第7章 新高考新題型微課堂　7　多選題命題熱點之立體幾何-2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新高考）

七多選題命題熱點之立體幾何立體幾何問題中的多選題、主要集中在平面公理、定理、性質(zhì)，涉及位置有關(guān)系的判斷，特別是平行與垂直的處理，以及體積、表面積、夾角等數(shù)量關(guān)系的計算．位置關(guān)系的判斷(多選題)下列命題錯誤的是()A．若兩條直線和同一個平面平行，則這兩條直線平行B．若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行C．若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D．若兩個平面垂直于同一個平面，則這兩個平面平行ABD解析：選項A中，若兩條直線和同一個平面平行，則這兩條直線可能平行、相交或為異面直線，故A選項錯誤；選項B中，若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行、相交或異面，故B選項錯誤；選項C正確；選項D中，若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行或相交，選項D錯誤．熟記平面相關(guān)公理、定理，借助簡單幾何體判斷空間中的位置關(guān)系．(多選題)如圖，在四棱錐P-ABCD中，△PAB與△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，則下列結(jié)論成立的是()A．PB⊥ACB．PD⊥平面ABCDC．AC⊥PDD．平面PBD⊥平面ABCDACD解析：在選項A中，取PB的中點O，連接AO，CO.因為四棱錐P-ABCD中，△PAB與△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，所以AO⊥PB，CO⊥PB.因為AO∩CO＝O，所以PB⊥平面AOC．因為AC?平面AOC，所以PB⊥AC，故選項A成立．在選項B中，點D位置不確定．故選項B不一定成立．在選項C中，由選項A知，AC⊥PB.因為AC⊥BD，PB∩BD＝B，所以AC⊥平面PBD．因為PD?平面PBD，所以AC⊥PD．故選項C成立．在選項D中，因為AC⊥平面PBD，AC?平面ABCD，所以平面PBD⊥平面ABCD．故選項D成立．空間中數(shù)量關(guān)系的運算(多選題)三棱錐P-ABC的各頂點都在同一球面上，PC⊥底面ABC．若PC＝AC＝1，AB＝2，且∠BAC＝60°，則下列說法正確的是()A．△PAB是鈍角三角形B．此球的表面積等于5πC．BC⊥平面PACD．三棱錐A-PBC的體積為eq\f(\r(3),2)BC解析：在底面△ABC中，由AC＝1，AB＝2，∠BAC＝60°，利用余弦定理可得BC＝eq\r(12＋22－2×1×2×cos60°)＝eq\r(3)，所以AC2＋BC2＝AB2，即AC⊥BC，又PC⊥底面ABC，則PC⊥AC，PC⊥BC．把三棱錐P-ABC放入長寬高分別為eq\r(3)，1,1的長方體中，如圖所示．所以PA＝eq\r(2)，PB＝AB＝2，所以△PAB是等腰三角形，且頂角小于底角，是銳角三角形．選項A錯誤．三棱錐的外接球也是長方體的外接球，且外接球的直徑是長方體的體對角線，即2R＝eq\r(12＋\r(3)2＋12)＝eq\r(5)，所以三棱錐P-ABC外接球的表面積為S＝4πR2＝5π.選項B正確．又BC⊥AC，BC⊥PC，且AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC．選項C正確．三棱錐P-ABC的體積為V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),6).選項D錯誤．熟記體積、表面積公式，借助規(guī)則幾何體進行數(shù)量關(guān)系的運算．(多選題)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則下列四個命題正確的是()A．直線BC與平面ABC1D1所成的角等于eq\f(π,4)B．點C到平面ABC1D1的距離為eq\f(\r(2),2)C．兩條異面直線D1C和BC1所成的角為eq\f(π,4)D．三棱柱AA1D1-BB1C1外接球半徑為eq\f(\r(3),2)ABD解析：正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，對于選項A，直線BC與平面ABC1D1所成的角為∠CBC1＝eq\f(π,4).故選項A正確．對于選項B，點C到平面ABC1D1的距離為B1C長度的一半，即h＝eq\f(\r(2),2).故選項B正確．對于選項C，兩條異面直線D1C和BC1所成的角為eq\f(π,3).故選項C錯誤．對于選項D，三棱柱AA1D1-BB1C1外接球半徑r＝eq\f(\r(12＋12＋12),2)＝eq\f(\r(3),2).故選項D正確．以立體幾何為背景的向量運算(多選題)在四面體P-ABC中，以下說法中正確的有()A．若eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(BD,\s\up6(→))B．若Q為△ABC的重心，則eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PC,\s\up6(→))C．若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，則eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0D．若四面體P-ABC各棱長都為2，M，N分別為PA，BC的中點，則|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝1ABC解析：對于選項A，因為eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以3eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))，所以2eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))，所以2eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以3eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，即3eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)).故選項A正確．對于選項B，若Q為△ABC的重心，則eq\o(QA,\s\up6(→))＋eq\o(QB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝0，所以3eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(QA,\s\up6(→))＋eq\o(QB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝3eq\o(PQ,\s\up6(→))，所以3eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))，即eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PC,\s\up6(→)).故選項B正確．對于選項C，若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0.所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝0，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，所以(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0.所以eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝0，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0.故選項C正確．對于選項D，因為eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(PN,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))，所以|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))|.因為|eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PC,\s\up6(→))|2－2|eq\o(PA,\s\up6(→))|·|eq\o(PB,\s\up6(→))|－2|eq\o(PA,\s\up6(→))|·|eq\o(PC,\s\up6(→))|＋2|eq\o(PB,\s\up6(→))|·|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝22＋22＋22－2×2×2×eq\f(1,2)－2×2×2×eq\f(1,2)＋2×2×2×eq\f(1,2)＝8，所以|eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－Peq\o(A,\s\up6(→))|＝2eq\r(2).即|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\r(2).故選項D錯誤．(多選題)已知O，A，B，C為平面上兩兩不重合的四點，且xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))＝0(xyz≠0)，則()A．當(dāng)且僅當(dāng)xyz<0時，O在△ABC的外部B．當(dāng)且僅當(dāng)x∶y∶z＝3∶4∶5時，S△ABC＝4S△OBCC．當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時，O為△ABC的重心D．當(dāng)且僅當(dāng)x＋y＋z＝0時，A，B，C三點共線CD解析：當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝－1時，O為△ABC的重心，在△ABC的內(nèi)部，所以選項A不正確．當(dāng)x＋y＋z≠0時，eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(y,x＋y＋z)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(z,x＋y＋z)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(y＋z,x＋y＋z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,y＋z)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(z,y＋z)\o(AC,\s\up6(→))))，eq\f