安徽省安慶市太湖中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一次段考數(shù)學(xué)試題

安徽省太湖中學(xué)2022級(jí)高二第一次段考數(shù)學(xué)學(xué)科試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求．1.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的虛部是（）A.1 B.－1 C. D.【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法求得，設(shè)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)相等求的虛部即可.【詳解】由題設(shè)，，令，則，∴，得，故的虛部是1．故選：A.2.若向量在空間的的一組基底下的坐標(biāo)是，則在基底下的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)的坐標(biāo)為，得到，求得的值，即可求解.【詳解】因?yàn)樵诨紫碌淖鴺?biāo)是，所以，設(shè)在基底下的坐標(biāo)為，則，因此，所以，即，即向量在基底下的坐標(biāo)為．故選：C．3.設(shè)，向量，，且，則（）A. B. C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量平行與垂直的坐標(biāo)表示，求得的值，結(jié)合向量模的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由向量且，可得，解得，所以，，則，所以.故選：C.4.已知點(diǎn)，．若直線l：與線段相交，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】直線l過(guò)定點(diǎn)，且與線段相交，利用數(shù)形結(jié)合法，求出的斜率，從而得出l的斜率的取值范圍，即可得解.【詳解】設(shè)直線過(guò)定點(diǎn)，則直線可寫(xiě)成，令，解得.直線必過(guò)定點(diǎn)．，．直線與線段相交，

由圖象知，或，解得或，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A.5.已知矩形為平面外一點(diǎn)，平面，點(diǎn)滿(mǎn)足，．若，則（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由平面向量基本定理結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因，，所以，因?yàn)?，所以，，，所?故選：C6.當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，直線的方程為：（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知得，根據(jù)基本不等式“”的代換可得的最小值，即取最小值時(shí)與的值，進(jìn)而得解.【詳解】由直線過(guò)點(diǎn)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以直線方程為，即.故選：C.7.已知空間直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量表示出點(diǎn)Q坐標(biāo)，再求出，的坐標(biāo)，借助數(shù)量積建立函數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】因點(diǎn)Q在直線上運(yùn)動(dòng)，則，設(shè)，于是有，因?yàn)?，，所以，，因此，，于是得，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)Q，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.故選：C8.如圖，已知四棱臺(tái)的底面是直角梯形，，，，平面，是側(cè)棱所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，與所成角的余弦值的最大值為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線所成角的余弦值.【詳解】以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，過(guò)A垂直平面的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，設(shè)，，設(shè)與所成角為，則，設(shè)，則有，由存在，則，解得，即的最大值為，所以與所成角的余弦值的最大值為.故選：C二．多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知直線，則該直線（）A.過(guò)點(diǎn) B.斜率為C.傾斜角為 D.在x軸上的截距為【答案】AB【解析】【分析】驗(yàn)證法判斷選項(xiàng)A；求得直線的斜率判斷選項(xiàng)B；求得直線的傾斜角判斷選項(xiàng)C；求得直線在x軸上的截距判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，∴，∴直線過(guò)點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，由題意得，，∴該直線的斜率為，故B正確；對(duì)于C，∵直線的斜率為，∴直線的傾斜角為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，∴該直線在x軸上的截距為2，故D錯(cuò)誤．故選：AB．10.下列說(shuō)法正確的是（）A.直線的傾斜角的取值范圍是B.“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件C.過(guò)點(diǎn)且在軸，軸截距相等的直線方程為D.經(jīng)過(guò)平面內(nèi)任意相異兩點(diǎn)的直線都可以用方程表示．【答案】AD【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)可求傾斜角的取值范圍；對(duì)于B：根據(jù)兩直線垂直的條件求出的值即可判斷；對(duì)于C：分截距是否為0兩種情況求解可判斷；對(duì)于D：對(duì)斜率為0、斜率不存在特殊情況討論可以確定所求直線均可用表示.【詳解】對(duì)于A：直線的傾斜角為，則，因?yàn)椋?，故A正確.對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，直線與直線斜率分別為，斜率之積為，故兩直線相互垂直，所以充分性成立，若“直線與直線互相垂直”，則，故或，所以得不到，故必要性不成立，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C：截距為0時(shí)，設(shè)直線方程為，又直線過(guò)點(diǎn)，所以可得，所以直線方程為，當(dāng)截距不為0時(shí)，調(diào)直線方程為，又直線過(guò)點(diǎn)，所以可得，所以直線方程為，所以過(guò)點(diǎn)且在軸，軸截距相等的直線方程為或，故C錯(cuò)誤；.對(duì)于D：經(jīng)過(guò)平面內(nèi)任意相異兩點(diǎn)直線：當(dāng)斜率等于0時(shí)，，方程為，能用方程表示；當(dāng)斜率不存在時(shí)，，方程為，能用方程表示；當(dāng)斜率不為0且斜率存在時(shí)，直線方程為，也能用方程表示，故D正確.故選：AD.11.已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，下列說(shuō)法中正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，恒有B.若當(dāng)時(shí)，的最小值為，則m的取值范圍為C.不存在實(shí)數(shù)k，使函數(shù)有5個(gè)不相等的零點(diǎn)D.若關(guān)于x的方程所有實(shí)數(shù)根之和為0，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及時(shí)的解析式作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可判斷AB選項(xiàng)，聯(lián)立與可判斷相切時(shí)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，當(dāng)，時(shí)最多一個(gè)交點(diǎn)，可判斷C，根據(jù)函數(shù)奇偶性與對(duì)稱(chēng)性判斷D．【詳解】當(dāng)時(shí)，且為R上的奇函數(shù)，作函數(shù)f（x）的圖象如圖：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）不是單調(diào)遞減函數(shù)，則f（x1）＞f（x2）不成立，故A不正確；對(duì)于B，令，解得，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，的最小值為，則，故B正確；對(duì)于C，聯(lián)立，得，△＝（k+1）2﹣4＝k2+2k﹣3=0，存在，使得△=0，此時(shí),可知最多有3個(gè)不同的交點(diǎn)，∴不存在實(shí)數(shù)k，使關(guān)于x的方程f（x）＝kx有5個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故C正確；對(duì)于D，由可得或，∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，若關(guān)于x的兩個(gè)方程與所有根的和為0，∴函數(shù)的根與根關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，但x＞0時(shí)，方程有2個(gè)根，分別為，兩根之和為，若關(guān)于x的兩個(gè)方程與所有根的和為0，若的根為，此時(shí)，此時(shí)僅有一解，符合題意，故D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用奇函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性得出函數(shù)的圖象是解決本題的關(guān)鍵所在，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)值的變換，函數(shù)圖象的交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題，屬于難題.12.如圖，在四棱錐中，已知底面，底面為等腰梯形，，，記四棱錐的外接球?yàn)榍?，平面與平面的交線為的中點(diǎn)為，則（）A.B.C.平面平面D.被球截得的弦長(zhǎng)為1【答案】ABD【解析】【分析】由，可得平面，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可證得，即可判斷A；對(duì)于B，連接，證明，，即可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可證得，即可判斷B；對(duì)于C，如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，判斷法向量是否垂直，即可判斷C；對(duì)于D，易得四棱錐的外接球的球心在過(guò)點(diǎn)且垂直于面的直線上，求出半徑，再利用向量法求出點(diǎn)到直線的距離，最后利用圓的弦長(zhǎng)公式求出被球截得的弦長(zhǎng)，即可判斷D.【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，又因平面與平面的交線為，所以，故A正確；對(duì)于B，連接，在等腰梯形中，因?yàn)?，，的中點(diǎn)為，所以四邊形都是菱形，所以，所以，因?yàn)榈酌?，面，所以，又，所以平面，又因平面，所以，故B正確；對(duì)于C，如圖以原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量，平面的法向量，則，可取，同理可取，因?yàn)?，所以與不垂直，所以平面與平面不垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B選項(xiàng)可知，，則點(diǎn)即為四邊形外接圓的圓心，故四棱錐的外接球的球心在過(guò)點(diǎn)且垂直于面的直線上，設(shè)外接球的半徑為，則，則，所以，設(shè)與所成的角為，點(diǎn)到直線的距離為，，因?yàn)?，直線的方向向量可取，，則，所以，所以，所以被球截得的弦長(zhǎng)為，故D正確.故選：ABD.三．填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知直線，直線．若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____．【答案】或【解析】【分析】由題意利用兩條直線垂直的性質(zhì)，求得的值．【詳解】因?yàn)橹本€，直線，且，所以，解得或.故答案為：或.14.已知，，．若、、三向量共面，則實(shí)數(shù)______．【答案】【解析】【分析】由題意可得，存在實(shí)數(shù)x，y，使，列出方程組，即可求得答案.【詳解】因?yàn)椴黄叫?，且、、三向量共面，所以存在?shí)數(shù)x，y，使，所以，解得，故答案為：15.算盤(pán)是中國(guó)傳統(tǒng)計(jì)算工具，其形長(zhǎng)方，周為木框，內(nèi)貫直柱，俗稱(chēng)“檔”，檔中橫以梁，梁上兩珠，每珠作數(shù)五，梁下五珠，每珠作數(shù)一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如，在十位檔撥上一顆上珠和兩顆下珠，個(gè)位檔撥上四顆下珠，則表示數(shù)字，若分別在個(gè)、十、百、千位檔中各隨機(jī)撥上一顆下珠或撥下一顆上珠，記事件所表示的數(shù)能被整數(shù)，事件所表示的數(shù)能被整除，則______．【答案】##【解析】【分析】分析可知共可以組成個(gè)數(shù)，計(jì)算出、、的值，即可計(jì)算得出的值.【詳解】分別在個(gè)、十、百、千位檔中各隨機(jī)撥上一顆下珠或撥下一顆上珠，共可以組成個(gè)不同的數(shù)，若組成的數(shù)能被整除，則四個(gè)數(shù)位上有個(gè)，個(gè)，故能被整除的數(shù)有個(gè)，則．若組成的數(shù)能被整除，則個(gè)位數(shù)為，故能被整除的數(shù)有個(gè)，則．既能被整除又能被整除的數(shù)，則個(gè)位數(shù)字為，其余三個(gè)數(shù)上有個(gè)，個(gè)，有個(gè)，則．故．故答案為：.16.如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD，，，點(diǎn)Q是側(cè)棱PD的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在邊AB，BC上，當(dāng)空間四邊形PMND的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)Q到平面PMN的距離為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】平面PAB沿AB展開(kāi)到與平面ABCD共面，當(dāng)點(diǎn)P，M，N和共線時(shí)周長(zhǎng)最小，計(jì)算得到，，，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面的法向量為，根據(jù)距離公式計(jì)算得到答案.【詳解】要使得空間四邊形PMND周長(zhǎng)最小，只需將平面PAB沿AB展開(kāi)到與平面ABCD共面，延長(zhǎng)DC至，使得，于是點(diǎn)N在線段的垂直平分線上，所以，因?yàn)镻D為定值，故當(dāng)點(diǎn)P，M，N和共線時(shí)，空間四邊形PMND的周長(zhǎng)最小，易得，即得，即，所以，，，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，由題意可得，，，則，，設(shè)是平面PMN的一個(gè)法向量，則.即得，令，得，，，，所以點(diǎn)Q到平面PMN的距離．故答案為：．四．解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.已知平行六面體，底面是正方形，，，設(shè)．（1）試用表示；（2）求的長(zhǎng)度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量線性運(yùn)算的幾何意義，結(jié)合幾何體確定與的線性關(guān)系；（2）由（1），結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律及已知條件求的長(zhǎng)度.【小問(wèn)1詳解】.【小問(wèn)2詳解】，，所以.18.已知點(diǎn)，求下列直線的方程：（1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在軸上的截距是軸上截距的2倍的直線的方程；（2）光線自點(diǎn)射到軸的點(diǎn)后被軸反射，求反射光線所在直線的方程．【答案】（1）或.（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，分直線過(guò)原點(diǎn)與不過(guò)原點(diǎn)討論，結(jié)合直線的截距式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，求得點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，再由直線的點(diǎn)斜式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，滿(mǎn)足在軸上的截距是軸上截距的2倍，此時(shí)直線方程為，將代入，可得，化簡(jiǎn)可得；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，且，即，將代入，可得，解得，則直線方程為，化簡(jiǎn)可得；綜上，直線方程為或.【小問(wèn)2詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可知，反射光線所在的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)與，所以反射光線所在的直線斜率為，則反射光線所在的直線方程為，化簡(jiǎn)可得.19.某校舉行了一次高一年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，筆試成績(jī)?cè)诜忠陨希òǚ郑瑵M(mǎn)分分）共有人，分成、、、、五組，得到如圖所示頻率分布直方圖．（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這次數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)（中位數(shù)精確到）；（2）為進(jìn)一步了解學(xué)困生的學(xué)習(xí)情況，從數(shù)學(xué)成績(jī)低于分的學(xué)生中，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣的方法抽取人，再?gòu)倪@人中任取人，求此人分?jǐn)?shù)都在的概率．【答案】（1）平均數(shù)為，中位數(shù)約為（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)所有直方圖的面積之和為可求得的值，將每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以對(duì)應(yīng)矩形的面積，再將所得結(jié)果全加可得樣本的平均數(shù)，根據(jù)中位數(shù)的定義可求得樣本的中位數(shù)；（2）計(jì)算出分層抽樣抽取的人中，數(shù)學(xué)成績(jī)位于的有人，記為、，數(shù)學(xué)成績(jī)位于的有人，記為、、、，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問(wèn)1詳解】由，解得，這次數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為，前組的頻率和為，前組的頻率和為，所以中位數(shù)為．【小問(wèn)2詳解】分層抽樣抽取的人中，數(shù)學(xué)成績(jī)位于的有人，記為、．?dāng)?shù)學(xué)成績(jī)位于的有人，記為、、、，從人中任取人，基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共種，其中人分?jǐn)?shù)都在的有、、、，共種，所以從人中任取人，分?jǐn)?shù)都在的概率為.20.圖①是直角梯形，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，并且，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且．（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析（2）存在，直線與平面所成角的正弦值為.【解析】【分析】（1）作出輔助線，取的中點(diǎn)，連接，由勾股定理逆定理得：，從而平面,所以平面平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到線面角.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅问沁呴L(zhǎng)為2的菱形，并且，所以均為等邊三角形，故且，因?yàn)?，所以，由勾股定理逆定理得：，又因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)兩條相交直線，所以平面，即平面,因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?；【小?wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，故，解得：，故，設(shè)平面的法向量為，則，故，令，則，故，其中則，解得：,則，設(shè)直線與平面所成角為，則，直線與平面所成角的正弦值為.21.在中，角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求角；（2）若，邊上的中線，且，求．【答案】（1）（2）【解