新高考數(shù)學(xué)題型全歸納之排列組合專題04數(shù)字問題(原卷版+解析)

專題4數(shù)字問題例1．由0，1，2，3，4，5這6個數(shù)字可以組成五位沒有重復(fù)數(shù)字的奇數(shù)個數(shù)為()A．288 B．360 C．480 D．600【解析】根據(jù)題意，末位數(shù)字可以為1、3、5，有種取法，首位數(shù)字不能為0，有種取法，再選3個數(shù)字，排在中間，有種排法，則五位奇數(shù)共有，故選：A．例2．羅馬數(shù)字是歐洲在阿拉伯?dāng)?shù)字傳入之前使用的一種數(shù)碼，它的產(chǎn)生標(biāo)志著一種古代文明的進(jìn)步.羅馬數(shù)字的表示法如下：數(shù)字123456789形式ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨ其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”與“X”需要2根火柴，若為0，則用空位表示.（如123表示為，405表示為）如果把6根火柴以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃胂旅娴谋砀裰?，那么可以表示的不同的三位?shù)的個數(shù)為（）A．87 B．95 C．100 D．103【解析】用6根火柴表示數(shù)字，所有搭配情況如下：1根火柴和5根火柴：1根火柴可表示的數(shù)為1；5根火柴可表示的數(shù)為8，和0一起，能表示的數(shù)共有4個（108,180,801,810）.2根火柴和4根火柴：2根火柴可表示的數(shù)為2、5；4根火柴可表示的數(shù)為7，和0一起，能表示的數(shù)有個.3根火柴和3根火柴：3根火柴可表示的數(shù)為3、4、6、9，和0一起，能表示的數(shù)分為2類：除0外的兩個數(shù)字相同，可表示的數(shù)有個；除0外的兩個數(shù)字不同，則有個，所以共有個.1根火柴、1根火柴和4根火柴：即有1、1、7組成的數(shù)，共有3個（117,171,711）.1根火柴、2根火柴和3根火柴：即由1,2或5中的一個，3、4、6、9中的一個數(shù)字組成的三位數(shù)，共有個.2根火柴、2根火柴、2根火柴：即由2或5組成的三位數(shù)，分為兩類：三個數(shù)字都相同，共有2個（222,555）；三個數(shù)字中的兩個數(shù)字相同，則有個，共有個.綜上可知，可組成的三位數(shù)共有個.故選：D.例3．用、、、、、這六個數(shù)字，組成數(shù)字不重復(fù)且大于，小于的四位數(shù)有（）個A． B． C． D．【解析】分以下三種情況討論：①首位數(shù)字為或，則后面三個數(shù)位上的數(shù)隨便選擇，此時，符合條件的數(shù)的個數(shù)為；②首位數(shù)字為，百位數(shù)字不是，則百位數(shù)字可以在、、、中隨便選擇一個，后面兩個數(shù)位上的數(shù)沒有限制，此時，符合條件的數(shù)的個數(shù)為；③首位數(shù)字為，百位數(shù)字為，則符合條件的數(shù)有、、、、、、，共個.綜上所述，大于，小于的四位數(shù)的個數(shù)為.故選：A.例4．將數(shù)字、、、、、、、排成四行兩列，要求每行的數(shù)字互不相同，每列的數(shù)字也互不相同，則不同的排列方法共有（）A． B． C． D．【解析】由于每行的數(shù)字互不相同，每列的數(shù)字也互不相同，則第一行數(shù)字是、、、的全排列，共種，現(xiàn)考慮第一行數(shù)字的排列為，則第二行數(shù)字的排列可以是：、、、、、、、、，共種.由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的排列方法共有種.故選：A.例5．從集合{A，B，C，D，E，F(xiàn)}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2個元素排成一排（字母和數(shù)字均不能重復(fù)）．則每排中字母C和數(shù)字4，7至少出現(xiàn)兩個的不同排法種數(shù)為（）A．85 B．95 C．2040 D．2280【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，先在兩個集合中選出4個元素，要求字母C和數(shù)字4，7至少出現(xiàn)兩個，若字母C和數(shù)字4，7都出現(xiàn)，需要在字母A，B，D，E，F(xiàn)中選出1個字母，有5種選法，若字母C和數(shù)字4出現(xiàn)，需要在字母A，B，D，E，F(xiàn)中選出1個字母，在1、2、3、5、6、8、9中選出1個數(shù)字，有5×7＝35種選法，若字母C和數(shù)字7出現(xiàn)，需要在字母A，B，D，E，F(xiàn)中選出1個字母，在1、2、3、5、6、8、9中選出1個數(shù)字，有5×7＝35種選法，若數(shù)字4、7出現(xiàn)，需要在字母A，B，D，E，F(xiàn)中選出2個字母，有C52＝10種選法，則有5+35+35+10＝85種選法，②，將選出的4個元素全排列，有A44＝24種情況，則一共有85×24＝2040種不同排法；故選：C．例6．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，且是奇數(shù)，其中恰有兩個數(shù)字是偶數(shù)，則這樣的五位數(shù)的個數(shù)為（）．A．7200 B．6480 C．4320 D．5040【解析】第一類，偶數(shù)數(shù)字取0先從1，3，5，7，9中取3個奇數(shù)，從2，4，6，8中取1個偶數(shù)，有中取法，然后將個位數(shù)排一個奇數(shù)，十位、百位、千位選一個出來排0，剩下3個數(shù)字全排列，即有種排法所以本類滿足條件的五位數(shù)有個第二類，偶數(shù)數(shù)字不取0，先從1，3，5，7，9中取3個奇數(shù)，從2，4，6，8中取2個偶數(shù)，有中取法，然后將個位數(shù)排一個奇數(shù)，剩下4個數(shù)字全排列，即有種排法所以本類滿足條件的五位數(shù)有個綜上：這樣的五位數(shù)個數(shù)為故選：B例7．將6個數(shù)2，0，1，9，20，19將任意次序排成一行，拼成一個8位數(shù)（首位不為0），則產(chǎn)生的不同的8位數(shù)的個數(shù)是（）A．546 B．498 C．516 D．534【解析】解：將2，0，1，9，20，19的首位不為0的排列的全體記為，記為為的元素全數(shù)，則，將中的2的后一項是0，且1的后一項是9的排列的全體記為，中2的后一項是0，但1的后一項不是9的排列的全體記為，中1的后一項是9，但2的后一項不是0的排列的全體記為，則，可得，由B中排列產(chǎn)生的每一個8位數(shù)，恰對應(yīng)B中的個排列（這樣的排列中，20可與“2，0”互換，19可與“1，9”互換），類似地，由C或D中排列產(chǎn)生的每個8位數(shù)，恰對應(yīng)C或D中的2個排列，因此滿足條件的8位數(shù)的個數(shù)為：，故選：B例8．2016里約奧運會期間，小趙?？吹?個電視頻道中有2個頻道在轉(zhuǎn)播奧運比賽，若小趙這時打開電視，隨機(jī)打開其中一個頻道，若在轉(zhuǎn)播奧運比賽，則停止換臺，否則就進(jìn)行換臺，那么，小趙所看到的第三個電視臺恰好在轉(zhuǎn)播奧運比賽的不同情況有（）A．6種 B．24種 C．36種 D．42種【解析】解：第一步從4個沒轉(zhuǎn)播的頻道選出2個共有種，再把2個報道的頻道選1個有種，根據(jù)分步計數(shù)原理小趙所看到的第三個電視臺恰好在轉(zhuǎn)播奧運比賽的不同情況有種．故選：．例9．2019年10月1日，中華人民共和國成立70周年，舉國同慶.將2，0，1，9，10這5個數(shù)字按照任意次序排成一行，拼成一個6位數(shù)，則產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個數(shù)為（）A．72 B．84 C．96 D．120【解析】先選擇一個非0數(shù)排在首位，剩余數(shù)全排列，共有種，其中1和0排在一起形成10和原來的10有重復(fù)，考慮1和0相鄰時，且1在0的左邊，和剩余數(shù)字共有4！=24種排法，其中一半是重復(fù)的，故此時有12種重復(fù).故共有種.故選：B.例10．由組成的無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)共有（）A．個 B．個 C．個 D．個【解析】分兩類：一、若五位數(shù)的個位數(shù)是，則有種情形；二、若五位數(shù)的個位數(shù)是，由于不排首位，因此只有有種情形，中間的三個位置有種情形，依據(jù)分步計數(shù)原理可得種情形．由分類計數(shù)原理可得所有無重復(fù)五位偶數(shù)的個數(shù)為，應(yīng)選答案B．例11．用數(shù)字、、、、組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為（）A． B． C． D．【解析】由于五位數(shù)為偶數(shù)，則個位數(shù)必為偶數(shù)，可在、、種任選一個數(shù)，有種選擇，其它數(shù)位任意排列，由分步乘法計數(shù)原理可知，所求偶數(shù)的個數(shù)為.故選：B.例12．在0、1、2、3、4、5這6個數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)中，能被2整除的數(shù)的個數(shù)為（）A．216 B．288 C．312 D．360【解析】由能夠被2整除，可知該六位數(shù)為偶數(shù)，根據(jù)末位情況，分兩種情況討論：當(dāng)末位數(shù)字為0時，其余五個數(shù)為任意全排列，即有種；當(dāng)末位數(shù)字為2或4時，最高位從剩余四個非零數(shù)字安排，其余四個數(shù)位全排列，則有，綜上可知，共有個.故選：C.例13．在由0,1,2,3,4,5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中,能被5整除的有()A．512個 B．192個C．240個 D．108個【解析】試題分析：由于能被5整除的數(shù)，其個位必為0或5，由此分兩類：第一類：個位為0的，有個；第二類：個位為5的，再分兩小類：第1小類：不含0的，有個，第2小類：含0的，有個，從而第二類共有48個；故在由數(shù)字0,1,2,3,4,5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，能被5整除的個數(shù)有60+48=108個，故選D．例14．用數(shù)字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)的個數(shù)為（）A．1260 B．1320 C．1200 D．1140【解析】當(dāng)沒有偶數(shù)時，這樣的四位數(shù)的個數(shù)為當(dāng)含有一個偶數(shù)時這個偶數(shù)為0時，這樣的四位數(shù)的個數(shù)為當(dāng)這個偶數(shù)為其中一個時，這樣的四位數(shù)的個數(shù)為即滿足題意的四位數(shù)的個數(shù)為故選：A例15．一個三位自然數(shù)abc的百位，十位，個位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)且時稱為“凹數(shù)”；若，且a，b，c互不相同，則“凹數(shù)”的個數(shù)為（）.A．20 B．36 C．24 D．30【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：（1）在五個數(shù)中任取3個數(shù)，來組成“凹數(shù)”，有種取法，（2）將取出的3個數(shù)中最小的數(shù)放在十位，其余2個數(shù)放在百位，個位，有種情況，則“凹數(shù)”的個數(shù)為個.故選：例16．從1，3，5，7，9中任取2個不同的數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個不同的數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則所組成的四位數(shù)是奇數(shù)的概率為___________.(用最簡分?jǐn)?shù)作答)【解析】若選出的個數(shù)中有，則組成的四位無重復(fù)的數(shù)字共有個，其中奇數(shù)有個；若選出的個數(shù)中無，則組成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個，其中奇數(shù)有個，所以，組成的四位數(shù)為奇數(shù)的概率為.故答案為：.例17．對于數(shù)列，若，則稱數(shù)列為“廣義遞增數(shù)列”，若，則稱數(shù)列為“廣義遞減數(shù)列”，否則稱數(shù)列為“擺動數(shù)列”.已知數(shù)列共4項，且，則數(shù)列是擺動數(shù)列的概率為______.【解析】根據(jù)題意可知，，則四位數(shù)字組成的數(shù)列有以下四類：（1）由單個數(shù)字組成：共有4個數(shù)列；（2）由2個數(shù)字組成：則共有種數(shù)字搭配，每種數(shù)字搭配又分為兩種情況：由1個數(shù)字和3個相同數(shù)字組成4個數(shù)的數(shù)列（如1222,2111等），則有個數(shù)列；分別由2個相同數(shù)字組成的4個數(shù)的數(shù)列（如1122等）共有6個數(shù)列，因而此種情況共有種；（3）由3個數(shù)字組成：共有種數(shù)字搭配（如1123等），相同數(shù)字有3種可能，則共有個數(shù)列；（4）由4個數(shù)字組成：共有個數(shù)列.因而組成數(shù)列的個數(shù)為個數(shù)列.其中，符合“廣義遞增數(shù)列”或“廣義遞減數(shù)列”的個數(shù)分別為：（1）由單個數(shù)字組成：4個數(shù)列均符合“廣義遞增數(shù)列”或“廣義遞減數(shù)列”，因而有4個數(shù)列；（2）由2個數(shù)字組成：滿足“廣義遞增數(shù)列”或“廣義遞減數(shù)列”的個數(shù)為個；（3）由3個數(shù)字組成：個；（4）由4個數(shù)字組成：則有2個數(shù)列符合“廣義遞增數(shù)列”或“廣義遞減數(shù)列”，綜上可知，符合“廣義遞增數(shù)列”或“廣義遞減數(shù)列”的個數(shù)為個.所以“擺動數(shù)列”的個數(shù)為個，因而數(shù)列是擺動數(shù)列的概率為，故答案為：.例18．將6個數(shù)2、0、1、9、20、19按任意次序排成一行，拼成一個8位數(shù)(首位不為0)，則產(chǎn)生的不同的8位數(shù)的個數(shù)為______.【解析】2、0、1、9、20、19的首位不為0的排列的全體記為A.易知|A|=5×5！=600(這里及以下，表示有限集X的元素個數(shù)).將A中2的后一項是0，且1的后一項是9的排列的全體記為B；A中2的后一項是0，但1的后一項不是9的排列的全體記為C；A中1的后一項是9，但2的后一項不是0的排列的全體記為D.易知|B|=4！，|B|+|C|=5！，|B|+|D|=4×4！，即，，.由B中排列產(chǎn)生的每個8位數(shù)，恰對應(yīng)B中的2×2=4個排列(這樣的排列中，20可與“2，0”互換，19可與“1，9”互換)類似地，由C或D中排列產(chǎn)生的每個8位數(shù)，恰對應(yīng)C或D中的2個排列因此滿足條件的8位數(shù)的個數(shù)為.例19．由數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成_________個是3的倍數(shù)，但不是5的倍數(shù)的四位數(shù).【解析】一個數(shù)是3的倍數(shù)需滿足各位數(shù)之和是3的倍數(shù)，一個數(shù)是5的倍數(shù)需滿足個位是0或者5，從數(shù)字0，1，2，3，4，5中選四個數(shù)字出來，其中滿足四個數(shù)字是3的倍數(shù)的有：0123，0135，0234，0345，1245當(dāng)選擇的數(shù)字是0123時，能夠組成個數(shù)，其中個位數(shù)是0的有個，所以滿足題意的有個當(dāng)選擇的數(shù)字是0135時，能夠組成個數(shù)，其中個位數(shù)是0或5的有個，所以滿足題意的有個當(dāng)選擇的數(shù)字是0234時，能夠組成個數(shù)，其中個位數(shù)是0的有個，所以滿足題意的有個當(dāng)選擇的數(shù)字是0345時，能夠組成個數(shù)，其中個位數(shù)是0或5的有個，所以滿足題意的有個當(dāng)選擇的數(shù)字是1245時，能夠組成個數(shù)，其中個位數(shù)是5的有個，所以滿足題意的有個綜上：共有個故答案為：58例20．從0，2，4，6中任取2個數(shù)字，從1，3，5中任取2個數(shù)字，一共可以組成_____個沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù).【解析】當(dāng)用0時，0只能在個位，十位，百位三個位置之一.當(dāng)個位為0時，從2,4,6中再取1個數(shù)字(3種方法），從1,3,5中任取2個數(shù)字（即排除1個，有3種不同的方法），將這取得的3個數(shù)字在十百千位任意排列，共有3!=6中不同的排列方式，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有3×3×6=54種方法；當(dāng)十位或百位為0時（2種不同方法），從2,4,6中再取1個數(shù)字放置在個位(3種方法），然后從1,3,5中任取2個數(shù)字（即排除1個，有3種不同的方法），在其余兩位上任意排列，共有2!=2中不同的排列方式，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有2×3×3×2=36種方法；當(dāng)沒有用0時，從2，4，6中任取1個數(shù)字放置在個位(有3中不同的方法）；在從其余的2個非零偶數(shù)字中任取一個數(shù)字(2種不同方法），從1，3，5中任取2個數(shù)字（有3種不同方法)，將這3個數(shù)字在除個位之外的十百千3個位置上任意排列(有3!=6種不同的方法），由分步乘法計數(shù)原理方法數(shù)為3×2×3×6=108種．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，一共有沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)54+36+108=198個，故答案為：198.例21．用1，2，3，4，5組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，三個奇數(shù)中僅有兩個相鄰的五位數(shù)有________.【解析】用1，2，3，4，5組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，共有個；三個奇數(shù)中僅有兩個相鄰；其對立面是三個奇數(shù)都相鄰或者都不相鄰；當(dāng)三個奇數(shù)都相鄰時，把這三個奇數(shù)看成一個整體與2和4全排列共有個；三個奇數(shù)都不相鄰時，把這三個奇數(shù)分別插入2和4形成的三個空內(nèi)共有個；故符合條件的有；故答案為：．例22．由0，1，2，…，9十個數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共______個【解析】因為百位不能為，所以百位共有種情況，再在剩下的個數(shù)中，任選個安排在十位與個位，有種情況，根據(jù)分步計數(shù)原理可得，符合要求的三位數(shù)有個.