新高考數(shù)學概率統(tǒng)計分章節(jié)特訓專題19概率最值問題(原卷版+解析)

專題19概率最值問題例1．某芯片代工廠生產(chǎn)某型號芯片每盒12片，每批生產(chǎn)若干盒，每片成本1元，每盒芯片需檢驗合格后方可出廠．檢驗方案是從每盒芯片隨機取3片檢驗，若發(fā)現(xiàn)次品，就要把全盒12片產(chǎn)品全部檢驗，然后用合格品替換掉不合格品，方可出廠；若無次品，則認定該盒芯片合格，不再檢驗，可出廠．(1)若某盒芯片中有9片合格，3片不合格，求該盒芯片經(jīng)一次檢驗即可出廠的概率？(2)若每片芯片售價10元，每片芯片檢驗費用1元，次品到達組裝工廠被發(fā)現(xiàn)后，每片須由代工廠退賠10元，并補償1片經(jīng)檢驗合格的芯片給組裝廠.設每片芯片不合格的概率為，且相互獨立．①若某箱12片芯片中恰有3片次品的概率為，求的最大值點；②若以①中的作為的值，由于質(zhì)檢員操作疏忽，有一箱芯片未經(jīng)檢驗就被貼上合格標簽出廠到組裝工廠，試確定這箱芯片最終利潤（單位：元）的期望．例2．綠水青山就是金山銀山．近年來，祖國各地依托本地自然資源，打造旅游產(chǎn)業(yè)，旅游業(yè)正蓬勃發(fā)展．景區(qū)與游客都應樹立尊重自然、順應自然、保護自然的生態(tài)文明理念，合力使旅游市場走上規(guī)范有序且可持續(xù)的發(fā)展軌道．某景區(qū)有一個自愿消費的項目：在參觀某特色景點入口處會為每位游客拍一張與景點的合影，參觀后，在景點出口處會將剛拍下的照片打印出來，游客可自由選擇是否帶走照片，若帶走照片則需支付20元，沒有被帶走的照片會收集起來統(tǒng)一銷毀．該項目運營一段時間后，統(tǒng)計出平均只有三成的游客會選擇帶走照片．為改善運營狀況，該項目組就照片收費與游客消費意愿關系作了市場調(diào)研，發(fā)現(xiàn)收費與消費意愿有較強的線性相關性，并統(tǒng)計出在原有的基礎上，價格每下調(diào)1元，游客選擇帶走照片的可能性平均增加0.05，假設平均每天約有5000人參觀該特色景點，每張照片的綜合成本為5元，假設每個游客是否購買照片相互獨立．（1）若調(diào)整為支付10元就可帶走照片，該項目每天的平均利潤比調(diào)整前多還是少？（2）要使每天的平均利潤達到最大值，應如何定價？例3．一年之計在于春，一日之計在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開端．某種植戶對一塊地的個坑進行播種，每個坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨立，對每一個坑而言，如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進行補播種，否則要補播種．（1）當取何值時，有3個坑要補播種的概率最大？最大概率為多少？（2）當時，用表示要補播種的坑的個數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望．例4．為實現(xiàn)有效利用扶貧資金，增加貧困村民的收入，扶貧工作組結合某貧困村水質(zhì)優(yōu)良的特點，決定利用扶貧資金從外地購買甲、乙、丙三種魚苗在魚塘中進行養(yǎng)殖試驗，試驗后選擇其中一種進行大面積養(yǎng)殖，已知魚苗甲的自然成活率為0.8，魚苗乙、丙的自然成活率均為0.9，且甲、乙、丙三種魚苗是否成活相互獨立．（1）試驗時從甲、乙、丙三種魚苗中各取一尾，記自然成活的尾數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；（2）試驗后發(fā)現(xiàn)乙種魚苗較好，扶貧工作組決定購買尾乙種魚苗進行大面積養(yǎng)殖，為提高魚苗的成活率，工作組采取增氧措施，該措施實施對能夠自然成活的魚苗不產(chǎn)生影響，使不能自然成活的魚苗的成活率提高了．若每尾乙種魚苗最終成活后可獲利10元，不成活則虧損2元，且扶貧工作組的扶貧目標是獲利不低于37.6萬元，問需至少購買多少尾乙種魚苗？例5．為了引導居民合理用水，某市決定全面實施階梯水價．階梯水價原則上以住宅(一套住宅為一戶)的月用水量為基準定價，具體劃分標準如表：階梯級別第一階梯水量第二階梯水量第三階梯水量月用水量范圍(單位：立方米)從本市隨機抽取了10戶家庭，統(tǒng)計了同一月份的月用水量，得到如圖莖葉圖：（Ⅰ）現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯水量的戶數(shù)X的分布列與數(shù)學期望；（Ⅱ）用抽到的10戶家庭作為樣本估計全市的居民用水情況，從全市依次隨機抽取10戶，若抽到戶月用水量為一階的可能性最大，求的值．例6．已知A，B兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量和.根據(jù)市場分析，和的分布列如下.5%10%0.80.22%8%12%0.20.50.3（1）在A，B兩個項目上各投資100萬元，和分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求和；（2）將萬元投資A項目，萬元投資B項目，表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差之和.求的最小值，并指出為何值時，取到最小值.例7．某地有種特產(chǎn)水果很受當?shù)乩习傩諝g迎，但該種水果只能在9月份銷售，且該種水果只能當天食用口感最好，隔天食用口感較差。某超市每年9月份都銷售該特產(chǎn)水果，每天計劃進貨量相同，進貨成本每公斤8元，銷售價每公斤12元；當天未賣出的水果則轉賣給水果罐頭廠，但每公斤只能賣到5元。根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當?shù)貧鉁胤秶幸欢P系。如果氣溫不低于30度，需求量為5000公斤；如果氣溫位于，需求量為3500公斤；如果氣溫低于25度，需求量為2000公斤；為了制定今年9月份訂購計劃，統(tǒng)計了前三年9月份的氣溫范圍數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表氣溫范圍天數(shù)414362115以氣溫范圍位于各區(qū)間的頻率代替氣溫范圍位于該區(qū)間的概率．（1）求今年9月份這種水果一天需求量（單位：公斤）的分布列和數(shù)學期望；（2）設9月份一天銷售特產(chǎn)水果的利潤為（單位：元），當9月份這種水果一天的進貨量為（單位：公斤）為多少時，的數(shù)學期望達到最大值，最大值為多少？例8．長沙某超市計劃按月訂購一種冰激凌，每天進貨量相同，進貨成本為每桶5元，售價為每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的價格當天全部處理完畢.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天的需求量與當天最高氣溫（單位：）有關，如果最高氣溫不低于，需求量為600桶；如果最高氣溫（單位：）位于區(qū)間，需求量為400桶；如果最高氣溫低于，需求量為200桶.為了確定今年九月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年九月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫（）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求九月份這種冰激凌一天的需求量（單位：桶）的分布列；（2）設九月份一天銷售這種冰激凌的利潤為（單位：元），當九月份這種冰激凌一天的進貨量（單位：桶）為多少時，的均值取得最大值？例9．某企業(yè)準備投產(chǎn)一批特殊型號的產(chǎn)品，已知該種產(chǎn)品的成本與產(chǎn)量的函數(shù)關系式為該種產(chǎn)品的市場前景無法確定，有三種可能出現(xiàn)的情況，各種情形發(fā)生的概率及產(chǎn)品價格與產(chǎn)量的函數(shù)關系式如下表所示：市場情形概率價格與產(chǎn)量的函數(shù)關系式好0.4中0.4差0.2設分別表示市場情形好、中差時的利潤，隨機變量，表示當產(chǎn)量為，而市場前景無法確定的利潤．（I）分別求利潤與產(chǎn)量的函數(shù)關系式；（II）當產(chǎn)量確定時，求期望；（III）試問產(chǎn)量取何值時，取得最大值．例10．將連續(xù)正整數(shù)從小到大排列構成一個數(shù)，為這個數(shù)的位數(shù)（如時，此數(shù)為，共有15個數(shù)字，），現(xiàn)從這個數(shù)中隨機取一個數(shù)字，為恰好取到0的概率.（1）求；（2）當時，求的表達式；（3）令為這個數(shù)中數(shù)字0的個數(shù)，為這個數(shù)中數(shù)字9的個數(shù)，，，求當時的最大值.專題19概率最值問題例1．某芯片代工廠生產(chǎn)某型號芯片每盒12片，每批生產(chǎn)若干盒，每片成本1元，每盒芯片需檢驗合格后方可出廠．檢驗方案是從每盒芯片隨機取3片檢驗，若發(fā)現(xiàn)次品，就要把全盒12片產(chǎn)品全部檢驗，然后用合格品替換掉不合格品，方可出廠；若無次品，則認定該盒芯片合格，不再檢驗，可出廠．(1)若某盒芯片中有9片合格，3片不合格，求該盒芯片經(jīng)一次檢驗即可出廠的概率？(2)若每片芯片售價10元，每片芯片檢驗費用1元，次品到達組裝工廠被發(fā)現(xiàn)后，每片須由代工廠退賠10元，并補償1片經(jīng)檢驗合格的芯片給組裝廠.設每片芯片不合格的概率為，且相互獨立．①若某箱12片芯片中恰有3片次品的概率為，求的最大值點；②若以①中的作為的值，由于質(zhì)檢員操作疏忽，有一箱芯片未經(jīng)檢驗就被貼上合格標簽出廠到組裝工廠，試確定這箱芯片最終利潤（單位：元）的期望．【解析】（1）設“該盒芯片經(jīng)一次檢驗即可出廠”的事件為A則答：該盒芯片可出廠的概率為．(2)①某箱12片芯片中恰有3片次品的概率當且僅當，即時取“”號故的最大值點．②由題設知，設這箱芯片不合格品個數(shù)為則故則這箱芯片最終利潤的期望是72元．例2．綠水青山就是金山銀山．近年來，祖國各地依托本地自然資源，打造旅游產(chǎn)業(yè)，旅游業(yè)正蓬勃發(fā)展．景區(qū)與游客都應樹立尊重自然、順應自然、保護自然的生態(tài)文明理念，合力使旅游市場走上規(guī)范有序且可持續(xù)的發(fā)展軌道．某景區(qū)有一個自愿消費的項目：在參觀某特色景點入口處會為每位游客拍一張與景點的合影，參觀后，在景點出口處會將剛拍下的照片打印出來，游客可自由選擇是否帶走照片，若帶走照片則需支付20元，沒有被帶走的照片會收集起來統(tǒng)一銷毀．該項目運營一段時間后，統(tǒng)計出平均只有三成的游客會選擇帶走照片．為改善運營狀況，該項目組就照片收費與游客消費意愿關系作了市場調(diào)研，發(fā)現(xiàn)收費與消費意愿有較強的線性相關性，并統(tǒng)計出在原有的基礎上，價格每下調(diào)1元，游客選擇帶走照片的可能性平均增加0.05，假設平均每天約有5000人參觀該特色景點，每張照片的綜合成本為5元，假設每個游客是否購買照片相互獨立．（1）若調(diào)整為支付10元就可帶走照片，該項目每天的平均利潤比調(diào)整前多還是少？（2）要使每天的平均利潤達到最大值，應如何定價？【解析】解：（1）當收費為20元時，照片被帶走的可能性為0.3，不被帶走的概率為0.7，設每個游客的利潤為元，則是隨機變量，其分布列為：150.30.7（元，則5000個游客的平均利潤為5000元，當收費為10元時，照片被帶走的可能性為，不被帶走的概率為0.2，設每個游客的利潤為，則是隨機變量，其分布列為：50.80.2（元，則5000個游客的平均利潤為（元，該項目每天的平均利潤比調(diào)整前多10000元．（2）設降價元，則，照片被帶走的可能性為，不被帶走的可能性為，設每個游客的利潤為元，則是隨機變量，其分布列為：，當時，有最大值3.45元，當定價為13元時，日平均利潤取最大值為元．例3．一年之計在于春，一日之計在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開端．某種植戶對一塊地的個坑進行播種，每個坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨立，對每一個坑而言，如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進行補播種，否則要補播種．（1）當取何值時，有3個坑要補播種的概率最大？最大概率為多少？（2）當時，用表示要補播種的坑的個數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望．【解析】解：（1）對于一個坑而言，要補種的概率為．有3個坑需要補種的概率為：，要使最大，只須，解得，，故，6，7．，所以當為5或6時，有3個坑要補播種的概率最大．最大概率為．（2）時，要補播種的坑的個數(shù)的所有的取值分別為0，1，2，3，4，，，，，，．所以隨機變量的分布列為：01234所以的數(shù)學期望．例4．為實現(xiàn)有效利用扶貧資金，增加貧困村民的收入，扶貧工作組結合某貧困村水質(zhì)優(yōu)良的特點，決定利用扶貧資金從外地購買甲、乙、丙三種魚苗在魚塘中進行養(yǎng)殖試驗，試驗后選擇其中一種進行大面積養(yǎng)殖，已知魚苗甲的自然成活率為0.8，魚苗乙、丙的自然成活率均為0.9，且甲、乙、丙三種魚苗是否成活相互獨立．（1）試驗時從甲、乙、丙三種魚苗中各取一尾，記自然成活的尾數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；（2）試驗后發(fā)現(xiàn)乙種魚苗較好，扶貧工作組決定購買尾乙種魚苗進行大面積養(yǎng)殖，為提高魚苗的成活率，工作組采取增氧措施，該措施實施對能夠自然成活的魚苗不產(chǎn)生影響，使不能自然成活的魚苗的成活率提高了．若每尾乙種魚苗最終成活后可獲利10元，不成活則虧損2元，且扶貧工作組的扶貧目標是獲利不低于37.6萬元，問需至少購買多少尾乙種魚苗？【解析】解：（1）隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3，則，，，．故的分布列為：01230.0020.0440.3060.648．（2）根據(jù)已知乙種魚苗自然成活的概率為0.9，依題意知一尾乙種魚苗最終成活的概率為，一尾乙種魚苗的平均收益為元．設購買尾乙種魚苗，為購買尾乙種魚苗最終可獲得的利潤，則，解得．所以需至少購買40000尾乙種魚苗，才能確保獲利不低于37.6萬元．例5．為了引導居民合理用水，某市決定全面實施階梯水價．階梯水價原則上以住宅(一套住宅為一戶)的月用水量為基準定價，具體劃分標準如表：階梯級別第一階梯水量第二階梯水量第三階梯水量月用水量范圍(單位：立方米)從本市隨機抽取了10戶家庭，統(tǒng)計了同一月份的月用水量，得到如圖莖葉圖：（Ⅰ）現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯水量的戶數(shù)X的分布列與數(shù)學期望；（Ⅱ）用抽到的10戶家庭作為樣本估計全市的居民用水情況，從全市依次隨機抽取10戶，若抽到戶月用水量為一階的可能性最大，求的值．【解析】（Ⅰ）由莖葉圖可知抽取的10戶中用水量為一階的有3戶，二階的有5戶，三階的有2戶．第二階段水量的戶數(shù)的可能取值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列為0123的數(shù)學期望.（Ⅱ）設為從全市抽取的10戶中用水量為一階的家庭戶數(shù)，依題意得，，由，解得，又，所以當時概率最大．即從全市依次隨機抽取10戶，抽到3戶月用水量為一階的可能性最大.例6．已知A，B兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量和.根據(jù)市場分析，和的分布列如下.5%10%0.80.22%8%12%0.20.50.3（1）在A，B兩個項目上各投資100萬元，和分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求和；（2）將萬元投資A項目，萬元投資B項目，表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差之和.求的最小值，并指出為何值時，取到最小值.【解析】（1）（2）,當時，取最小值3.例7．某地有種特產(chǎn)水果很受當?shù)乩习傩諝g迎，但該種水果只能在9月份銷售，且該種水果只能當天食用口感最好，隔天食用口感較差。某超市每年9月份都銷售該特產(chǎn)水果，每天計劃進貨量相同，進貨成本每公斤8元，銷售價每公斤12元；當天未賣出的水果則轉賣給水果罐頭廠，但每公斤只能賣到5元。根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當?shù)貧鉁胤秶幸欢P系。如果氣溫不低于30度，需求量為5000公斤；如果氣溫位于，需求量為3500公斤；如果氣溫低于25度，需求量為2000公斤；為了制定今年9月份訂購計劃，統(tǒng)計了前三年9月份的氣溫范圍數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表氣溫范圍天數(shù)414362115以氣溫范圍位于各區(qū)間的頻率代替氣溫范圍位于該區(qū)間的概率．（1）求今年9月份這種水果一天需求量（單位：公斤）的分布列和數(shù)學期望；（2）設9月份一天銷售特產(chǎn)水果的利潤為（單位：元），當9月份這種水果一天的進貨量為（單位：公斤）為多少時，的數(shù)學期望達到最大值，最大值為多少？【解析】解析：（1）今年9月份這種水果一天的需求量的可能取值為2000、3500、5000公斤，，，于是的分布列為：2000350050000.20.40.4的數(shù)學期望為：．（2）由題意知，這種水果一天的需求量至多為5000公斤，至少為2000公斤，因此只需要考慮，當時，若氣溫不低于30度，則；若氣溫位于[25,30)，則；若氣溫低于25度，則；此時當時，若氣溫不低于25度，則；若氣溫低于25度，則；此時；所以時，的數(shù)學期望達到最大值，最大值為11900．例8．長沙某超市計劃按月訂購一種冰激凌，每天進貨量相同，進貨成本為每桶5元，售價為每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的價格當天全部處理完畢.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天的需求量與當天最高氣溫（單位：）有關，如果最高氣溫不低于，需求量為600桶；如果最高氣溫（單位：）位于區(qū)間，需求量為400桶；如果最高氣溫低于，需求量為200桶.為了確定今年九月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年九月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫（）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求九月份這種冰激凌一天的需求量（單位：桶）的分布列；（2）設九月份一天銷售這種冰激凌的利潤為（單位：元），當九月份這種冰激凌一天的進貨量（單位：桶）為多少時，的均值取得最大值？【解析】（1）由已知得，的可能取值為200，400，600，記六月份最高氣溫低于