專(zhuān)題31函數(shù)的概念及其表示-原卷版

專(zhuān)題3.1函數(shù)的概念及其表示【基本知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：函數(shù)的概念概念一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)三要素對(duì)應(yīng)關(guān)系y＝f(x)，x∈A定義域x的取值范圍A值域與x的值相對(duì)應(yīng)的y值的集合{f(x)|x∈A}注意點(diǎn)：(1)A，B是非空的實(shí)數(shù)集．(2)定義域是非空的實(shí)數(shù)集A，但函數(shù)的值域不一定是非空實(shí)數(shù)集B，而是集合B的子集．(3)函數(shù)定義中強(qiáng)調(diào)“三性”：任意性、存在性、唯一性．(4)函數(shù)符號(hào)“y＝f(x)”是數(shù)學(xué)符號(hào)之一，不表示y等于f與x的乘積，f(x)也不一定是解析式，還可以是圖象或表格，或其他的對(duì)應(yīng)關(guān)系．(5)除f(x)外，有時(shí)還用g(x)，u(x)，F(xiàn)(x)，G(x)等符號(hào)表示函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)2：函數(shù)的三要素函數(shù)的三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系(1)函數(shù)的定義域即集合A，在坐標(biāo)系中是橫坐標(biāo)x的取值范圍．(2)函數(shù)的值域并不是集合B，是函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}，在坐標(biāo)系中是縱坐標(biāo)的取值范圍．(3)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系f反映了自變量x的運(yùn)算、對(duì)應(yīng)方法，通過(guò)這種運(yùn)算，對(duì)應(yīng)得到唯一的函數(shù)值y.知識(shí)點(diǎn)3：區(qū)間的概念設(shè)a，b∈R，且a<b，規(guī)定如下：定義名稱(chēng)區(qū)間數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間[a，b]{x|a<x<b}開(kāi)區(qū)間(a，b){x|a≤x<b}半開(kāi)半閉區(qū)間[a，b){x|a<x≤b}半開(kāi)半閉區(qū)間(a，b]{x|x≥a}[a，＋∞){x|x>a}(a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]{x|x<b}(－∞，b)特別地：實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(－∞，＋∞)，“∞”讀作“無(wú)窮大”，“－∞”讀作“負(fù)無(wú)窮大”，“＋∞”讀作“正無(wú)窮大”．注意點(diǎn)：(1)區(qū)間只能表示連續(xù)的數(shù)集，開(kāi)閉不能混淆．(2)用數(shù)軸表示區(qū)間時(shí)，要特別注意實(shí)心點(diǎn)與空心點(diǎn)的區(qū)別．(3)區(qū)間是實(shí)數(shù)集的一種表示形式，集合的運(yùn)算仍然成立．(4)“∞”是一個(gè)符號(hào)，而不是一個(gè)數(shù)．知識(shí)點(diǎn)4：函數(shù)的定義域與值(1)求函數(shù)的定義域應(yīng)關(guān)注三點(diǎn)①要明確使各函數(shù)表達(dá)式有意義的條件是什么，函數(shù)有意義的準(zhǔn)則一般有：(ⅰ)分式的分母不為0；(ⅱ)偶次根式的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)；(ⅲ)y＝x0要求x≠0.②不對(duì)解析式化簡(jiǎn)變形，以免定義域變化．③當(dāng)一個(gè)函數(shù)由兩個(gè)或兩個(gè)以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成時(shí)，定義域是使得各式子都有意義的公共部分的集合．(2)函數(shù)求值的方法①已知f(x)的表達(dá)式時(shí)，只需用a替換表達(dá)式中的x即得f(a)的值．②已知f(x)與g(x)，求f(g(a))的值應(yīng)遵循由里往外的原則．知識(shí)點(diǎn)5：判斷兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)應(yīng)注意的三點(diǎn)(1)定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系兩者中只要有一個(gè)不相同就不是同一個(gè)函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不一定是同一個(gè)函數(shù)．(2)函數(shù)是兩個(gè)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒(méi)有限制的．(3)在化簡(jiǎn)解析式時(shí)，必須是等價(jià)變形．知識(shí)點(diǎn)6：抽象函數(shù)的定義域(1)已知f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，求f(g(x))的定義域時(shí)，不等式a≤g(x)≤b的解集即定義域．(2)已知f(g(x))的定義域?yàn)閇c，d]，求f(x)的定義域時(shí)，求出g(x)在[c，d]上的范圍(值域)即定義域．知識(shí)點(diǎn)7：函數(shù)的表示方法(1)列表法、圖象法、解析法均是函數(shù)的表示法，無(wú)論是哪種方式表示函數(shù)，都必須滿(mǎn)足函數(shù)的概念．(2)列表法更直觀(guān)形象，圖象法從形的角度描述函數(shù)，解析法從數(shù)的角度描述函數(shù)．(3)函數(shù)的三種表示法互相兼容或補(bǔ)充，許多函數(shù)是可以用三種方法表示的，但在實(shí)際操作中，仍以解析法為主．知識(shí)點(diǎn)8：作函數(shù)y＝f(x)圖象的方法(1)若y＝f(x)是已學(xué)過(guò)的函數(shù)，則描出圖象上的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，直接畫(huà)出圖象即可，有些可能需要根據(jù)定義域進(jìn)行取舍．(2)若y＝f(x)不是所學(xué)過(guò)的函數(shù)之一，則要按：①列表；②描點(diǎn)；③連線(xiàn)三個(gè)基本步驟作出y＝f(x)的圖象．(3)函數(shù)圖象的平移變換①左加右減：函數(shù)y＝f(x)的圖象沿x軸方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y＝f(x＋a)的圖象．②上加下減：函數(shù)y＝f(x)的圖象沿y軸方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y＝f(x)＋b的圖象．（4）分段函數(shù)圖象的畫(huà)法①作分段函數(shù)的圖象時(shí)，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時(shí)，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可，作圖時(shí)要特別注意接點(diǎn)處點(diǎn)的虛實(shí)，保證不重不漏．②對(duì)含有絕對(duì)值的函數(shù)，要作出其圖象，首先應(yīng)根據(jù)絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值符號(hào)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后分段作出函數(shù)圖象．知識(shí)點(diǎn)9：求函數(shù)值域的方法(1)觀(guān)察法：對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過(guò)觀(guān)察得到．(2)配方法：此方法是求“二次函數(shù)類(lèi)”值域的基本方法，即把函數(shù)通過(guò)配方轉(zhuǎn)化為能直接看出其值域的方法．(3)圖象法：利用已知一次函數(shù)、二次函數(shù)或反比例函數(shù)的圖象寫(xiě)出函數(shù)的值域．(4)分離常數(shù)法：此方法主要是針對(duì)有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類(lèi)”的形式，便于求值域．(5)換元法：對(duì)于一些無(wú)理函數(shù)(如y＝ax±b±eq\r(cx±d))，通過(guò)換元把它們轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)，然后利用有理函數(shù)求值域的方法，間接地求解原函數(shù)的值域．知識(shí)點(diǎn)10：求函數(shù)解析式的四種常用方法(1)換元法：設(shè)t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．注意換元時(shí)t的取值范圍．(2)配湊法：對(duì)f(g(x))的解析式進(jìn)行配湊變形，使它能用g(x)表示出來(lái)，再用x代替兩邊所有的“g(x)”即可．(3)待定系數(shù)法：若已知f(x)的解析式的類(lèi)型，設(shè)出它的一般形式，根據(jù)特殊值確定相關(guān)的系數(shù)即可．(4)方程組法(或消元法)：當(dāng)同一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系中的兩個(gè)之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)關(guān)系時(shí)，可構(gòu)造方程組求解．知識(shí)點(diǎn)11：分段函數(shù)求值(1)分段函數(shù)求值的方法①先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間．②然后代入該段的解析式求值．當(dāng)出現(xiàn)f(f(x0))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．(2)已知分段函數(shù)的函數(shù)值求對(duì)應(yīng)的自變量的值，可分段利用函數(shù)解析式求得自變量的值，但(3)若分段函數(shù)的自變量含參數(shù)，要考慮自變量整體的取值屬于哪個(gè)范圍，從而根據(jù)對(duì)應(yīng)的解析式整體代入，轉(zhuǎn)化為方程或不等式問(wèn)題．【題型1對(duì)函數(shù)概念的理解】【例1】（20232024?高一上?山東青島?期中）中國(guó)清朝數(shù)學(xué)家李善蘭在1859年翻譯《代數(shù)學(xué)》中首次將“function”譯做：“函數(shù)”，沿用至今，書(shū)中解釋說(shuō)“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”.已知集合M=1,2,3，N=1,2,3A.B．C． D．【變式11】（20232024?高一上?山東濱州?期中）（A．函數(shù)值域中的每一個(gè)數(shù)在定義域中都有數(shù)與之對(duì)應(yīng)B．函數(shù)的定義域和值域一定是無(wú)限集合C．對(duì)于任何一個(gè)函數(shù)，如果x不同，那么y的值也不同D．fa表示當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)f【變式12】（20232024?高一上?山東泰安?階段測(cè)試）若函數(shù)y=fx的定義域M={x|?2≤x≤2}，值域N={y|0≤y≤2}，則函數(shù)y=fA．

B．

C．

D．

【變式13】（20232024?高一上?山東濰坊?期中）存在函數(shù)fA．fx=1C．fx=2x【題型2求函數(shù)的定義域】【例2】（20232024?高一上?山東臨沂?期中）A. B.C. D.【變式21】（20232024?高一上?山東普高聯(lián)考?期中）【變式22】（20232024?高一上?山東德州?期中）已知集合A={x∣?1≤x?1<2}，集合B=A．{x∣0≤x<1} B．x∣0≤x≤1 C．{x∣1<x<3} D．{x∣1≤x<3}【變式23】（20232024?高一上?山東濰坊高密?月考）已知集合A是函數(shù)y=120?8x?x2的定義域，集合B是不等式x2?2x+1?(1)求集合A，集合B；(2)若?p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【題型3求函數(shù)值或由函數(shù)值求參】【例3】（20232024?高一上?山東臨沂?期中）已知【變式31】（20232024?高一上?山東青島?期中）已知函數(shù)fA．?1 B．?3 C．3 D．1【變式32】（20232024?高三下?山東菏澤?月考）已知fx對(duì)于任意x,y∈R，都有fx+yA．4 B．8 C．64 D．256【變式33】（20232024?高一上?山東濟(jì)寧?（1）求f3，f（2）若fa=?4，求【題型4求函數(shù)的值域】【例4】（20232024?高一上?山東泰安?期中）（多選）A．y=x B．y=x?2 C．y=【變式41】（20222023?高一上?山東淄博?期中A．{x|x?0} B．xx≥0且C．{x|x≠1} D．{x|x>【變式42】（20222023?高一上?山東日照?月考）已知函數(shù)y=1?x+x+3的最大值為【變式43】（20232024?高一上?山東煙臺(tái)?月考）（多選）A．y=4xx≥12C．y=x4+1【題型5由函數(shù)的定義域或值域求參數(shù)】【例5】（20232024?高一上?山東德州?月考）若函數(shù)fx=x2A．2 B．3 C．4 D．5【變式51】（20232024?高一上?山東臨沂?月考）若函數(shù)y=A．(0,+∞) B．?∞,0 C．【變式52】（20232024?高一上?山東濟(jì)南?期中）已知函數(shù)的定義域與值域均為，則實(shí)數(shù)的取值為（A.4 B.2 C.1 D.1【變式53】（20232024?高一上?山東棗莊?(1)若fx的定義域?yàn)閇－2,1]，求實(shí)數(shù)a(2)若fx的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a【題型6判斷兩個(gè)函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù)】【例6】（20232024?高一上?山東棗莊?月考）（A．y=x與y=x2x B．C．y=x2與y=x D．【變式61】（20232024?高一上?山東青島?A．fx=x2，gxC．fx=1，gx=x【變式62】（20232024?高一上?山東青島?期中）（A．f(x)=x2B．f(x)=x2C．f(x)=xxD．f(x)=x+1?【變式63】（20232024?高一上?山東泰安?期中）（A．f(x)=?2x3與C．fx=x0與g(【題型7函數(shù)的表示法】【例7】（20232024?高一上?山東濱州?期中）已知函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表所示，函數(shù)的圖象是如圖所示，則的值為（123431A.1 B.0 C.3 D.4【變式71】（20232024?高一上?山東煙臺(tái)?月考）若函數(shù)y=fx的定義域?yàn)锳． B．C． D．【變式72】（20232024?高一上?山東臨沂?（1）我騎著車(chē)離開(kāi)家后一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時(shí)間；（2）我離開(kāi)家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是返回家里找到了作業(yè)本再上學(xué)；（3）我從家出發(fā)后，心情輕松，一路緩緩加速行進(jìn).A.B.C.D.【變式73】（20232024?高一上?山東德州?階段測(cè)試）在函數(shù)y=x,x∈?1,1的圖象上有一點(diǎn)Pt,t，此函數(shù)與xA．B．C．D．【題型8函數(shù)解析式的求解】【例8】（20232024?高一上?山東淄博?期中）已知函數(shù)fx?1A．0 B．1 C．2 D．3【變式81】（20232024?高一上?山東青島?月考）（多選）已知一次函數(shù)滿(mǎn)足，則A． B．C． D．【變式82】（20232024?高一上?山東濰坊?期中）定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x?1)=2f(x)，當(dāng)0<x≤1時(shí)，f(x)=x(x+1)，則當(dāng)1<x≤2A．x(x?1) B．x(1?x) C．x(x?1)2