A．8 B．8.5 C．9 D．9.5【變式53】（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考二模）如圖，點A，B的坐標分別為A(3，0)、B(0，3)，點C為坐標平面內(nèi)的一點，且BC=2，點M為線段AC的中點，連接OM，則OM的最大值為（

）A．322+1 B．32+2 C考點二圓的性質(zhì)1.圓的對稱性內(nèi)容補充圓的軸對稱性經(jīng)過圓心任意畫一條直線，并沿此直線圓對折,直線兩旁的部分能夠完全重合，因此圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸.①圓的旋轉(zhuǎn)不變性是其他中心對稱圖形所沒有的性質(zhì).②圓的對稱軸不是直徑，而是直徑所在的直線.③圓是一個特殊的對稱圖形，它的許多性質(zhì)都可以由它的對稱性推出.圓的中心對稱性將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)180°能與自身重合，因此它是中心對稱圖形，它的對稱中心是圓心.將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與自身重合，這說明圓具有旋轉(zhuǎn)不變性.2.垂徑定理及推論垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.推論：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.垂徑定理模型（知二得三）垂徑定理模型（知二得三）如圖，可得①AB過圓心②AB⊥CD③CE=DE④AC=AD【總結(jié)】垂徑定理及其推論實質(zhì)是指一條直線滿足：（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的弦不是直徑）（4）平分弦所對的優(yōu)弧（5）平分弦所對的劣弧，若已知五個條件中的兩個，那么可推出其中三個，簡稱“知二得三”，解題過程中應(yīng)靈活運用該定理.常見輔助線做法（考點）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造Rt2）有弦中點，連中點和圓心，得垂直平分.【易錯點】求兩條弦間的距離時要分類討論兩條弦與圓心的相對位置：兩弦在圓心的同側(cè)，兩弦在圓心的異側(cè)．3.弧、弦、圓心角的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等.推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等.【解題思路】在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么這兩條弧所對的弦相等，所對的圓心角、圓周角也都相等．運用這些相等關(guān)系，可以實現(xiàn)線段相等與角相等之間的相互轉(zhuǎn)化．4.圓周角定理圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.（即：圓周角=1推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等.推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑【補充】圓的一條?。ㄏ遥┲粚χ粋€圓心角，對應(yīng)的圓周角有無數(shù)個，但圓周角的度數(shù)只有兩個，這兩個度數(shù)和為180°【解題思路】1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，在同圓中可以利用圓周角定理進行角的轉(zhuǎn)化.2）在證明圓周角相等或弧相等時，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”.3）當已知圓的直徑時，常構(gòu)造直徑所對的圓周角．4）在圓中求角度時，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化．比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進行轉(zhuǎn)化等．11）圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形,利用等腰三角形的頂點和底角的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化.2）圓周角和圓周角可利用其“橋梁”——圓心角來轉(zhuǎn)化.3）圓周角定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角.5.圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)：1）圓內(nèi)接四邊形對角互補.2)圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角.題型01由垂徑定理及推論判斷正誤【例1】（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，CD是⊙O是直徑，AB是弦且不是直徑，CD⊥AB，則下列結(jié)論不一定正確

A．AE=BE B．OE=DE C．【變式11】（2022·河南洛陽·統(tǒng)考一模）如圖，點F是⊙O直徑AB上一個動點（不與點A，B重合），過點F作弦CD⊥AB，點E是AD上不與點DA．CF=DF BC．∠BAC=∠BED【變式12】（2022·山東濟寧·二模）如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，垂足為E，連接CO、AD、OD，∠A．CE=EO B．OC=2CD C題型02利用垂徑定理求解【例2】（2023·廣東佛山·?？家荒＃┤鐖D，線段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，若AB長為16，OE長為6，則⊙A．5 B．6 C．8 D．10【變式21】（2022·重慶·重慶八中?？家荒＃┤鐖D，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，AC＝CD，⊙O的半徑為22，則△AOC的面積為（）A．3 B．2 C．23 D．4【變式22】（2022·廣東廣州·執(zhí)信中學(xué)?？级＃┤鐖D，⊙O是ΔABC的外接圓，∠BAC=60°，若⊙O的半徑OC為2，則弦BC的長為（A．4 B．23 C．3 D．【變式23】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知⊙O的直徑CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且A．25cm B．43cm C．25cm或題型03根據(jù)垂徑定理與全等三角形綜合求解【例3】（2022·湖北襄陽·模擬預(yù)測）如圖，AB為⊙O的直徑，AE為⊙O的弦，C為優(yōu)弧ABE的中點，CD⊥AB，垂足為D，AE=8，DBA．6 B．5 C．42 D．【變式31】（2020·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點C為BD的中點，CF為⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足為E，連接BD交CF于點G，連接CD，(1)求證：ΔBFG?(2)若AD=BE=2【變式32】（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）如圖AB為圓O的直徑，AE為圓O的弦，C為O上一點，AC=CE，CD⊥

(1)連接CO，判斷CO與AE的位置關(guān)系，并證明；(2)若AE=8，BD=2，求圓題型04根據(jù)垂徑定理與相似三角形綜合求解【例4】（2022·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？既＃┤鐖D，點E是⊙O中弦AB的中點，過點E作⊙O的直徑CD，P是⊙O上一點，過點P作⊙O的切線與AB延長線交于點F，與CD延長線交于點G，若點P為FG中點，cosF=35，⊙O的半徑長為3則A．75 B．85 C．32【變式41】（2022·四川瀘州·?？家荒＃┤鐖D，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點F，OE⊥AC于點E，若OE＝3，OB＝5，則CD的長度是（）A．9.6 B．45 C．53 D．10【變式42】（2019·新疆阿克蘇·模擬預(yù)測）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，連接BC，過點O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，則OF的長度是（）A．3cm B．6cm C．2.5cm D．5cm【變式43】（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙(1)過點B作⊙O的切線PB，交AC的延長線于點P(2)在（1）的條件下，若OD⊥BC，垂足為D，OD=2，PC題型05在坐標系中利用勾股定理求值或坐標【例5】（2021·吉林松原·校考一模）如圖，在平面直角坐標系中，點P在第一象限，⊙P與x軸、y軸都相切，且經(jīng)過矩形AOBC的頂點C，與BC相交于點D，若⊙P的半徑為5，點A的坐標是(0,8)，則點D的坐標是（

）

A．(9,2) B．(9,3) C．(10,2) D．(10,3)【變式51】（2023·湖南衡陽·校考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，⊙P與y軸相切于點C，與x軸相交于A，B兩點，假設(shè)點P的坐標為（5，3），點M是⊙P上的一動點，那么△ABM

A．64 B．48 C．32 D．24【變式52】（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，以M3,5為圓心，AB為直徑的圓與x軸相切，與y軸交于A、C兩點，則點B的坐標是【變式53】（2022·江蘇南京·校聯(lián)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，一個圓與兩坐標軸分別交于A、B、C、D四點．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），則點D的坐標為．【變式54】（2022·新疆昌吉·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，⊙M與x軸相切于點A，與y軸交點分別為B、C，圓心M的坐標是（4，5），則弦BC的長度為．【變式55】（2023·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，以點C1,1為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點，點P在⊙

(1)求出A，B兩點的坐標；(2)試確定經(jīng)過A、B兩點且以點P為頂點的拋物線解析式；(3)在該拋物線上是否存在一點D，使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．題型06利用垂徑定理求平行弦問題【例6】（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）已知⊙O的直徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB=8cm，CD=6A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【變式61】（2022·江蘇宿遷·校聯(lián)考一模）已知⊙O的直徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB//CD，AB=8cm，CD=6cm，則AB【變式62】（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，在⊙O中，AB是直徑，弦EF(1)在圖1中，請僅用不帶刻度的直尺畫出劣弧EF的中點P；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)如圖2，在（1）的條件下連接OP、PF，若OP交弦EF于點Q，現(xiàn)有以下三個選項：①△PQF的面積為32；②EF=6；③PF=10題型07利用垂徑定理求同心圓問題【例7】（2020·山東泰安·校考模擬預(yù)測）如圖，兩個同心圓，大圓的半徑為5，小圓的半徑為3，若大圓的弦AB與小圓有公共點，則弦AB的取值范圍是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5【變式71】（2022·四川綿陽·校考一模）如圖，⊙O1的弦AB是⊙O2的切線，且AB∥O1O2，如果AB＝12cm，那么陰影部分的面積為（

）．A．36πcm2 B．12πcm2 C．8πcm2 D．6πcm2【變式72】（2022·湖南長沙·模擬預(yù)測）如圖，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB切小圓于點C，若AB=8，則圓環(huán)的面積是題型08垂徑定理在格點中的應(yīng)用【例8】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖中，一段圓弧經(jīng)過格點A，B，C，AE的延長線經(jīng)過格點D，則AE的長為（

）A．3π4 B．π2 C．5【變式81】（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)校考二模）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A，點B，點D均在格點上，并且在同一個圓上，取格點M，連接AM并延長交圓于點C，連接AD．

（1）AM=（2）請在如圖所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫出線段AP，使AP平分∠CAD，且點P在圓上，并簡要說明點P的位置是如何找到的（不要求證明）【變式82】（2023·天津東麗·統(tǒng)考二模）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點A，B，M均為格點，以格點O為圓心，AB為直徑作圓，點M在圓上．

（Ⅰ）線段AB的長等于；（Ⅱ）請在如圖所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，在BM上找出一點P，使PM=AM【變式83】（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，由小正方形構(gòu)成的6×6網(wǎng)格中，每個正方形的頂點叫做格點．⊙O經(jīng)過A、B、C三點，僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求作圖（保留作圖痕跡）．

(1)在圖1中畫出圓心O；(2)在圖2中的圓上找一點E，使OE平分弧BC；(3)在圖3中的圓上找一點F，使BF平分∠ABC題型09利用垂徑定理的推論求解【例9】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD、BE是⊙O的兩條弦，CD交AB于點G，點C是弧BE的中點，點B是弧CD的中點，若AB=10，BG=2，則

A．3 B．4 C．6 D．8【變式91】（2022·四川資陽·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上兩點，若BC＝BD，∠OCD＝14°，則∠D的度數(shù)為（

）A．34° B．36° C．37° D．38°【變式92】（2023·四川巴中·統(tǒng)考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，E為弧BC上一點，若∠CEA=28°A．14° B．28° C．56° D．無法確定題型10垂徑定理的實際應(yīng)用【例10】（2021·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測）往直徑為52cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬AB=48cmA．8cm B．10cm C．16cm【變式101】（2023·福建南平·統(tǒng)考一模）我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個“圓材埋壁”的問題“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”意思是：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知大小，用鋸子去鋸這個木材，鋸口深DE=1寸，鋸道AB=1尺（1尺=10寸），則這根圓柱形木材的直徑是（A．12寸 B．13寸C．24寸 D．26寸【變式102】（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）“圓”是中國文化的一個重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的應(yīng)用，例如古典園林中的門洞，如圖，某地園林中的一個圓弧形門洞的高為2.5m，地面入口寬為1m,則該門洞的半徑為【變式103】（2023·廣東佛山·?？既＃┕磐駚恚瑯蚪o人們的生活帶來便利，解決跨水或者越谷的交通，便于運輸工具或行人在橋上暢通無阻，中國橋梁的橋拱線大多采用圓弧形、拋物線形和懸鏈形，坐落在河北省趙縣汶河上的趙州橋建于隋朝，距今已有約1400年的歷史，是當今世界上現(xiàn)存最早、保存最完整的古代敝肩石拱橋，趙州橋的主橋拱便是圓弧形．(1)某橋A主橋拱是圓弧形（如圖①中ABC），已知跨度AC=40m，拱高BD=10m(2)某橋B的主橋拱是拋物線形（如圖②），若水面寬MN=10m，拱頂P（拋物線頂點）距離水面(3)如圖③，某時橋A和橋B的橋下水位均上升了2m【變式104】（2022·上海奉賢·統(tǒng)考二模）圖1是某種型號圓形車載支架，由圓形鋼軌、滑動桿、支撐桿組成．圖2是它的正面示意圖，滑動桿AB的兩端都在圓O上，A、B兩端可沿圓形鋼軌滑動，支撐桿CD的底端C固定在圓O上，另一端D是滑動桿AB的中點，（即當支架水平放置時直線AB平行于水平線，支撐桿CD垂直于水平線），通過滑動A、B可以調(diào)節(jié)CD的高度．當AB經(jīng)過圓心O時，它的寬度達到最大值10cm，在支架水平放置的狀態(tài)下：(1)當滑動桿AB的寬度從10厘米向上升高調(diào)整到6厘米時，求此時支撐桿CD的高度．(2)如圖3，當某被支架鎖住時，鎖住高度與寬度恰好相等（AE=AB），求該題型11利用垂徑定理求取值范圍【例11】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考二模）如圖，⊙O的半徑為5cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一個動點，則A．8≤OP≤10 B．5≤OP≤8 C．【變式111】（2023上·江蘇南通·九年級校考期末）已知，如圖，∠MON=60°，點A，B為射線OM，ON上的動點，且AB=43，在∠MON的內(nèi)部、△AOB的外部有一點P，且AP=【變式112】（2021上·浙江杭州·九年級校考期中）如圖，C、D是以AB為直徑的圓O上的兩個動點（點C、D不與A、B重合），M是弦CD的中點，過點C作CP⊥AB于點P．若CD＝3，AB＝5，則PM的范圍是．題型12利用弧、弦、圓心角關(guān)系判斷正誤【例12】（2022·上海金山·校考一模）如圖，O是弧AD所在圓的圓心．已知點B、C將弧AD三等分，那么下列四個選項中不正確的是（

）A．AC=2CD B．C．∠AOC=2∠COD D【變式121】（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）如圖，OA、OB、OC都是⊙O的半徑，若∠AOB是銳角，且∠AOB＝2∠BOC，則下列結(jié)論正確的是（）個.①AB＝2BC；②AB＝2BC；③∠ACB＝2∠CAB；④∠ACB＝∠BOC．A．1 B．2 C．3 D．4【變式122】（2019·浙江杭州·校聯(lián)考一模）如圖，在△ABC中，以邊BC為直徑做半圓，交AB于點D，交AC于點E，連接DE，若DE∧A．AB＝3AE B．AB＝2AE C．3∠A＝2∠C D．5∠A＝3∠C題型13利用弧、弦、圓心角關(guān)系求角度【例13】（2023·陜西西安·西北大學(xué)附中?？寄M預(yù)測）如圖，AB,CD是⊙O的兩條直徑，E是劣弧BC的中點，連接BC，DE．若∠ABC=22°A．22° B．32° C．34° D．44°【變式131】（2022·廣西柳州·統(tǒng)考二模）如圖，點A,B,C,D,E在A．48° B．24° C．22° D．21°【變式132】（2021·陜西西安·高新一中?？级＃┤鐖D，BD是⊙O的直徑，點A，C在⊙O上，AB=AD，AC交BD于點G．若∠CODA．99° B．108° C．110° D．117°【變式133】（2021·福建漳州·模擬預(yù)測）如圖，在半徑為R的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D為弧AC的中點，AC與BD交于點E，已知∠A＝36°，則∠AED的度數(shù)為（

）A．36° B．56° C．63° D．72°題型14利用弧、弦、圓心角關(guān)系求線段長【例14】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD、BE是⊙O的兩條弦，CD交AB于點G，點C是BE的中點，點B是CD的中點，若AB=10，BG=2，則

A．3 B．4 C．6 D．8【變式141】（2022·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）如圖，AB為⊙O直徑，點C，D在⊙O上且AC=BC．AD與CO交于點E，∠DAB＝30°，若AO=3，則A．1 B．32 C．3-1【變式142】（2022·重慶·重慶巴蜀中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，AB是⊙O的直徑，點D是弧AC的中點，過點D作DE⊥AB于點E，延長DE交⊙O于點F，若AE=2，⊙O的直徑為10，則ACA．5 B．6 C．7 D．8【變式143】（2022·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）如圖，AB為⊙O的直徑，AB=4，CD=22，劣弧BC的長是劣弧BD長的2倍，則A．32 B．22 C．3 D題型15利用弧、弦、圓心角關(guān)系求周長【例15】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖所示的曲邊三角形可按下述方法作出：作等邊△ABC；分別以點A，B，C為圓心，以AB的長為半徑作BC，AC，AB，三條弧所圍成的圖形就是一個曲邊三角形．如果ABA．π B．2π C．92π D【變式151】（2022上·陜西西安·九年級期末）如圖，已知⊙O的半徑等于2cm，AB是直徑，C，D是⊙O上的兩點，且AD=DC=CBA．8cm B．10cm C．12cm D．16cm【變式152】（2019·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點P在⊙O上，PD恰好經(jīng)過圓心O，連接PB．（1）若CD＝8，BE＝2，求⊙O的周長；（2）若∠P＝∠D，點E是AB的一個四等分點嗎？為什么？題型16利用弧、弦、圓心角關(guān)系求面積【例16】（2022·甘肅武威·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，⊙O的半徑是4，AB是⊙O的直徑，D是AB的中點，連接AD，則圖中陰影部分的面積是（結(jié)果保留π）．【變式161】（2022·安徽宿州·宿州市第十一中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，點C，D分別是以AB為直徑的半圓上的三等分點，AB=4，連接BC(1)填空：BC_________2BD；（填“>”“=”或“<”(2)求圖中△BCD【變式162】（2022·四川遂寧·校考一模）如圖，在⊙O中，AC＝CB，CD⊥OA于點D，CE⊥OB于點E．(1)求證：CD＝CE；(2)若∠AOB＝120°，OA＝2，求四邊形DOEC的面積．題型17利用弧、弦、圓心角關(guān)系求弧的度數(shù)【例17】（2021·浙江·諸暨市暨陽初級中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，以點C為圓心，BC為半徑的圓分別交AB、AC于點D、點E，則弧BD的度數(shù)為（

）A．52° B．26° C．64° D．128°【變式171】（2023·江蘇宿遷·泗陽致遠中學(xué)校考一模）如圖，點A、C、E在⊙O上，BD為直徑，∠B+∠E=155°【變式172】（2018·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）同圓中，已知弧AB所對的圓心角是100°，則弧AB所對的圓周角是．題型18利用弧、弦、圓心角關(guān)系比較大小【例18】（2022上·江蘇常州·九年級校考階段練習(xí)）在同圓中，若弧AB和弧CD都是劣弧，且弧AB=2弧CD，那么AB和CD的大小關(guān)系是（

A．AB=2CD B．AB>2CD C【變式181】（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，大半圓中有n個小半圓，若大半圓弧長為L1，n個小半圓弧長的和為L2，大半圓的弦AB，BC，CD的長度和為L3．則（）A．L1＝L2＞L3B．L1＝L2＜L3C．無法比較L1、L2、L3間的大小關(guān)系D．L1＞L3＞L2【變式182】（2020上·九年級課時練習(xí)）在⊙O中，C是AB的中點，D是AC上的任一點（與點A、C不重合），則（

）A．AC+CB＝AD+DB B．AC+CB＜AD+DBC．AC+CB＞AD+DB D．AC+CB與AD+DB的大小關(guān)系不確定【變式183】（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，點P1~P8是⊙O的八等分點．若△P1P3P

A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)=b C．a(chǎn)>b題型19利用弧、弦、圓心角關(guān)系求最值【例19】（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格圖形ABCD中，M，N分別是AB，BC上的格點，BM＝4，BN＝2．若點P是這個網(wǎng)格圖形中的格點，連接PM，PN，則所有滿足∠MPN＝45°的△PMN中，邊PM的長的最大值是（

）A．42 B．6 C．210 D【變式191】（2023·黑龍江綏化·?？寄M預(yù)測）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝4，C為AB的三等分點（更靠近A點），點P是⊙O上一個動點，取弦AP的中點D，則線段CD的最大值為（

）

A．2 B．7 C．23 D．【變式192】（2023·山西陽泉·統(tǒng)考二模）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝12，點M在⊙O上，∠MAB=20°，N是MB的中點，連接MN，P是直徑AB上的動點，若弦MN=2，則△PMN

【變式193】（2023·廣東珠海·統(tǒng)考一模）如圖，在⊙O中，點C是AB上的一點，作AD∥BC交⊙O于點(1)求證：AC=(2)連接BO并延長BO交⊙O于點E，交弦AD于點F，連接CE交AD于點G，連接AE、AC，請根據(jù)題意畫圖．已知BE=8，①若CE=42，求②若點C從點A沿AB運動點B時，求線段BG的長度最小值．題型20利用弧、弦、圓心角關(guān)系證明【例20】（2023·上海閔行·統(tǒng)考二模）如圖，在扇形AOB中，點C、D在AB上，AD=CB，點F、E分別在半徑OA、OB上，OF=OE，連接(1)求證：DE=(2)設(shè)點Р為CD的中點，連接CD、EF、PO，線段PO交CD于點M、交EF于點N．如果PO∥DE，求證：四邊形【變式201】（2022·湖南懷化·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，點A，B，C，D在⊙O上，AB＝CD．求證：(1)AC＝BD；(2)△ABE∽△DCE．【變式202】（2023·浙江湖州·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB上的一點，以BD為直徑的半圓與交BC于點F，且AC切(1)求證：DE=(2)若∠A=30°，AB=6【變式203】（2023·江蘇徐州·校考二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，延長BC到點E，使得CE=AB，∠1=∠2(1)求證：BD=(2)若AB=3，BC=5，∠ABC題型21利用圓周角定理求解【例21】（2023·陜西延安·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O,∠C=46°，連接OA，則A．44° B．45° C．54° D．67°【變式211】（2023·山東泰安·校考模擬預(yù)測）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD是⊙O的直徑，∠ACD=40°A．70° B．60° C．50° D．40°【變式212】（2023·內(nèi)蒙古烏蘭察布·校考模擬預(yù)測）如圖，在⊙O中，∠BOC＝130°，點A在BAC上，則∠BAC的度數(shù)為（）A．55° B．65° C．75° D．130°題型22利用圓周角定理推論求解【例22】（2023·江蘇連云港·?？家荒＃┤鐖D，邊長為6的等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，點D為AC上的動點（點A、C除外），BD的延長線交⊙O于點E，連接CE．(1)求證△CED(2)當DC=2AD時，求【變式221】（2023·安徽合肥·?？家荒＃┤鐖D，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是⊙O的直徑，若∠B=20°A．60° B．65° C．70° D．75°【變式222】（2022·湖北省直轄縣級單位·校聯(lián)考一模）如圖，C，D是⊙O上直徑AB兩側(cè)的兩點．設(shè)∠ABC=25°，則∠A．85° B．75° C．70° D．65°【變式223】（2023·陜西·模擬預(yù)測）如圖，點A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC,ACA．43 B．8 C．42 D【變式224】（2023·陜西西安·西安建筑科技大學(xué)附屬中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，(1)試判斷△ABC(2)若AB=2，AD=1題型23已知圓內(nèi)接四邊形求角度【例23】（2023·四川內(nèi)江·校考一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接OB，OD，BD，若∠C=110°，則∠A．15° B．20° C．25° D．30°【變式231】（2021·廣東江門·?？家荒＃┤鐖D，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=CD，A為BD中點，∠BDC=60°A．40° B．50° C．60° D．70°【變式232】2023·重慶江北·?？家荒＃┤鐖D，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC=120°，AC=43，則A．4 B．43 C．23 D【變式233】（2023·內(nèi)蒙古包頭·校考三模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，它的3個外角∠EAB，∠FBC，∠GCD的度數(shù)之比為1:2:4【變式234】（2023·江蘇常州·統(tǒng)考二模）如圖，∠DCE是⊙O內(nèi)接四邊形ABCD的一個外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度數(shù)為．題型24利用圓的有關(guān)性質(zhì)求值【例24】（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，過點B，C的⊙O分別交AC，AB于D，E兩點，連接EO并延長交⊙O于點F，連接BF，CF．若∠EDC=

A．10 B．13 C．4 D．10【變式241】（2023·天津和平·統(tǒng)考一模）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD，∠ABC=60°，對角線BD平分∠ADC，過點B作BE∥CD交DA的延長線于點E，若AD=2，【變式242】（2020·湖南長沙·長沙市長郡雙語實驗中學(xué)校考一模）如圖，邊長一定的正方形ABCD，Q為CD上一個動點，AQ交BD于點M，過M作MN⊥AQ交BC于點N，作NP⊥BD于點P，連接NQ，下列結(jié)論：①AM＝MN；②MP＝12BD；③BN＋DQ＝NQ；④AB+BNBM為定值題型25利用圓的有關(guān)性質(zhì)證明【例25】（2022·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖①，在△ABC中，CA=CB，D是△ABC外接圓⊙O上一點，連接CD，過點B作BE∥CD，交AD(1)求證：四邊形DEFC是平行四邊形；(2)如圖②，若AB為⊙O直徑，AB=7，BF=1【變式251】（2021·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角，若∠A＝α，請用含α的代數(shù)式表示∠E．（2）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD＝BD，四邊形ABCD的外角平分線DF交⊙O于點F，連結(jié)BF并延長交CD的延長線于點E．求證：∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角．（3）如圖3，在（2）的條件下，連結(jié)AE，AF，若AC是⊙O的直徑．①求∠AED的度數(shù)；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面積．【變式252】（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測）“同弧或等弧所對的圓周角相等”，利用這個推論可以解決很多數(shù)學(xué)問題．(1)【知識理解】如圖1，圓O的內(nèi)接四邊形ACBD中，∠ABC=60°，①∠BDC=________；∠DAB________∠DCB（填“>”，“=”，②將D點繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到點E，則線段DB，DC，(2)【知識應(yīng)用】如圖2，AB是圓O的直徑，tan∠ABC=(3)【知識拓展】如圖3，已知AB=2，A，B分別是射線DA，DB上的兩個動點，以AB為邊往外構(gòu)造等邊△ABC，點C在∠MDN【變式253】（2023·江蘇南京·?？级＃┮阎赗t△ABC中，∠B=30°，點M平分BC,AD平分∠BAC，過點A,

(1)求∠MAD(2)連接DF，求證：△CDF(3)若AC=4，則⊙O的半徑r=題型26利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決翻折問題【例26】（2023·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校校考三模）如圖，在半圓ACB中，AB=6，將半圓ACB沿弦BC所在的直線折疊，若弧BC恰好過圓心O，則弧BCA．33 B．π C．2π D【變式261】（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，AB、AC為⊙O的兩條弦，AB=32，AC=4，將AB折疊后剛好過弦AC的中點D，則

A．22 B．5 C．5 D．【變式262】（2021·福建龍巖·統(tǒng)考二模）如圖，在⊙O中，點C在優(yōu)弧AB上，將弧BC沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點D．若⊙O的半徑為5，AB=45，則A．5π2 B．25π4 C．【變式263】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的兩個點，將⊙O沿弦BC折疊，圓弧BC恰好與弦DA，DB分別相切于點E，B．若AB=2，則弦

A．1+32 B．2+32 C【變式264】（2022·山東棗莊·校考一模）在《折疊圓形紙片》綜合實踐課上，小東同學(xué)展示了如下的操作及問題：(1)如圖1，⊙O1的半徑為4cm，通過折疊圓形紙片，使得劣弧AB沿弦AB折疊后恰好過圓心O1(2)如圖2，O2C⊥弦AB，垂足為點C，劣弧AB沿弦AB折疊后經(jīng)過O2C的中點D【變式265】（2023·江西萍鄉(xiāng)·萍鄉(xiāng)市安源中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖（1）AB是⊙O的直徑，且AB=2，點C是半圓AB的中點，點P是BC上一動點，將AP沿直線AP折疊交AB于點D，連接PD，(1)求證：PD=(2)當點D與點O重合時，如圖（2），求BP的長．【變式266】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）【問題背景】如圖1，在⊙O中，將劣弧AB沿弦AB所在的直線折疊，使得劣弧AB恰好過圓心O，圓心O關(guān)于直線AB的對稱點為O

(1)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，連接AO、BO，并延長AO交⊙O于D，連接BD．直接寫出∠AOB的度數(shù)為__________，BO與(2)【深入探究】如圖2，將劣弧AB沿弦AB所在的直線折疊，弧AB不經(jīng)過圓心O，在劣弧AB上取一點C（不與A、B重合），連接AC并延長交⊙O于點D，連接B