河北省承德市聯(lián)校高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題

承德市聯(lián)校2017～2018學(xué)年上學(xué)年高三數(shù)學(xué)期末考試卷（理科）考生注意：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題)兩部分，共150分。考試時間120分鐘.2.請將各題答案填在答題卡上.3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合,，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，故.2.已知,為虛數(shù)單位，若的實部與虛部互為相反數(shù)，則（）A.3B.1C.D.【答案】C【解析】，依題意.3.某城市收集并整理了該市2017年1月份至10月份各月最低氣溫與最高氣溫（單位；）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖。已知該市的各月最低氣溫與最高氣溫具有較好的線性關(guān)系，則根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是A.最低氣溫與最高氣溫為正相關(guān)B.10月的最高氣溫不低于5月的最高氣溫C.月溫差（最高氣溫減最低氣溫）的最大值出現(xiàn)在1月D.最低氣溫低于的月份有4個【答案】D【解析】由圖可以看出，當(dāng)最低氣溫較大時，最高氣溫也較大，故A正確；10月份的最高氣溫大于20，而5月份的最高氣溫為不超過20，故B正確；從各月的溫差看，1月份的溫差最大，故C正確；而最低氣溫低于的月份是1，2，4三月份，故D錯，選D.4.已知正項等比數(shù)例的前項和為，,則（）A.64B.32C.16D.8【答案】B5.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有陽馬，廣五尺，褒七尺，高八尺，問積幾何?”其意思為：“今有底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，它的底面長、寬分別為7尺和5尺，高為8尺，問它的體積是多少?”若以上的條件不變，則這個四棱錐的外接球的表面積為（）A.平方尺B.平方尺C.平方尺D.平方尺【答案】C【解析】將該幾何體補形為長方體，外接球的直徑即為長方體的對角線，即，故其表面積是.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的（）A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】，故輸出.7.將曲線上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線，則在上的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】將曲線：上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度可得，令，得，再令，得，則在上的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選B.8.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為，若直線上存在區(qū)城內(nèi)的點，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】畫出可行域如下圖，直線恒過定點，由圖可知，，及.9.函數(shù)的部分圖像大致是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由于故函數(shù)為奇函數(shù)，排除選項.令，，排除選項.由于分母不為零，分子為增函數(shù)且為奇函數(shù)，有且僅有個零點（），排除選項.故選.10.某幾何體的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則該幾何體的表面積為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由三視圖可知，該幾何體為四棱錐.故其表面積為.【點睛】本題主要考查三視圖還原回直觀圖，考查椎體的表面積等知識.三視圖主俯長對正、主左高平齊、俯左寬相等,即：,主視圖和俯視圖的長要相等,主視圖和左視圖的高要相等,左視圖和俯視圖的寬要相等。首先要注意三視圖的一些性質(zhì),主視圖和左視圖如果都是三角形的必然是椎體，要么是棱錐要么是圓錐。11.已知點在雙曲線上，，分別為雙曲線的左、右頂點，離心率為，若為等腰三角形，且頂角為，則（）A.B.2C.3D.【答案】D【解析】不妨設(shè)點在第一象限，因為為等腰三角形，其頂角為，則的坐標(biāo)為，代入雙曲線的方程得，故選D.12.已知，若對任意的，不等式恒成立，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】令，，由于，所以為增函數(shù)，注意到當(dāng)時，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在處取得極小值也是最小值，并且這個最小值為.故選選項.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.若向量與的夾角為，，，則__________．【答案】5【解析】.14.若,則__________．【答案】4【解析】因為，故答案為.15.設(shè)等差數(shù)列滿足，,則的最大值為________．【答案】512【解析】依題意有，解得，故.，故當(dāng)時，取得最大值為.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式與前項和公式，考查二次函數(shù)的最值，考查指數(shù)運算.第一步先用基本元的思想，將已知條件轉(zhuǎn)化為首項和公差的形式，求出首項和公差以及通項公式.第二步用指數(shù)運算和等差數(shù)列求和公式化簡所求的式子.第三步用二次函數(shù)求最值的方法求得最大值.16.已知點是拋物線上一點，為坐標(biāo)原點，若，是以點為圓心，的長為半徑的圓與拋物線的兩個公共點，且為等邊三角形，則的值是__________．【答案】【解析】點A在線段OM的中垂線上，又，所以可設(shè)，由的坐標(biāo)代入方程有：解得：點睛：求拋物線方程時，首先弄清拋物線的對稱軸和開口方向，正確地選擇拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.三、解答題:本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，角.，所對的邊分別為,，,且.（1）求B；（2）若，，，求的面積.【答案】(1)；(2).【解析】試題分析：（1）把邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系為，從而有即.（2）利用余弦定理有，解得，從而面積為.解析：（1）因為，所以，而，故，所以.（2）由，得，化簡得，解得，或（舍去），所以.18.唐三彩，中國古代陶瓷燒制工藝的珍品，它吸取了中國國畫、雕塑等工藝美術(shù)的特點，在中國文化中占有重要的歷史地位，在陶瓷史上留下了濃墨重彩的一筆.唐三彩的生產(chǎn)至今已有1300多年的歷史，制作工藝十分復(fù)雜，它的制作過程必須先后經(jīng)過兩次燒制，當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M入第二次燒制，兩次燒制過程相互獨立。某陶瓷廠準(zhǔn)備仿制甲、乙、丙三件不同的唐三彩工藝品，根據(jù)該廠全面治污后的技術(shù)水平，經(jīng)過第一次燒制后，甲、乙、丙三件工藝品合格的概率依次為，，，經(jīng)過第二次燒制后，甲、乙、丙三件工藝品合格的概率依次為，，.（1）求第一次燒制后甲、乙、丙三件中恰有一件工藝品合格的概率；（2）經(jīng)過前后兩次燒制后，甲、乙、丙三件工藝品成為合格工藝品的件數(shù)為，求隨機變量的數(shù)學(xué)期望.【答案】(1);(2).【解析】試題分析：(1)由題意結(jié)合概率公式可得第一次燒制后甲乙丙三件中恰有一件工藝品合格的概率為；(2)由題意可得題中的分布列為二項分布，則隨機變量的數(shù)學(xué)期望為1.2.試題解析：分別記甲乙丙第一次燒制后合格為事件,（1）設(shè)事件表示第一次燒制后恰好有一件合格，則.（2）因為每件工藝品經(jīng)過兩次燒制后合格的概率均為，所以隨機變量，所以.19.如圖，在三棱臺中，，分別是，的中點，平面,是等邊三角形，,,.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】(1)見解析；(2).【解析】試題分析：（1）根據(jù)棱臺的性質(zhì)和三角形的中位線可以得到，從而得到平面.在梯形中，（為棱的中點），所以平面，從而可以證明平面平面，也就能得到平面.（2）以所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，通過計算平面和平面的法向量的夾角得到二面角的正弦值為.解析：（1）證明：因為,為棱的中點，所以,所以四邊形為平行四邊形，從而.又平面,平面,所以平面.因為是的中位線,所以,同理可證,平面.因為,所以平面平面.又平面,所以平面.（2）以所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,則.設(shè)平面的一個法向量,則即取，得.同理，設(shè)平面的一個法向量，又,由，得取，得.所以，即二面角的正弦值為.點睛：線面平行的證明可從兩個角度考慮：（1）利用線面平行的判斷定理；（2）轉(zhuǎn)化為面面平行.空間角的計算可利用空間向量去計算，如二面角可以轉(zhuǎn)化法向量的夾角去考慮，線面角可以轉(zhuǎn)化方向向量和法向量的夾角去考慮.20.已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，且橢圓經(jīng)過點，（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)不與坐標(biāo)軸平行的直線交橢圓于兩點，，記直線在軸上的截距為，求的最大值.【答案】(1);(2).【解析】試題分析：(1)結(jié)合題意可求得，則橢圓的方程為.(2)聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理討論可得直線在軸上的截距的最大值為.試題解析：（1）因為，所以橢圓的方程為，把點的坐標(biāo)代入橢圓的方程，得，所以，橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得，由，得，所以，所以由，得，令，所以，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，上式取等號，此時，，滿足，所以的最大值為.21.設(shè)函數(shù)，.（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）設(shè)，點是曲線與的一個交點，且這兩曲線在點處的切線互相垂直，證明：存在唯一的實數(shù)滿足題意，且.【答案】(1);(2)見解析。;【解析】【試題分析】（1）求導(dǎo)后令導(dǎo)數(shù)大于或等于零，然后分離參數(shù)，利用恒成立可求得的取值范圍.（2）將兩條切線相互垂直轉(zhuǎn)化為在點的導(dǎo)數(shù)乘積為，結(jié)合切點坐標(biāo)可求得切點橫坐標(biāo)所滿足的一個等式，通過分類討論可得存在唯一實數(shù)滿足題意.【試題解析】（1）解：由題意知，所以，由題意，，即對恒成立，又當(dāng)時，，所以.（2）證明：因為，,所以，即.①又點是曲線與的一個交點，所以.②由①②消去，得.（ⅰ）當(dāng)時，因為.所以，且，此與②式矛盾.所以在上沒有適合題意.（ⅱ）當(dāng)時，設(shè)，.則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上至多有一個零點.因為，，且的圖象在上不間斷，所以函數(shù)在有唯一零點.即只有唯一的，使得成立，且.綜上所述，存在唯一的,且.22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)程為（為參數(shù)），設(shè)直線與的交點為,當(dāng)變化時點的軌跡為曲線.（1）求出曲線的普通方程；（2）以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，點為曲線的動點，求點到直線的距離的最小值.【答案】（1）的普通方程為;(2)的最小值為.【解析】【試題分析】（1）利用加減消元法，消去參數(shù)，可將轉(zhuǎn)化為普通方程.將兩方程聯(lián)立，消去可得的普通方程.（2）先將直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，寫出的參數(shù)方程，利用點到直線的距離公式和三角函數(shù)輔助角公式，可求得距離的最小值.【試題解析】（1）將，的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，①，②①×②消可得：，因為，所以，所以的普通方程為.（2）直線的直角坐標(biāo)方程為：.由（1)知曲線與直線無公共點，由于的參數(shù)方程為（為參數(shù)，，），所以曲線上的點到直線的距離為，所以當(dāng)時，的最小值為.23.已知函數(shù)，.（1）求不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式的解集非空，求的取值范圍.【答案】(1)的解集為;(2)的取值范圍是.【解析】【試題分析】（1）利用零點分段法，去絕對值，對每一段解不等式然后取并集.（2）利用