第四章第一節(jié)　導數(shù)的概念及其意義導數(shù)的運算

第四章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用第一節(jié)導數(shù)的概念及其意義、導數(shù)的運算【課程標準】1.了解導數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導數(shù).2.通過函數(shù)圖象,理解導數(shù)的幾何意義.3.能夠用導數(shù)公式和導數(shù)的運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù),能求簡單的復合函數(shù)的導數(shù).【考情分析】考點考法:高考命題常以導數(shù)的運算和幾何意義為重點考查內(nèi)容,考查形式以選擇題、填空題為主,屬于中檔題.核心素養(yǎng):數(shù)學抽象、數(shù)學運算、直觀想象【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.導數(shù)的概念(1)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)記作f'(x0)或y'|x(2)函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)2.導數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)的幾何意義就是曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率,相應的切線方程為yf(x0)=f'(x0)(xx0).【微點撥】求曲線的切線時,要分清在點P處的切線與過點P的切線的區(qū)別,前者點P是切點,只有一條切線,而后者點P可以不是切點包括了前者.3.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式基本初等函數(shù)導函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))f'(x)=0f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)f'(x)=αxf(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=sinxf(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=axlnaf(x)=exf'(x)=exf(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=1f(x)=lnxf'(x)=14.導數(shù)的運算法則若f'(x),g'(x)存在,則有[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);[f(x)g(x)]'[cf(x)]'=cf'(x).5.復合函數(shù)的定義及其導數(shù)(1)一般地,對于兩個函數(shù)y=f(u)和u=g(x),如果通過中間變量u,y可以表示成x的函數(shù),那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)與u=g(x)的復合函數(shù),記作y=f(g(x)).(2)復合函數(shù)y=f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導數(shù)間的關(guān)系為y'x=y'u·u'x,即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積.【微點撥】在復合函數(shù)求導中要分清每一步求導是哪個變量對哪個變量的求導,不能混淆.【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯高考題號13421.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論錯誤的是()A.f'(x0)是函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的瞬時變化率B.函數(shù)f(x)=sin(x)的導數(shù)f'(x)=cosxC.求f'(x0)時,可先求f(x0),再求f'(x0)D.曲線y=f(x)在某點處的切線與曲線y=f(x)過某點的切線意義是相同的【解析】選BCD.Bf(x)=sin(x)=sinx,則f'(x)=cosx.×C求f'(x0)時,應先求f'(x),再代入求值,錯誤.×D“在某點”的切線是指以該點為切點的切線,因此此點橫坐標處的導數(shù)值為切線的斜率;而對于“過某點”的切線,則該點不一定是切點,要利用解方程組的思想求切線的方程,在曲線上某點處的切線只有一條,但過某點的切線可以不止一條.×2.(2023·全國甲卷)曲線y=exx+1在點(1,e2)A.y=e4x B.y=e2C.y=e4x+e4 D.y=e2【解析】選C.設(shè)曲線y=exx+1在點(1,e2)處的切線方程為ye2因為y=ex所以y'=ex(x所以k=e4所以ye2=e4(所以曲線y=exx+1在點(1,e2)處的切線方程為y=e3.(選擇性必修二·P81T6·變形式)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f'(π4)cosxsinx,則f'(π4)=1【解析】f'(x)=f'(π4)sinxcosx令x=π4,得f'(π4)=22f'(π解得f'(π4)=124.(混淆在點P處的切線和過P點的切線)已知曲線y=aex+xlnx在點(1,ae)處的切線方程為y=2x+b,則a的值為1e;b的值為1【解析】y'=aex+lnx+1,所以ae+1=2,【巧記結(jié)論·速算】1.奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù),周期函數(shù)的導數(shù)還是周期函數(shù).2.函數(shù)y=f(x)的導數(shù)f'(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢,其正負號反映了變化的方向,其大小|f'(x)|反映了變化的快慢,|f'(x)|越大,曲線在這點處的切線越“陡”.【即時練】1.已知函數(shù)f(x)滿足以下三個條件:①f(x)的導函數(shù)f'(x)為奇函數(shù);②f(0)≠0;③在區(qū)間[2,1]上單調(diào)遞增,則f(x)的一個解析式為f(x)=x2+1(答案不唯一).

【解析】由條件①知f(x)為偶函數(shù),可設(shè)f(x)=ax2+c,因為f(0)≠0,所以c≠0,又f(x)在區(qū)間[2,1]上單調(diào)遞增,所以a<0,因此滿足條件的一個解析式為f(x)=x2+1.2.(多選題)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,f'(x)是f(x)的導函數(shù),則下列結(jié)論正確的是()A.f'(3)>f'(2) B.f'(3)<f'(2)C.f(3)f(2)>f'(3) D.f(3)f(2)<f'(2)【解析】選BCD.由題圖可知,f'(2)>f'(3)>0,故A錯誤,B正確.設(shè)A(2,f(2)),B(3,f(3)),則f(3)f(2)=f(3)-f由題圖知f'(3)<kAB<f'(2),即f'(3)<f(3)f(2)<f'(2),故C,D正確.【核心考點·分類突破】考點一導數(shù)的概念[例1](1)已知函數(shù)f(x)可導,則f(2+2Δx)-A.f'(x) B.f'(2) C.f(x) D.f(2)【解析】選B.因為函數(shù)f(x)可導,所以f'(x)=f(x所以f(2+2Δx)-f(2)函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[1,2]上的平均變化率為3,在x=2處的導數(shù)為4.

【解析】函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[1,2]上的平均變化率為22-122-1=3;因為f'(x)=2x,所以f(x(3)(多選題)環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強污水治理,排放未達標的企業(yè)要限期整改,設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時間t的關(guān)系為W=f(t),用f(b)-f(a)b-a的大小評價在[下列四個結(jié)論正確的是()A.在[t1,t2]這段時間內(nèi),甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強B.在t2時刻,甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強C.在t3時刻,甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標D.甲企業(yè)在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]這三段時間中,在[0,t1]的污水治理能力最強【解析】選ABC.f(b)-f(a)b-a表示區(qū)間端點連線斜率的負數(shù),在[t1,t2]在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]這三段時間中,甲企業(yè)在[t1,t2]這段時間內(nèi),斜率最小,其相反數(shù)最大,即在[t1,t2]的污水治理能力最強,D錯誤;在t2時刻,甲切線的斜率比乙的小,所以甲切線的斜率的相反數(shù)比乙的大,甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強,B正確;在t3時刻,甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水達標排放量以下,所以都已達標,C正確.【解題技法】求函數(shù)y=f(x)在點x0處導數(shù)的步驟(1)求函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)f(x0);(2)求平均變化率ΔyΔx(3)得導數(shù)f'(x0)=,簡記作:一差、二比、三極限.【對點訓練】1.(多選題)某市開始全面實施垃圾分類,家庭廚余垃圾的分出量不斷增加.已知甲、乙兩個小區(qū)在[0,t]這段時間內(nèi)的家庭廚余垃圾的分出量Q與時間t的關(guān)系如圖所示.下列四個結(jié)論正確的是()A.在[t1,t2]這段時間內(nèi),甲小區(qū)的平均分出量比乙小區(qū)的平均分出量大B.在[t2,t3]這段時間內(nèi),乙小區(qū)的平均分出量比甲小區(qū)的平均分出量大C.在t2時刻,甲小區(qū)的分出量比乙小區(qū)的分出量增長得慢D.甲小區(qū)在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]這三段時間中,在[t2,t3]的平均分出量最大【解析】選BC.對于A,在[t1,t2]這段時間內(nèi),甲的增長量小于乙的增長量,所以甲的平均分出量小于乙,說法錯誤.對于B,在[t2,t3]這段時間內(nèi),甲的增長量小于乙的增長量,所以乙的平均分出量大于甲,說法正確.對于C,在t2時刻,乙的圖象比甲的圖象陡,瞬時增長率大,說法正確.對于D,甲的圖象大致為一條直線,所以三個時間段的平均分出量相等,說法錯誤.2.如圖,函數(shù)f(x)的圖象是折線段f(x),其中A,B,C的坐標分別為(0,4),(2,0),(6,4),則f(1+Δx【解析】由題圖可得在x∈[0,2]上,函數(shù)圖象上每一點處的斜率都是4-00-2=2.由導數(shù)的幾何意義知考點二導數(shù)的運算[例2](1)(多選題)下列求導正確的是()A.[(3x+5)3]'=9(3x+5)2B.(x3lnx)'=3x2lnx+x2C.(2sinxx2)D.(2x+cosx)'=2xln2sinx【解析】選ABD.對于A,[(3x+5)3]'=3(3x+5)2(3x+5)'=9(3x+5)2,故A正確;對于B,(x3lnx)'=(x3)'lnx+x3(lnx)'=3x2lnx+x2,故B正確;對于C,(2sinxx2)'=(2sinx)'x對于D,(2x+cosx)'=(2x)'+(cosx)'=2xln2sinx,故D正確.(2)已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f'(x),且滿足f(x)=x3+x2f'(1)+2x1,則f'(2)=()A.1 B.9 C.6 D.4【解析】選C.因為f(x)=x3+x2f'(1)+2x1,所以f'(x)=3x2+2xf'(1)+2,把x=1代入f'(x),得f'(1)=3×12+2f'(1)+2,解得f'(1)=5,所以f'(x)=3x210x+2,所以f'(2)=6.(3)求下列函數(shù)的導數(shù):①y=(3x34x)(2x+1);②y=lnx③y=11-2x2;④y=cos(3【解析】①方法一:y=(3x34x)(2x+1)=6x4+3x38x24x,所以y'=24x3+9x216x4.方法二:y'=(3x34x)'·(2x+1)+(3x34x)(2x+1)'=(9x24)(2x+1)+(3x34x)·2=24x3+9x216x4.②y'=(lnxx2+2xx2)'=(lnxx2)'+(=1-③設(shè)y=u-12,u=12則y'x=y'u·u'x=(u-12)'·(12x=12u-3=12(12x2)-32=2x(12x2)-④y'=sin(3x2π6)(3x2π6=6xsin(3x2π6)【解題技法】導數(shù)的運算技巧(1)連乘積形式函數(shù)式求導:先展開化為多項式的形式,再求導.(2)分式形式函數(shù)式求導:觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù),再求導.(3)對數(shù)形式函數(shù)式求導:先化為和、差的形式,再求導.(4)根式形式函數(shù)式求導:先化為分數(shù)指數(shù)冪的形式,再求導.(5)三角形式函數(shù)式求導:先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式,再求導.【對點訓練】1.(多選題)下列求導運算正確的是()A.若f(x)=sin(2x+3),則f'(x)=2cos(2x+3)B.若f(x)=e2x+1,則f'(x)=e2x+1C.若f(x)=xex,則f'(xD.若f(x)=xlnx,則f'(x)=lnx+1【解析】選ACD.f(x)=sin(2x+3),f'(x)=cos(2x+3)·(2x+3)'=2cos(2x+3),故A正確;f(x)=e2x+1,則f'(x)=2e2x+1,故B錯誤;f(x)=xex,f'(x)=ex-xexf(x)=xlnx,f'(x)=(x)'lnx+x(lnx)'=lnx+1,故D正確.2.已知f(x)=x(2022+lnx),若f'(x0)=2023,則x0=()A.e2 B.1 C.ln2 D.e【解析】選B.f'(x)=2022+lnx+x·1x=2023+lnx,故由f'(x0)=2023,得2023+lnx02023,則lnx0=0,解得x0=1.3.函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f'(x),若f(x)=x2+f'(π3)sinx,則f(π6)=π【解析】因為f'(x)=2x+f'(π3)cosx所以f'(π3)=2π3+12f'(所以f'(π3)=4π所以f(x)=x2+4π3sinx所以f(π6)=π2364.求下列函數(shù)的導數(shù):(1)y=x(x2+1x+1x3);(2)y=x2(3)y=x2x;(4)y=ln【解析】(1)因為y=x3+1x所以y'=3x22x(2)y'=(x2)'sinx+x2(sinx)'=2xsinx+x2cosx.(3)因為y=x2x=2所以y'=(2x32)'(4)y'=(=1x(x考點三導數(shù)的幾何意義角度1求切線方程[例3](1)金榜原創(chuàng)·易錯對對碰已知曲線f(x)=x34x2+5x4.①曲線在點(2,f(2))處的切線方程為xy4=0;

②曲線過點(2,f(2))的切線方程為xy4=0或y+2=0.

【解析】①因為f'(x)=3x28x+5,所以f'(2)=1,又f(2)=2,所以曲線f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y(2)=x2,即xy4=0.②設(shè)切點坐標為(x0,x034x02因為f'(x0)=3x028x所以切線方程為y(2)=(3x028x0+5)(又切線過點(x0,x034x02所以x034x02+5x02=(3x028整理得(x02)2(x01)=0,解得x0=2或x0=1,所以經(jīng)過點(2,2)的曲線f(x)的切線方程為xy4=0或y+2=0.(2)(2023·臨沂模擬)函數(shù)f(x)=xln(x),則曲線y=f(x)在x=e處的切線方程為2xy+e=0.

【解析】易得切點為(e,e),f'(x)=ln(x)+1,則f'(e)=2,所以切線方程為y(e)=2(x+e),即2xy+e=0.(3)(2022·新高考Ⅱ卷)曲線y=ln|x|過坐標原點的兩條切線的方程分別為y=1ex,y=1e【解析】因為y=ln|x|,當x>0時y=lnx,設(shè)切點為(x0,lnx0),由y'=1x,所以y'|x=x0=1x0,所以切線方程為ylnx0又切線過坐標原點,所以lnx0=1x0(x0),解得x0=e,所以切線方程為y1=1e(xe),即y=當x<0時y=ln(x),設(shè)切點為(x1,ln(x1)),由y'=1x,所以y'|x=x1=1x1,所以切線方程為yln(x1又切線過坐標原點,所以ln(x1)=1x1(x1),解得x1=e,所以切線方程為y1=1-e(x+e),即【解題技法】求曲線過點P的切線方程的方法(1)當點P(x0,y0)是切點時,切線方程為yy0=f'(x0)(xx0);(2)當點P(x0,y0)不是切點時,可分以下幾步完成:第一步:設(shè)出切點坐標P'(x1,f(x1));第二步:寫出過點P'(x1,f(x1))的切線方程yf(x1)=f'(x1)(xx1);第三步:將點P的坐標(x0,y0)代入切線方程求出x1;第四步:將x1的值代入方程yf(x1)=f'(x1)(xx1)可得過點P(x0,y0)的切線方程.角度2求切點坐標[例4](1)已知曲線y=x223lnx的一條切線的斜率為2,則切點的橫坐標為(A.3 B.2 C.1 D.1【解析】選A.設(shè)切點坐標為(x0,y0),且x0>0,由y'=x3x,得切線斜率k=x03x0=2,所以x(2)(2023·貴陽模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a1)x2+ax,若f(x)為奇函數(shù),且曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線與直線x+y=0垂直,則切點P(x0,f(x0))的坐標為(0,0).

【解析】因為f(x)=x3+(a1)x2+ax,所以f'(x)=3x2+2(a1)x+a.又f(x)為奇函數(shù),所以f(x)=f(x)恒成立,即x3+(a1)x2ax=x3(a1)x2ax恒成立,所以a=1,f'(x)=3x2+1,令3x02+1=1,得x0=0,f(x0)=0,所以切點P(x0,f(x0))的坐標為【解題技法】求切點坐標的思路(1)已知切線方程(或斜率)求切點的一般思路是先求函數(shù)的導數(shù),再讓導數(shù)等于切線的斜率,從而求出切點的橫坐標,將橫坐標代入函數(shù)解析式求出切點的縱坐標.(2)已知曲線外一點求切點的一般思路是先設(shè)出切點坐標,列出切線方程,將切點代入曲線方程,已知點代入切線方程聯(lián)立方程組求出切點坐標.角度3求參數(shù)的值(范圍)[例5](1)(2023·重慶模擬)已知a為非零實數(shù),直線y=x+1與曲線y=aln(x+1)相切,則a=e.

【解析】設(shè)切點坐標為(t,aln(t+1)),對函數(shù)y=aln(x+1)求導得y'=ax所以at+1=1,aln((2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標原點的切線,則a的取值范圍是(∞,4)∪(0,+∞).

【解析】因為y=(x+a)ex,所以y'=(x+1+a)ex,設(shè)切點為(x0,y0),則y0=(x0+a)ex0,切線斜率k=(x0+1+a)ex0,切線方程為:y(x0+a)ex0=(x0+1+a)ex所以(x0+a)ex0=(x0+1+a)ex0整理得x02+ax0因為切線有兩條,所以Δ=a2+4a>0,解得a<4或a>0,故a的取值范圍是(∞,4)∪(0,+∞).【解題技法】利用導數(shù)的幾何意義求參數(shù)的方法利用切點的坐標、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組),進而求出參數(shù)的值或取值范圍.提醒:(1)注意曲線上橫坐標的取值范圍;(2)謹記切點既在切線上又在曲線上.【對點訓練】1.(2023·大同模擬)已知函數(shù)f(x)=2e2lnx+x2,則曲線y=f(x)在點(e,f(e))處的切線方程為()A.4exy+e2=0 B.4exye2=0C.4ex+y+e2=0 D.4ex+ye2=0【解析】選B.因為f(x)=2e2lnx+x2,所以f'(x)=2e2x所以f(e)=2e2lne+e2=3e2,f'(e)=4e,所以曲線y=f(x)在點(e,f(e))處的切線方程為y3e2=4e(xe),即4exye2=0.2.(2023·瀘州模擬)已知曲線y=acosxx在點(π,aπ)處的切線方程為y=2π2x+b,A.4π B.2 C.4π D【解析】選D.令y=f(x)=acos則f'(x)=-a曲線在點(π,aπ)處的切線的斜率為f'(π)=aπ2=2π23.設(shè)a∈R,函數(shù)f(x)=ex+aex是偶函數(shù),若曲線y=f(x)的一條切線的斜率是32,【解析】由f(x)為偶函數(shù),易得a=1.所以f(x)=ex+ex,f'(x)=exex.設(shè)切點為(x0,y0),則f'(x0)=ex0e-x0=32【重難突破】兩曲線的公切線問題的求法解決兩曲線的公切線問題的兩種方法(1)利用其中一曲線在某點處的切線與另一曲線相切,列出關(guān)系式求解.(2)設(shè)公切線l在y=f(x)上的切點P1(x1,f(x1)),在y=g(x)上的切點P2(x2,g(x2)),則f'(x1)=g'(x2)=f(類型一求兩曲線的公切線[例1](2023·湘潭模擬)已知直線l是曲線y=ex1與y=lnx+1的公共切線,則l的方程為y=ex1或y=x.

【解析】直線l與曲線y=ex1相切,設(shè)切點為(a,ea1),y'=ex,切線的斜率為ea,切線方程為yea+1=ea(xa),即y=eaxaea+ea1.直線l與y=lnx+1相切,設(shè)切點為(b,lnb+1),y'=1x,切線的斜率為1b,切線方程為ylnb1=1b(xb),即y=1bx+lnb.直線l是曲線y=ex1與y=lnx+1解得a=1,所以l的方程為y=ex1或y=x.類型二切點相同的公切線問題[例2](2023·金華模擬)已知函數(shù)f(x)=ax2與g(x)=lnx的圖象在公共點處有共同的切線,則實數(shù)a的值為12e【解析】設(shè)公共點為P(x0,y0)(x0>0),則ax02=lnx由f(x)=ax2,得f'(x)=2ax,由g(x)=lnx,得g'(x)=1x因為函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在公共點P(x0,y0)處有共同的切線,所以f'(x0)=g'(x0),即2ax0=1x0,得a=所以12x02·x即lnx0=12,得x0=e所以a=12x02