【高中數(shù)學(xué)】1.1.2-空間向量的數(shù)量積運算高二數(shù)學(xué)新教材配套學(xué)案(人教A版選擇性必修第一冊)

1.1.2空間向量的數(shù)量積運算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.了解空間向量夾角的概念及表示方法.2.掌握兩個向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)與運算律.（重點）3.可以用數(shù)量積證明垂直，求解角度和長度．（重點、難點）1、邏輯推理2、數(shù)學(xué)運算3、數(shù)學(xué)抽象【自主學(xué)習(xí)】空間向量的夾角(1)已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的，記作．(2)a，b為非零向量，〈a，b〉＝〈b，a〉，a與b的夾角的范圍是，其中當(dāng)〈a，b〉＝0時，a與b；當(dāng)〈a，b〉＝π時，a與b；當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，a與b．反之，若a∥b，則〈a，b〉＝；若a⊥b，則〈a，b〉＝。2.空間向量數(shù)量積（1）概念：已知兩個非零向量a，b，則叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．（2）投影向量：向量a向向量b投影，得到c=|a||b|cos〈a，b〉=,向量c稱為向量a在向量b上的投影向量。（3）性質(zhì)a⊥b?，|a|2＝，|a|＝，cos〈a，b〉＝（4）運算律λ(a·b)＝，a·b＝(交換律)．a(chǎn)·(b＋c)＝(分配律)．特別提醒：不滿足結(jié)合律(a·b)·c＝a·(b·c)．【小試牛刀】判斷正錯(1)若非零向量a，b為共線且同向的向量，則a·b＝|a||b|.()(2)對于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．()(3)對任意向量a，b，滿足|a·b|≤|a||b|.()(4)對于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.()2．對于向量a、b、c和實數(shù)λ，下列命題中的真命題是()．A．若a·b＝0，則a＝0或b＝0B．若λa＝0，則λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，則a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，則b＝c【經(jīng)典例題】題型一數(shù)量積的計算注意：(1)已知a，b的模及a與b的夾角，直接代入數(shù)量積公式計算．(2)如果要求的是關(guān)于a與b的多項式形式的數(shù)量積，可以先利用數(shù)量積的運算律將多項式展開，再利用a·a＝|a|2及數(shù)量積公式進行計算．例1如圖所示，在棱長為1的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，求：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))；(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))；(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))；(4)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→)).[跟蹤訓(xùn)練]1已知正四面體O—ABC的棱長為1.求：(1)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))；(2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))；(3)|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|.題型二用數(shù)量積證明垂直問題注意：（1）證明線線垂直的方法證明線線垂直的關(guān)鍵是確定直線的方向向量，根據(jù)方向向量的數(shù)量積是否為0來判斷兩直線是否垂直．(2)證明與空間向量a，b，c有關(guān)的向量m，n垂直的方法先用向量a，b，c表示向量m，n，再判斷向量m，n的數(shù)量積是否為0.例2如圖所示，已知△ADB和△ADC都是以D為直角頂點的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.求證：BD⊥平面ADC.[跟蹤訓(xùn)練]2已知空間四邊形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，那么AD與BC的位置關(guān)系為_______．(填“平行”或“垂直”)題型三用數(shù)量積求角度注意：求兩個空間向量a，b夾角的方法類同平面內(nèi)兩向量夾角的求法，利用公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，在具體的幾何體中求兩向量的夾角時，可把其中一個向量的起點平移至與另一個向量的起點重合，轉(zhuǎn)化為求平面中的角度大小問題例3如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CC1的中點，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是______．[跟蹤訓(xùn)練]3已知點O是正△ABC平面外的一點，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E、F分別是AB、OC的中點，試求OE與BF所成角的余弦值．題型四用數(shù)量積求長度注意:求解長度問題時，先選擇以兩點為端點的向量，將此向量表示為幾個向量和的形式，求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a|＝eq\r(a·a)求解即可．例4如圖，已知ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，則PC的長為__________．[跟蹤訓(xùn)練]4在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的長．【當(dāng)堂達標(biāo)】1．在如圖所示的正方體中，下列各對向量的夾角為45°的是()．A．與B．與C．與D．與2．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，則|2a－3b|等于()A．eq\r(97) B．97C．eq\r(61) D．613.已知a，b是空間兩個向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝eq\r(7)，則cos〈a，b〉＝________． 4.已知空間向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，則a·b＋b·c＋c·a的值為________．5．已知|a|＝3eq\r(2)，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，則λ＝________．6．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，CC1的中點，求異面直線A1M與DN所成的角。7.在空間四邊形OABC中，連接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))所成角的余弦值．8．如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面邊長為eq\r(2).(1)設(shè)側(cè)棱長為1，求證：AB1⊥BC1；(2)設(shè)AB1與BC1的夾角為eq\f(π,3)，求側(cè)棱的長．

【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】1.（1）夾角〈a，b〉（2）[0，π]方向相同方向相反互相垂直0或πeq\f(π,2).2.（1）|a||b|cos〈a，b〉（2）（3）a·b＝0a·aeq\r(a·a)eq\f(a·b,|a||b|)（4）(λa)·bb·aa·b＋a·c【小試牛刀】1.√×√×2．B【解析】對于A，可舉反例：當(dāng)a⊥b時，a·b＝0；對于C，a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；對于D，a·b＝a·c可以移項整理推得a⊥(b－c)．【經(jīng)典例題】例1解(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))||eq\o(BA,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)cos60°＝eq\f(1,4).(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,2).(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|·|eq\o(DC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)cos120°＝－eq\f(1,4).(4)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AD,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))〉－|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝cos60°－cos60°＝0.[跟蹤訓(xùn)練]1(1)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|cos∠AOB＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2)；(2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OC,\s\up6(→)))＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1；(3)|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(\o(\s\up12(),\s\do4(\o(OA,\s\up6(→))＋\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→))2)))＝eq\r(12＋12＋12＋21×1×cos60°×3)＝eq\r(6).例2【證明】不妨設(shè)AD＝BD＝CD＝1，則AB＝AC＝eq\r(2).eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))，由于eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝1，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cos60°＝eq\r(2)×eq\r(2)×eq\f(1,2)＝1.∴eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，即BD⊥AC，又已知BD⊥AD，AD∩AC＝A，∴BD⊥平面ADC.[跟蹤訓(xùn)練]2解析∵eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝0，∴AD與BC垂直．例390°【解析】不妨設(shè)棱長為2，則eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BB1,\s\up6(→))，cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))〉＝eq\f(（\o(BB1,\s\up6(→))－\o(BA,\s\up6(→))）·（\o(BC,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(BB1,\s\up6(→))）,2\r(2)×\r(5))＝eq\f(0－2＋2－0,2\r(2)×\r(5))＝0，[跟蹤訓(xùn)練]3設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，則a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2)，|a|＝|b|＝|c|＝1，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c－b，eq\o(OE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)·(eq\f(1,2)c－b)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,2)a·c＋eq\f(1,2)b·c－a·b－|b|2)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)－eq\f(1,2)－1)＝－eq\f(1,2)，∴cos〈eq\o(OE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(OE,\s\up6(→))·\o(BF,\s\up6(→)),|\o(OE,\s\up6(→))||\o(BF,\s\up6(→))|)＝eq\f(－\f(1,2),\f(\r(3),2)×\f(\r(3),2))＝－eq\f(2,3)，∴異面直線OE與BF所成角的余弦值為eq\f(2,3).例47【解析】∵＝＋＋，∴||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos120°＝61－12＝49．∴PC＝7．[跟蹤訓(xùn)練]4解因為eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))eq\o\al(2,1)＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\o(AA,\s\up6(→))eq\o\al(2,1)＋2(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→)))．因為∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，所以eq\o(AC,\s\up6(→))eq\o\al(2,1)＝1＋4＋9＋2×(1×3×cos60°＋2×3×cos60°)＝23.因為eq\o(AC,\s\up6(→))eq\o\al(2,1)＝|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2，所以|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝23，則|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(23)，即AC1＝eq\r(23).【當(dāng)堂達標(biāo)】1.A【解析】A，B，C，D四個選項中各對向量的夾角依次是45°，135°，90°，180°．2.C解析|2a－3b|2＝4a2－12a·b＋9b2＝4×22－12×2×3×cos60°＋9×32＝61，∴|2a－3b|＝eq\r(61).3．eq\f(1,8)【解析】將|a－b|＝eq\r(7)化為(a－b)2＝7，求得a·b＝eq\f(1,2)，再由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求得cos〈a，b〉＝eq\f(1,8).4．－13【解析】∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(32＋12＋42,2)＝－13.5．－eq\f(3,2)【解析】由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，∴a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，∴18＋(λ＋1)×3eq\r(2)×4cos135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，∴λ＝－eq\f(3,2).6.解以點D為原點，以DA，DC，DD1為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系D－xyz．設(shè)正方體的棱長為2，則＝(2，－1,2)，＝(0,2,1)，·＝0，故異面直線A1M與ND所成角為90°．7.解∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉－|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16eq\r(2)，∴cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(OA,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(24－16\r(2),8×5)＝eq\f(3－2\r(2),5).(1)證明eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)).∵BB1⊥平面ABC，∴eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.又△ABC為正三角形，∴〈eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝π－〈eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝π－eq\f(π,3)＝eq\f(2π,3).∵eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))·(eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))2＋eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＋eq\o(BB1,\s\up6(→))2＝－1＋1＝0，∴AB1⊥BC1.(2)解結(jié)合(1)知eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＋eq\o(BB1,\s\up6(→))2＝eq\o(BB1,\s\up6(→))2－1.又|eq\o(AB1,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC1,\s\up6(→))|.∴cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BB1,\s\up6(→))2－1,2＋\o(BB1,\s\up6(→))2)＝eq\f(1,2)，∴|eq\o(BB1,\s\up6(→))|＝2，即側(cè)棱長為2.高考數(shù)學(xué)：試卷答題攻略

一、“六先六后”，因人因卷制宜。考生可依自己的解題習(xí)慣和基本功，選擇執(zhí)行“六先六后”的戰(zhàn)術(shù)原則。1.先易后難。2.先熟后生。3.先同后異。先做同科同類型的題目。4.先小后大。先做信息量少、運算量小的題目，為解決大題贏得時間。5.先點后面。高考數(shù)學(xué)解答題多呈現(xiàn)為多問漸難式的“梯度題”，解答時不必一氣審到底，應(yīng)走一步解決一步，步步為營，由點到面。6.先高后低。即在考試的后半段時間，如估計兩題都會做，則先做高分題;估計兩題都不易，則先就高分題實施