2025年高考數(shù)學(xué)考試技巧篇（核心知識背記手冊）-專項訓(xùn)練【含答案】

2025年高考數(shù)學(xué)考試技巧篇（核心知識背記手冊）-專項訓(xùn)練高考數(shù)學(xué)考試技巧篇（36類核心考試技巧背記手冊）目錄TOC\o"1-2"\h\u考試技巧01權(quán)方和不等式的應(yīng)用及解題技巧 2考試技巧02普通型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧 3考試技巧03對數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧 3考試技巧04基本不等式鏈的應(yīng)用及解題技巧 4考試技巧05“奇函數(shù)+常函數(shù)”的最大值+最小值解題技巧 5考試技巧06“奇函數(shù)+常函數(shù)”的f(a)+f(-a)解題技巧 5考試技巧07已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象解題技巧 6考試技巧08已知函數(shù)圖象判斷函數(shù)解析式解題技巧 7考試技巧09兩類經(jīng)典超越不等式比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧 8考試技巧10泰勒不等式比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧 9考試技巧11不等式放縮合集比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧 11考試技巧12函數(shù)對稱性的應(yīng)用及解題技巧 13考試技巧13解不等式（含分段函數(shù)）的應(yīng)用及解題技巧 13考試技巧14整數(shù)解的應(yīng)用及解題技巧 14考試技巧15零點的應(yīng)用及解題技巧 15考試技巧16切線與公切線的應(yīng)用及解題技巧 15考試技巧17端點效應(yīng)（必要性探索）解題技巧 16考試技巧18函數(shù)凹凸性解題技巧 18考試技巧19洛必達法則解題技巧 20考試技巧20導(dǎo)數(shù)中的極值點偏移問題的解題技巧 22考試技巧21半角公式的應(yīng)用及解題技巧 24考試技巧22萬能公式的應(yīng)用及解題技巧 24考試技巧23正余弦平方差公式的應(yīng)用及解題技巧 25考試技巧24三角函數(shù)異名伸縮平移的解題技巧 25考試技巧25“爪子定理”的應(yīng)用及解題技巧 26考試技巧26系數(shù)和（等和線）的應(yīng)用及解題技巧 26考試技巧27極化恒等式的應(yīng)用及解題技巧 28考試技巧28奔馳定理與三角形四心的應(yīng)用及解題技巧 28考試技巧29角平分線定理的應(yīng)用及解題技巧 29考試技巧30張角定理的應(yīng)用及解題技巧 30考試技巧31點對稱問題解題技巧 31考試技巧32圓中的切線問題解題技巧 32考試技巧33圓錐曲線中焦點弦的應(yīng)用及解題技巧 32考試技巧34圓錐曲線中中點弦的應(yīng)用及解題技巧 33考試技巧35復(fù)數(shù)的模長及最值的應(yīng)用及解題技巧 34考試技巧36柯西不等式的應(yīng)用及解題技巧 35考試技巧01權(quán)方和不等式的應(yīng)用及解題技巧權(quán)方和不等式的初級應(yīng)用:若則當(dāng)且僅當(dāng)時取等.(注：熟練掌握權(quán)方和不等式的初級應(yīng)用，足以解決高考中的這類型最值問題的秒殺)例．已知，且，則的最小值為（

）A．1 B． C．9 D．因為，所以由權(quán)方和不等式可得當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．【答案】C例．已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為【分析】根據(jù)權(quán)方和不等式可得解.【詳解】因為正數(shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，故答案為：.例．已知，求的最小值為【分析】應(yīng)用權(quán)方和不等式即可求解.【詳解】當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故答案為：60考試技巧02普通型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧糖水不等式定理，若,則一定有通俗的理解:就是克的不飽和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,則糖水更甜;2.糖水不等式的倒數(shù)形式，設(shè),則有:例．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（

）A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【詳解】,又，用排除法,選A?？荚嚰记?3對數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧(1)設(shè),且,則有(2)設(shè),則有(3)上式的倒數(shù)形式：設(shè),則有例．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．對數(shù)型糖水不等式因為,所以.在上述推論中取,可得,且.所以,即,選A.考試技巧04基本不等式鏈的應(yīng)用及解題技巧基本不等式鏈:,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.例．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．由基本不等式鏈:,可得（R），對于AB由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以A錯誤，B正確；對于C【法一】由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以C正確【法二】由,得,又因為,所以,即.【法三】,又因為,所以.【答案】：BC．考試技巧05“奇函數(shù)+常函數(shù)”的最大值+最小值解題技巧在定義域內(nèi)，若，其中為奇函數(shù)，為常數(shù)，則最大值，最小值有即倍常數(shù)例．（2023上·江蘇·高三模擬）已知分別是函數(shù)++1的最大值、最小值，則倍常數(shù)=2例．已知函數(shù)，的最大值為M，最小值為m，則.【法一】倍常數(shù)=14【法二】例．函數(shù)，，記的最大值為，最小值為，則.【法一】倍常數(shù)=4【法二】考試技巧06“奇函數(shù)+常函數(shù)”的f(a)+f(-a)解題技巧在定義域內(nèi)，若，其中為奇函數(shù)，為常數(shù)，有即倍常數(shù)例．（全國·高考真題）已知函數(shù)，，則．在定義域內(nèi)為奇函數(shù)所以倍常數(shù)=2，解得【答案】－2例．已知函數(shù)，則．，和在定義域內(nèi)為奇函數(shù)所以2倍常數(shù)=-2【答案】－2考試技巧07已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象解題技巧特值與極限①②③④特別地：當(dāng)時例如：，當(dāng)時例．函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（

）A．B．C．D．令，由奇偶性定義知為奇函數(shù)，排除BD；【法一】特值，故選：A.【法二】極限法當(dāng)時，，所以當(dāng)時，故選：A.【法三】當(dāng)時，，所以【答案】A考試技巧08已知函數(shù)圖象判斷函數(shù)解析式解題技巧例．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（

）A． B． C． D．【法一】特值由圖知：，對于A，，對于B，，對于C，，對于D，排除BD結(jié)合函數(shù)零點位置可選A【法二】猜測近似函數(shù)值由圖知分別計算四個函數(shù)值即可得到答案【法三】設(shè)，則，故排除B;設(shè)，當(dāng)時，，所以，故排除C;設(shè)，則，故排除D.【答案】A考試技巧09兩類經(jīng)典超越不等式比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧，，，例．已知,則的大小關(guān)系為()A.B.C.D.【答案】考試技巧10泰勒不等式比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧常見函數(shù)的泰勒展開式：（1），其中；（2），其中；（3），其中；（4），其中；（5）；（6）；（7）；（8）．由泰勒公式，我們得到如下常用的不等式：，，，，，，，，．常見函數(shù)的泰勒展開式：結(jié)論1．結(jié)論2．結(jié)論3（）．結(jié)論4．結(jié)論5；；．結(jié)論6；結(jié)論7結(jié)論8．結(jié)論9．例．（2022年新Ⅰ卷高考真題第7題）設(shè)，，則（

）A． B． C． D．泰勒公式法：因為，所以，所以因為所以綜上所述：故選：C例．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．泰勒展開設(shè)，則，，，計算得，故選A.考試技巧11不等式放縮合集比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧，，，，，，放縮程度綜合，例．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．放縮法因為，所以，即因為，所以，即綜上所述：，故選：C例．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【法一】：不等式放縮一因為當(dāng)，取得：，故，其中，且當(dāng)時，，及此時，故，故所以，所以，故選A【法二】不等式放縮二因為，因為當(dāng)，所以,即，所以；因為當(dāng)，取得，故，所以．故選：A．考試技巧12函數(shù)對稱性的應(yīng)用及解題技巧例．（全國·高考真題）設(shè)函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于直線對稱，且，則A． B． C． D．反解的解析式，可得，即，因為，所以，解得解得，故選C考試技巧13解不等式（含分段函數(shù)）的應(yīng)用及解題技巧例2．（全國·高考真題）設(shè)函數(shù),則使成立的的取值范圍是A． B．C． D．【特值法】當(dāng)時，不成立，排除D，當(dāng)時，則判斷是否成立，計算，，不成立，故排除B、C,【答案】A考試技巧14整數(shù)解的應(yīng)用及解題技巧例．已知關(guān)于x的不等式恰有一個整數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【猜根法，尋找臨界條件】由題知整數(shù)解不可能為1，若整數(shù)解為2，則整數(shù)解3不可取，代入有，，根據(jù)整數(shù)解問題區(qū)間為一開一閉，則選D.考試技巧15零點的應(yīng)用及解題技巧例4．（全國·高考真題）已知函數(shù)有唯一零點，則A． B． C． D．1通過觀察發(fā)現(xiàn)關(guān)于對稱，也關(guān)于對稱，則唯一零點為1，解得解得.故選：C.考試技巧16切線與公切線的應(yīng)用及解題技巧例．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.

故選：D.例．（全國·高考真題）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則．對函數(shù)求導(dǎo)得，對求導(dǎo)得，設(shè)直線與曲線相切于點，與曲線相切于點，則，由點在切線上得，由點在切線上得，這兩條直線表示同一條直線，所以，解得.考試技巧17端點效應(yīng)（必要性探索）解題技巧端點效應(yīng)的類型1.如果函數(shù)在區(qū)間上,恒成立,則或.2.如果函數(shù)在區(qū)問上,恒成立,且(或),則或.3.如果函數(shù)在區(qū)問上,恒成立,且(或,則或.例．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．【法一】端點效應(yīng)一令，得，且在上恒成立畫出草圖根據(jù)端點效應(yīng),需要滿足，而則,令,得當(dāng)時,由于,只需證即可而含有參數(shù),故可對進行放縮即令,其中設(shè)則令則,故在上遞減,得則,得在上單調(diào)遞增,則即,滿足成立當(dāng)時，故存在,使得在上,所以在上單調(diào)遞增,則,不成立特上所述:.【法二】端點效應(yīng)二(2)由于,且,注意到當(dāng),即時,使在成立,故此時單調(diào)遞減,不成立.另一方面,當(dāng)時,,下證它小于等于0.單調(diào)遞減,.特上所述:.考試技巧18函數(shù)凹凸性解題技巧凹函數(shù)：對于某區(qū)間內(nèi),都有.凸函數(shù)：對于某區(qū)間內(nèi),都有.例．在中,求的最大值.因為函數(shù)在區(qū)間上是上凸函數(shù),則即,當(dāng)且僅當(dāng)時,即時,取等號.上述例題是三角形中一個重要的不等式:在中,例.丹麥數(shù)學(xué)家琴生是19世紀對數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻的數(shù)學(xué)家，特別是在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果．設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”．已知在上為“凸函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．因為，所以，，因為在上為“凸函數(shù)”，所以對于恒成立，可得對于恒成立，令，則，因為，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，【答案】C考試技巧19洛必達法則解題技巧法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型

法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型例．（全國高考）已知恒成立,求的取值范圍解:記,則則所以,在單調(diào)遞增,且所以時,時,即在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增所以所以分析上式中求用了洛必達法則當(dāng)時,分子,分母,符合不定形式,所以例．（全國高考）恒成立,求的取值范圍解:記,則記則所以,在單調(diào)遞增,所以所以,在單調(diào)遞增,所以即在上,所以在上單調(diào)遞增所以所以考試技巧20導(dǎo)數(shù)中的極值點偏移問題的解題技巧例．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則．（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)由題知,一個零點小于1,一個零點大于1，不妨設(shè)要證,即證因為,即證又因為,故只需證即證即證下面證明時，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.[方法二]：對數(shù)平均不等式由題意得：令，則，所以在上單調(diào)遞增，故只有1個解又因為有兩個零點，故兩邊取對數(shù)得：，即又因為，故，即下證因為不妨設(shè)，則只需證構(gòu)造，則故在上單調(diào)遞減故，即得證考試技巧21半角公式的應(yīng)用及解題技巧sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).例．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．【詳解】因為，而為銳角，所以eq\r(\f(1－cosα,2))．考試技巧22萬能公式的應(yīng)用及解題技巧例．在△ABC中,tanC2=3tanA2,則2==最小值為4考試技巧23正余弦平方差公式的應(yīng)用及解題技巧正弦平方差公式:sin2A?例．已知sinα=1由已知可得sin考試技巧24三角函數(shù)異名伸縮平移的解題技巧通常用進行正弦化余弦，用進行余弦化正弦例．若要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度我們可以對平移前進行變換，，從而轉(zhuǎn)化為的變換；我們同樣也對平移后進行變換，，從而轉(zhuǎn)化為的變換，進而求解變換過程【答案】D考試技巧25“爪子定理”的應(yīng)用及解題技巧例．（全國·高考真題）設(shè)為所在平面內(nèi)一點，且，則（）A.B.C.D.解析：由圖可想到“爪字形圖得：，解得：答案：A考試技巧26系數(shù)和（等和線）的應(yīng)用及解題技巧例．（全國·高考真題）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若=+，則+的最大值為A．3 B．2 C． D．2【系數(shù)和】分析：如圖，由平面向量基底等和線定理可知，當(dāng)?shù)群途€與圓相切時，最大，此時故選.例．邊長為2的正六邊形中，動圓的半徑為1，圓心在線段(含短點)上運動，是圓上及其內(nèi)部的動點，設(shè)向量，則的取值范圍是（）分析:如圖，設(shè)，由等和線結(jié)論，.此為的最小值；同理，設(shè)，由等和線結(jié)論，.此為的最大值.綜上可知.考試技巧27極化恒等式的應(yīng)用及解題技巧例．（全國·高考真題）設(shè)向量滿足，，則A．1 B．2 C．3 D．5由極化恒等式可得：，故選A．例．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（

）A． B．3 C． D．5設(shè)CD中點為O點，由極化恒等式可得：故選：B.考試技巧28奔馳定理與三角形四心的應(yīng)用及解題技巧例．（寧夏·高考真題）已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點O，N，P依次是的（注：三角形的三條高線交于一點，此點為三角型的垂心）A．重心外心垂心 B．重心外心內(nèi)心C．外心重心垂心 D．外心重心內(nèi)心因為，所以到定點的距離相等，所以為的外心，由，則，取的中點，則，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以點為的垂心，故選C.

例．（江蘇·高考真題）O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，，則P的軌跡一定通過的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【詳解】，令，則是以為始點，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應(yīng)的向量，即在的平分線上，，共線，故點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心，故選：B考試技巧29角平分線定理的應(yīng)用及解題技巧角平分線定理（1）在中，為的角平分線，則有（2）（3）（庫斯頓定理）（4）例．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在中，，的角平分線交BC于D，則．由余弦定理可得，，因為，解得：，則計算即可，故答案為：．考試技巧30張角定理的應(yīng)用及解題技巧張角定理例．如圖，已知是中的角平分線，交邊于點.（1）用正弦定理證明：；（2）若，，，求的長.先用面積之和來證明張角定理，然后直接由張角定理求得AD的長為．例．在中,角所對的邊分別為,已知點在邊上,,則__________解：如圖由張角定理得:即考試技巧31點對稱問題解題技巧點x,y關(guān)于直線Ax例．點關(guān)于直線的對稱點的坐標是．直線中，,所以，所以，答案為：.考試技巧32圓中的切線問題解題技巧例．經(jīng)過點且與圓相切的直線方程為．代入求解即可，答案為：例．過圓上點的切線方程為．代入求解即可，答案為：例．過點作圓的兩條切線，切點分別為A、B，則直線AB方程是.過圓外一點作圓的兩條切線,則切點弦方程為，代入求解即可答案