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集合的基本運(yùn)算第1課時(shí)并集與交集學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并集、交集的概念.2.會(huì)用符號(hào)、Venn圖和數(shù)軸表示并集、交集.3.會(huì)求簡(jiǎn)單集合的并集和交集.知識(shí)點(diǎn)一并集思考某次校運(yùn)動(dòng)會(huì)上,高一(1)班有10人報(bào)名參加田賽,有12人報(bào)名參加徑賽.已知兩項(xiàng)都報(bào)的有3人,你能算出高一(1)班參賽人數(shù)嗎?答案19人.參賽人數(shù)包括參加田賽的,也包括參加徑賽的,但由于元素互異性的要求,兩項(xiàng)都報(bào)的不能重復(fù)計(jì)算,故有10+12-3=19人.梳理(1)定義:一般地,由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合,稱為集合A與B的并集,記作A∪B(讀作“A并B”).(2)并集的符號(hào)語言表示為A∪B={x|x∈A,或x∈B}.(3)圖形語言:、陰影部分為A∪B.(4)性質(zhì):A∪B=B∪A,A∪A=A,A∪?=A,A∪B=A?B?A,A?A∪B.知識(shí)點(diǎn)二交集思考一副撲克牌,既是紅桃又是A的牌有幾張?答案1張.紅桃共13張,A共4張,其中兩項(xiàng)要求均滿足的只有紅桃A一張.梳理(1)定義:一般地,由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合,稱為A與B的交集,記作A∩B(讀作“A交B”).(2)交集的符號(hào)語言表示為A∩B={x|x∈A,且x∈B}.(3)圖形語言:陰影部分為A∩B.(4)性質(zhì):A∩B=B∩A,A∩A=A,A∩?=?,A∩B=A?A?B,A∩B?A∪B,A∩B?A,A∩B?B.類型一求并集命題角度1數(shù)集求并集例1(1)已知集合A={3,4,5},B={1,3,6},則集合A∪B是()A.{1,3,4,5,6} B.{3}C.{3,4,5,6} D.{1,2,3,4,5,6}答案A解析A∪B是將兩集合的所有元素合并到一起構(gòu)成的集合(相同元素算一個(gè)),因此A∪B={1,3,4,5,6},故選A.(2)A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求A∪B.解如圖:由圖知A∪B={x|-1<x<3}.反思與感悟有限集求并集就是把兩個(gè)集合中的元素合并,重復(fù)的保留一個(gè);用不等式表示的,常借助數(shù)軸求并集.由于A∪B中的元素至少屬于A,B之一,所以從數(shù)軸上看,至少被一道橫線覆蓋的數(shù)均屬于并集.跟蹤訓(xùn)練1(1)A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},求A∪B.解B={-1,2},∴A∪B={-2,-1,0,2}.(2)A={x|-1<x<2},B={x|x≤1或x>3},求A∪B.解如圖:由圖知A∪B={x|x<2或x>3}.命題角度2點(diǎn)集求并集例2集合A={(x,y)|x>0},B={(x,y)|y>0},求A∪B,并說明其幾何意義.解A∪B={(x,y)|x>0或y>0}.其幾何意義為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)去掉第三象限和x軸、y軸的非正半軸后剩下的區(qū)域內(nèi)所有點(diǎn).反思與感悟求并集要弄清楚集合中的元素是什么,是點(diǎn)還是數(shù).跟蹤訓(xùn)練2A={(x,y)|x=2},B={(x,y)|y=2}.求A∪B,并說明其幾何意義.解A∪B={(x,y)|x=2或y=2},其幾何意義是直線x=2和直線y=2上所有的點(diǎn)組成的集合.類型二求交集例3(1)若集合A={x|-5<x<2},B={x|-3<x<3},則A∩B等于()A.{x|-3<x<2} B.{x|-5<x<2}C.{x|-3<x<3} D.{x|-5<x<3}答案A解析在數(shù)軸上將集合A,B表示出來,如圖所示,由交集的定義可得A∩B為圖中陰影部分,即A∩B={x|-3<x<2},故選A.(2)若集合M={x|-2≤x<2},N={0,1,2},則M∩N等于()A.{0} B.{1}C.{0,1,2} D.{0,1}答案D解析M={x|-2≤x<2},N={0,1,2},則M∩N={0,1},故選D.(3)集合A={(x,y)|x>0},B={(x,y)|y>0},求A∩B并說明其幾何意義.解A∩B={(x,y)|x>0且y>0},其幾何意義為第一象限所有點(diǎn)的集合.反思與感悟求集合A∩B的步驟(1)首先要搞清集合A,B的代表元素是什么;(2)把所求交集的集合用集合符號(hào)表示出來,寫成“A∩B”的形式;(3)把化簡(jiǎn)后的集合A,B的所有公共元素都寫出來即可.跟蹤訓(xùn)練3(1)集合A={x|-1<x<2},B={x|x≤1或x>3},求A∩B;(2)集合A={x|2k<x<2k+1,k∈Z},B={x|1<x<6},求A∩B;(3)集合A={(x,y)|y=x+2},B={(x,y)|y=x+3},求A∩B.解(1)A∩B={x|-1<x≤1}.(2)A∩B={x|2<x<3或4<x<5}.(3)A∩B=?.類型三并集、交集性質(zhì)的應(yīng)用例4已知A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},若A∪B=B,求a的取值范圍.解A∪B=B?A?B.當(dāng)2a>a+3,即a>3時(shí),A=?,滿足A?B.當(dāng)2a=a+3,即a=3時(shí),A={6},滿足A?B.當(dāng)2a<a+3,即a<3時(shí),要使A?B,需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<3,,a+3<-1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<3,,2a>5,))解得a<-4,或eq\f(5,2)<a<3.綜上,a的取值范圍是{a|a>3}∪{a|a=3}∪{a|a<-4,或eq\f(5,2)<a<3}={a|a<-4,或a>eq\f(5,2)}.反思與感悟解此類題,首先要準(zhǔn)確翻譯,諸如“A∪B=B”之類的條件.在翻譯成子集關(guān)系后,不要忘了空集是任何集合的子集.跟蹤訓(xùn)練4設(shè)集合A={x|2x2+3px+2=0},B={x|2x2+x+q=0},其中p、q為常數(shù),x∈R,當(dāng)A∩B={eq\f(1,2)}時(shí),求p、q的值和A∪B.解∵A∩B={eq\f(1,2)},∴eq\f(1,2)∈A,∴2×(eq\f(1,2))2+3p×eq\f(1,2)+2=0,∴p=-eq\f(5,3),∴A={eq\f(1,2),2}.又∵A∩B={eq\f(1,2)},∴eq\f(1,2)∈B,∴2×(eq\f(1,2))2+eq\f(1,2)+q=0,∴q=-1.∴B={eq\f(1,2),-1}.∴A∪B={-1,eq\f(1,2),2}.1.已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2},則M∪N等于()A.{-1,0,1} B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,2} D.{0,1}答案B2.已知集合A={x|x2-2x=0},B={0,1,2},則A∩B等于()A.{0} B.{0,1}C.{0,2} D.{0,1,2}答案C3.已知集合A={x|x>1},B={x|0<x<2},則A∪B等于()A.{x|x>0} B.{x|x>1}C.{x|1<x<2} D.{x|0<x<2}答案A4.已知A={x|x≤0},B={x|x≥1},則集合A∩B等于()A.? B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}答案A5.已知集合A={1,3,eq\r(m)},B={1,m},A∪B=A,則m等于()A.0或eq\r(3) B.0或3C.1或eq\r(3) D.1或3答案B1.對(duì)并集、交集概念的理解(1)對(duì)于并集,要注意其中“或”的意義,“或”與通常所說的“非此即彼”有原則性的區(qū)別,它們是“相容”的.“x∈A,或x∈B”這一條件,包括下列三種情況:x∈A但x?B;x∈B但x?A;x∈A且x∈B.因此,A∪B是由所有至少屬于A、B兩者之一的元素組成的集合.(2)A∩B中的元素是“所有”屬于集合A且屬于集合B的元素,而不是部分,特別地,當(dāng)集合A和集合B沒有公共元素時(shí),不能說A與B沒有交集,而是A∩B=?.2.集合的交、并運(yùn)算中的注意事項(xiàng)(1)對(duì)于元素個(gè)數(shù)有限的集合,可直接根據(jù)集合的“交”“并”定義求解,但要注意集合元素的互異性.(2)對(duì)于元素個(gè)數(shù)無限的集合,進(jìn)行交、并運(yùn)算時(shí),可借助數(shù)軸,利用數(shù)軸分析法求解,但要注意端點(diǎn)值取到與否.課時(shí)作業(yè)一、選擇題1.已知集合M={1,2,3,4},N={-2,2},下列結(jié)論成立的是()A.N?M B.M∪N=MC.M∩N=N D.M∩N={2}答案D解析∵-2∈N,但-2?M,∴A,B,C三個(gè)選項(xiàng)均不對(duì).2.若集合M={x|-3≤x<4},N={-3,1,4},則M∩N等于()A.{-3} B.{1}C.{-3,1,4} D.{-3,1}答案D解析M={x|-3≤x<4},N={-3,1,4},則M∩N={-3,1},故選D.3.已知M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},則M∩N等于()A.x=3,y=-1 B.(3,-1)C.{3,-1} D.{(3,-1)}答案D解析∵M(jìn),N均為點(diǎn)集,由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+y=2,,x-y=4,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=3,,y=-1,))∴M∩N={(3,-1)}.4.已知集合A={x|-1≤x≤1}和集合B={y|y=x2},則A∩B等于()A.{y|0<y<1}B.{y|0≤y≤1}C.{y|y>0}D.{(0,1),(1,0)}答案B解析∵B={y|y=x2},∴B={y|y≥0},A∩B={y|0≤y≤1}.5.點(diǎn)集A={(x,y)|x<0},B={(x,y)|y<0},則A∪B中的元素不可能在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案A解析A∪B={(x,y)|x<0或y<0},表示的區(qū)域是平面直角坐標(biāo)系中第二、三、四象限和x,y軸的負(fù)半軸,故不可能在第一象限.6.設(shè)A,B是非空集合,定義A*B={x|x∈A∪B且x?A∩B},已知A={x|0≤x≤3},B={y|y≥1},則A*B等于()A.{x|1≤x<3}B.{x|1≤x≤3}C.{x|0≤x<1或x>3}D.{x|0≤x≤1或x≥3}答案C解析由題意知,A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1≤x≤3},則A*B={x|0≤x<1或x>3}.7.若集合A={x|x≥0},且A∩B=B,則集合B可能是()A.{1,2} B.{x|x≤1}C.{-1,0,1} D.R答案A解析∵A∩B=B,∴B?A,四個(gè)選項(xiàng)中,符合B?A的只有選項(xiàng)A.二、填空題8.若集合A={0,1,2,x},B={1,x2},A∪B=A,則滿足條件的實(shí)數(shù)x有________個(gè).答案2解析∵A={0,1,2,x},B={1,x2},A∪B=A,∴B?A,∴x2=0或x2=2或x2=x,解得x=0或eq\r(2)或-eq\r(2)或1.經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)x=eq\r(2)或-eq\r(2)時(shí)滿足題意.9.已知集合P={x||x|>x},Q={x|y=eq\r(1-x)},則P∩Q=________.答案{x|x<0}解析|x|>x?x<0,∴P={x|x<0},1-x≥0?x≤1,∴Q={x|x≤1},故P∩Q={x|x<0}.10.已知集合A={x|x≥2},B={x|x≥m},且A∪B=A,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為__________.答案m≥2解析∵A∪B=A,∴B?A,在數(shù)軸上表示集合A,B,如圖所示,∴m≥2.11.已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∪B=R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.答案a≤1解析A={x|x≤1},B={x|x≥a},要使A∪B=R,只需a≤1.如圖.12.已知集合A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},則A∩B=________.答案{(0,1),(-1,2)}解析A、B都表示點(diǎn)集,A∩B即是由A中在直線x+y-1=0上的所有點(diǎn)組成的集合,代入驗(yàn)證即可.13.已知集合A={0,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},且9∈A∩B,則a=________.答案5或-3解析因?yàn)?∈A∩B,所以9∈A,且9∈B,即2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.當(dāng)a=5時(shí),A={0,9,25},B={0,-4,9},A∩B={0,9},9∈A∩B,符合題意;當(dāng)a=3時(shí),A={0,5,9},B={-2,-2,9},B中有元素重復(fù),不符合題意,舍去;當(dāng)a=-3時(shí),A={0,-7,9},B={-8,4,9},A∩B={9},9∈A∩B,符合題意.綜上所述,a=5或a=-3.三、解答題14.已知集合A={x|eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3-x>0,,3x+6>0,))},集合B={m|3>2m-1},求A∩B,A∪B.解解不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3-x>0,,3x+6>0,))得-2<x<3,則A={x|-2<x<3},解不等式3>2m-1得m<2,則B={m|m<2}.用數(shù)軸表示集合A和B,如圖所示,則A∩B={x|-2<x<2},A∪B={x|x<3}.15.已知集合A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}.(1)若A∩B={x|1≤x≤3},求實(shí)數(shù)m的值;(2)若A∩B=?,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}.(1)∵A∩B={x|1≤x≤3},∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m-2=1,,m+2≥3,))解得m=3.(2)A∩B=?,A?{x|x<m-2或x>m+2}.∴
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