專題95中心對稱與中心對稱圖形（知識梳理與考點分類講解）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（蘇科版）

專題9.5中心對稱與中心對稱圖形（知識梳理與考點分類講解）【知識點一】中心對稱圖形把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形在旋轉(zhuǎn)后能重合的對應(yīng)點叫做關(guān)于對稱中心的對稱點.特別提醒：1.中心對稱是指兩個圖形之間的位置關(guān)系.2.如果兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且都被該點平分，那么這兩個圖形一定關(guān)于這一點成中心對稱.【知識點二】中心對稱的基本性質(zhì)1.中心對稱的兩個圖形是全等圖形.2.中心對稱的兩個圖形，對稱點所連接線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心平分.3.中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且相等.【知識點三】作已知圖形成中心對稱圖形的一般步驟1.連接原圖形上的所有關(guān)鍵點與對稱中心；2.再將以上連接延長找對稱點，使得關(guān)鍵點與其對稱點到對稱中心的距離相等；3.江對稱點按原圖形的形狀順次連接起來，即可得出余原圖形成中心對稱的圖形.【知識點四】中心對稱圖形1.把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形稱為中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心.2.中心對稱圖形的性質(zhì)：（1）中心對稱圖形上的對稱點的連線都經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分，經(jīng)過對稱中心的直線與中心對稱圖形的兩個對應(yīng)角電視對稱點.（2）過對稱中心的直線把中心對稱圖形分成的兩部分的面積和周長都分別相等.特別提醒：中心對稱圖形的判定必須同時滿足三個條件.①圖形繞著某點旋轉(zhuǎn)；②旋轉(zhuǎn)180°；③旋轉(zhuǎn)后與自身重合.中心對稱圖形與旋轉(zhuǎn)對稱圖形.中心對稱圖形是一種特殊的旋轉(zhuǎn)對稱圖形.旋轉(zhuǎn)對稱圖形旋轉(zhuǎn)角為180°中心對稱圖形.【知識點五】關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩個點關(guān)于原點對稱，那么它們的坐標(biāo)符號相反，即點p（x，y）關(guān)于原點的對稱點p’的坐標(biāo)為（x，y）.特別提醒：若點P1（x1，y1）與點P2（x2，y2）關(guān)于點P（x，y）對稱，則點P是線段P1P2的中點，即x=x1+x2【知識點六】中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別聯(lián)系中心對稱中心對稱是指兩個圖形之間的位置關(guān)系把成中心對稱的兩個圖形看成一個“整體”，則這個“整體”式中心對稱圖形；把中心對稱圖形的兩個部分看成“兩個圖形”，則它們成中心對稱中心對稱圖形中心對稱圖形是指具有某種特性的一個圖形【考點目錄】【定義理解與圖形識別】【考點1】中心對稱圖形與軸對稱圖形；【中心對稱圖形的性質(zhì)】【考點2】利用中心對稱圖形的性質(zhì)求面積、周長、角度【考點3】利用中心對稱圖形的性質(zhì)證明【考點4】利用中心對稱圖形的性質(zhì)求點的坐標(biāo)【利用中心對稱性質(zhì)作圖】【考點5】利用中心對稱圖形的性質(zhì)作圖求值【中心對稱的應(yīng)用】【考點6】中心對稱圖形和軸對稱圖形的應(yīng)用【定義理解與圖形識別】【考點1】中心對稱圖形與軸對稱圖形；【例1】（2022下·八年級課時練習(xí)）觀察如圖圖形，并回答下面的問題：（1）哪些是軸對稱圖形？（2）哪些是中心對稱圖形？（3）哪些既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形？【答案】（1）②③④⑤⑥；（2）①②⑤；（3）②⑤【分析】（1）根據(jù)軸對稱圖形的定義即可求解；（2）根據(jù)中心對稱圖形的定義即可求解；（3）綜合（1）（2）結(jié)論即可求解．（1）解：根據(jù)軸對稱圖形的定義，②③④⑤⑥是軸對稱圖形；（2）解：根據(jù)中心對稱圖形的定義，①②⑤是中心對稱圖形；（3）解：由（1）（2）可知，②⑤既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．【點撥】本題考查軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，解題的關(guān)鍵是掌握定義．一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形是軸對稱圖形；在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形．【變式1】（2023上·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期末）志愿服務(wù)，傳遞愛心，傳遞文明，下列志愿服務(wù)標(biāo)志為中心對稱圖形的是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】本題考查中心對稱圖形的概念．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，由此即可判斷．解：選項A、C、D都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形．選項B能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．故選：B．【變式2】（上海市寶山區(qū)20232024學(xué)年七年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題）在“線段、圓、等邊三角形”中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的為．【答案】線段、圓【分析】本題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可．解：線段和圓既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故答案為：線段、圓．【中心對稱圖形的性質(zhì)】【考點2】利用中心對稱圖形的性質(zhì)求面積、周長、角度【例2】（2023上·九年級課時練習(xí)）如圖是一個中心對稱圖形，為對稱中心，若，，，求的長．

【答案】【分析】根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，，在中，根據(jù)勾股定理列方程，求出、的長，根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)可得，得到結(jié)果．解：∵，，∴，設(shè)，，在中，，∴，解得：（負(fù)值舍去），∴，∵原圖形為中心對稱圖形，為對稱中心，∴．【點撥】本題考查了中心對稱圖形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，根據(jù)角所對的直角邊是斜邊的一半和勾股定理列方程求解是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2018·黑龍江鶴崗·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知長方形的長為10cm，寬為4cm，則圖中陰影部分的面積為（）A．20cm2 B．15cm2 C．10cm2 D．25cm2【答案】A解：由圖形可知，長方形的面積=10×4=40cm2，再根據(jù)中心對稱的性質(zhì)得，圖中陰影部分的面積即是長方形面積的一半，則圖中陰影部分的面積=×40=20cm2，故選A．【變式2】（2023上·河北保定·九年級統(tǒng)考期中）如圖，D是邊的中點，連接并延長到點E，使，連接．（1）和成中心對稱，（2）已知的面積為4，則的面積是．【答案】8【分析】本題考查了中心對稱圖形及三角形中線的性質(zhì)，（1）根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)即可求解；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解：（1）根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)可得；和成中心對稱，故答案為：；（2）由（1）得：和成中心對稱，線段是的中線，，D是邊的中點，，故答案為：8．【考點3】利用中心對稱圖形的性質(zhì)證明【例3】（2023上·廣東廣州·九年級廣東廣雅中學(xué)?？计谥校┤鐖D，與關(guān)于點中心對稱，若點，分別在、上，且，求證：．

【答案】見詳解【分析】因為與關(guān)于點中心對稱，所以，，因為，所以，即，結(jié)合，得證，即可作答．解：證明：因為與關(guān)于點中心對稱，所以所以，，因為，則所以，因為所以即，因為，所以，則【點撥】本題考查了成中心對稱的圖形特征以及全等三角形的判定與性質(zhì)，成中心對稱的兩個圖形必定能重合，難度較?。咀兪?】（2018·河北邯鄲·九年級階段練習(xí)）如圖，與關(guān)于點成中心對稱，則下列結(jié)論不成立的是（

）

A．點與點是對稱點 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)中心對稱的性質(zhì)判斷即可．解：與關(guān)于點成中心對稱，點與是一組對稱點，，，，，都不合題意；∴，∴∴，C不符合題意；與不是對應(yīng)角，不成立，D符合題意；故選：D．【點撥】本題考查中心對稱的性質(zhì)，掌握中心對稱的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵．【變式2】（2021上·江西贛州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC和△DEF關(guān)于點O成中心對稱,要得到△DEF,需要將△ABC繞點O旋轉(zhuǎn)角是【答案】180°/180度【分析】如果一個圖形繞一點O旋轉(zhuǎn)180°后能夠與另一個圖形重合，就說這兩個圖形關(guān)于點O中心對稱，點O叫做對稱中心．根據(jù)兩個圖形成中心對稱的定義即可得到結(jié)果．解：根據(jù)兩個圖形成中心對稱的含義知，旋轉(zhuǎn)的角度是180°故答案為：180°【點撥】本題考查了兩個圖形成中心對稱的含義，掌握此含義是關(guān)鍵．【考點4】利用中心對稱圖形的性質(zhì)求點的坐標(biāo)【例4】（2023上·重慶·七年級重慶實驗外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，是經(jīng)過某種變換得到的圖形，點A與點，點與點，點與點分別是對應(yīng)點，觀察對應(yīng)點坐標(biāo)之間的關(guān)系，解答下列問題：（1）分別寫出點A與點，點與點的坐標(biāo)．（2）若點與點也是通過上述變換得到的對應(yīng)點，求的值．【答案】（1），；，；（2）【分析】（1）根據(jù)各個點在平面直角坐標(biāo)系中的位置寫出坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)（1）得出的結(jié)論可知點P和點Q的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，列出方程組求解即可．本題主要考查了在平面直角坐標(biāo)系中點的變化規(guī)律、二元一次方程組的應(yīng)用等知識，熟練的掌握平面直角坐標(biāo)中點的坐標(biāo)變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．解：（1），；，．（2）由（1）可知對應(yīng)點的橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．根據(jù)題意得：，解得【變式1】（2023上·山東濱州·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點和點，則A、兩點（

）A．關(guān)于軸對稱 B．關(guān)于軸對稱C．關(guān)于原點對稱 D．關(guān)于直線對稱【答案】C【分析】根據(jù)這兩點的坐標(biāo)特點，即可判定．解：點和點的橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，A、兩點關(guān)于原點對稱，故選：C．【點撥】本題考查了關(guān)于坐標(biāo)軸及原點對稱的點的坐標(biāo)特點，熟練掌握和運用關(guān)于坐標(biāo)軸及原點對稱的點的坐標(biāo)特點是解決本題的關(guān)鍵．【變式2】（2023上·吉林·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點和關(guān)于原點對稱，則．【答案】5【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的特點：橫縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)，確定的值，進而求出的值即可．掌握關(guān)于原點對稱的點的特點，是解題的關(guān)鍵．解：∵點和關(guān)于原點對稱，∴，∴；故答案為：5．【利用中心對稱性質(zhì)作圖】【考點5】利用中心對稱圖形的性質(zhì)作圖求值【例5】（2023上·廣西防城港·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知點、、是的三個頂點．

（1）畫出關(guān)于y軸對稱的；（2）畫出關(guān)于原點O中心對稱的，并寫出點，，的坐標(biāo)；（3）在（1）、（2）的條件下，請在y軸上求作點P，使得的值最?。ú粚懽鞣ǎ埍Ａ糇鲌D痕跡）【答案】（1）見分析；（2）見分析，，，；（3）見分析.【分析】（1）先作出A，B，C關(guān)于y軸的對稱點，然后再順次連接即可；（2）先作出A，B，C關(guān)于y軸的對稱點，然后再順次連接即可；（3）連接與y軸的交點即為點P．（1）解：如圖：即為所求．（2）解：如圖：即為所求．由圖可知：，，.（3）解：如圖：點P為所求．【點撥】本題考查作圖主要考查了旋轉(zhuǎn)變換、軸對稱變換、兩點間線段最短等知識點，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2021上·河北邢臺·八年級邢臺三中?？计谀┤鐖D，根據(jù)的已知條件，按如下步驟作圖：（1）以圓心，長為半徑畫?。唬?）以為圓心，長為半徑畫弧，兩弧相交于點；（3）連接，與交于點，連接、．以下結(jié)論：①BP垂直平分AC；②AC平分；③四邊形是軸對稱圖形也是中心對稱圖形；④，請你分析一下，其中正確的是（

）A．①④ B．②③ C．①③ D．②④【答案】D【分析】由題意得：AB=AP，CB=CP，從而可判斷①；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可判斷②；根據(jù)軸對稱和中心對稱圖形的定義，可判斷③；根據(jù)SSS，可判斷④．解：由題意得：AB=AP，CB=CP，∴點A、C在BP的垂直平分線上，即：AC垂直平分BP，故①錯誤；∵AB=AP，AC⊥BP，∴AC平分，故②正確；∵AC垂直平分BP，∴點B、P關(guān)于直線AC對稱，即：四邊形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故③錯誤；∵AB=AP，CB=CP，AC=AC，∴，故④正確；故選D．【點撥】本題主要考查垂直平分線的判定定理。等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，全等三角形的判定定理，熟練掌握上述判定定理和性質(zhì)定理，是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2021上·遼寧大連·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC頂點的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)．若將△ABC以某點為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C′，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是．

【答案】（1，1）【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)“一個圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得的圖形中，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，任意一組對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都等于旋轉(zhuǎn)角；對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等”可求解．解：如圖點O′即為所求．旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是（1，1）．故答案為（1，1）．【點撥】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)鍵是知道旋轉(zhuǎn)中心是對應(yīng)點的連線段的垂直平分線的交點即可；【中心對稱的應(yīng)用】【考點6】中心對稱圖形和軸對稱圖形的應(yīng)用【例6】（2022上·全國·九年級專題練習(xí)）閱讀理解：我們知道，任意兩點關(guān)于它們所連線段的中點成中心對稱，在平面直角坐標(biāo)系中，任意兩點，、，的對稱中心的坐標(biāo)為，．觀察應(yīng)用：（1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，若點、的對稱中心是點，則點的坐標(biāo)為；（2）另取兩點、．有一電子青蛙從點處開始依次關(guān)于點、、作循環(huán)對稱跳動，即第一次跳到點關(guān)于點的對稱點處，接著跳到點關(guān)于點的對稱點處，第三次再跳到點關(guān)于點的對稱點處，第四次再跳到點關(guān)于點的對稱點處，則點、的坐標(biāo)分別為、．拓展延伸：求出點的坐標(biāo)，并直接寫出在軸上與點，點構(gòu)成等腰三角形的點的坐標(biāo)．【答案】（1）點的坐標(biāo)為；（2）、的坐標(biāo)分別為，；（3）；或或或．【分析】（1）直接利用題目所給公式即可求出點A的坐標(biāo)；（2）根據(jù)題目所給公式求出，，的坐標(biāo)，依此類推即可求出的坐標(biāo)；（3）根據(jù)所求出的坐標(biāo)可得的坐標(biāo)和的坐標(biāo)相同，的坐標(biāo)和的坐標(biāo)相同，即每6次為一個周期進行循環(huán)，利用這個規(guī)律即可求出點的坐標(biāo)；然后分情況討論，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出在軸上與點，點構(gòu)成等腰三角形的點的坐標(biāo)．（1）解：∵，，∴點的坐標(biāo)為；（2）解：∵，，∴的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，即，∵，∴的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，即，∵，∴的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，即，同理可得：，，，，即點、的坐標(biāo)分別為，，故答案為：，；（3）解：，，，，，，，；的坐標(biāo)和的坐標(biāo)相同，的坐標(biāo)和的坐標(biāo)相同，即每6次為一個周期進行循環(huán)，，的坐標(biāo)與的坐標(biāo)相同，即；∴，設(shè)軸上與點、點構(gòu)成等腰三角形的點為點D，當(dāng)時，點D坐標(biāo)為或；當(dāng)時，∵，∴，點D坐標(biāo)為；當(dāng)時，點D