專題54相交線與垂線（考點分類拓展）-2023-2024學年七年級數(shù)學下冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（人教版）

專題5.4相交線與垂線（考點分類拓展）【考點目錄】【考點1】旋轉(zhuǎn)問題；【考點2】折疊與重合問題；【考點3】最值問題；【考點4】三角板角度計算問題；單選題【考點1】旋轉(zhuǎn)問題1．（2022上·內(nèi)蒙古烏海·七年級?？计谀┤鐖D，點O在直線AB上，過O作射線OC，∠BOC＝120°，一直角三角板的直角頂點與點O重合，邊OM與OB重合，邊ON在直線AB的下方．若三角板繞點O按每秒10°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為（

）A．5 B．6 C．5或23 D．6或242．（2022下·北京·七年級北理工附中?？计谥校┤鐖D，直線，相交于點，在內(nèi)部畫射線OA，使OC恰為的平分線，在內(nèi)部畫射線OB，使，將直線繞點旋轉(zhuǎn)，下列數(shù)據(jù)與大小變化無關(guān)的是（

）的度數(shù) B．的度數(shù) C．的度數(shù) D．的度數(shù)3．（2021下·北京海淀·七年級統(tǒng)考期中）如圖，直線AB，CD相交于點O，分別作∠AOD，∠BOD的平分線OE，OF．將直線CD繞點O旋轉(zhuǎn)，下列數(shù)據(jù)與∠BOD大小變化無關(guān)的是（

）A．∠AOD的度數(shù) B．∠AOC的度數(shù)C．∠EOF的度數(shù) D．∠DOF的度數(shù)【考點2】折疊與重合問題4．（2022下·山東濟南·六年級統(tǒng)考期末）如圖，在紙片上有一直線l，點A在直線l上，過點A作直線l的垂線、嘉嘉使用了量角器，過90°刻度線的直線a即為所求；淇淇過點A將紙片折疊，使得以A為端點的兩條射線重合，折痕a即為所求，下列判斷正確的是（

）A．只有嘉嘉對 B．只有淇淇對C．兩人都對 D．兩人都不對5．（2018下·七年級課時練習）在同一平面內(nèi)，直線a、b相交于O，b∥c，則a與c的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．相交 C．重合 D．平行或重合【考點3】最值問題6．（2023下·陜西西安·七年級?？计谥校┤鐖D，在中，，于點D，，若點E在邊AB上（不與點A，B重合）移動，則線段最短為（

）

A．3 B．4 C．5 D．67．（2023上·江蘇無錫·八年級無錫市太湖格致中學?？茧A段練習）如圖，直線，垂足為O，點A是射線上一點，，以為邊在右側(cè)作，且滿足，若點B是射線上的一個動點（不與點O重合），連結(jié)，作的兩個外角平分線交于點C，在點B在運動過程中，當線段取最小值時，的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【考點4】三角板角度計算問題8．（2021上·浙江嘉興·七年級統(tǒng)考期末）將一把直尺和一塊三角板如圖疊放，直尺的一邊剛好經(jīng)過直角三角板的直角頂點且與斜邊相交，則與一定滿足的數(shù)量關(guān)系是（）A． B． C． D．9．（2015下·湖北武漢·七年級階段練習）將一直角三角板與兩邊平行的紙條如圖所示放置，若∠1=2∠2，則∠3的度數(shù)是（

）A．100° B．120° C．130° D．150°填空題【考點1】旋轉(zhuǎn)問題10．（2023下·山東威?！ち昙壗y(tǒng)考期末）如圖①，點O在直線上，，，將繞點O以每秒的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖②），當旋轉(zhuǎn)到第t秒時，平分，則t的值為．11．（2023上·河南南陽·七年級校聯(lián)考期末）【動手操作】如圖，點為直線上一點，過點作射線，使．將直角三角板繞點旋轉(zhuǎn)一周，當直線與直線互相垂直時，的度數(shù)是．

12．（2022下·北京·七年級?？茧A段練習）如圖，為直線上一點，將一直角三角板的直角頂點放在點處，一邊在射線上，另一邊在直線的上方．將三角板繞點以每秒3°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周．則經(jīng)過秒后，．13．（2022上·江西贛州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點O在直線AB上，過O作射線OC，∠BOC=100°，一直角三角板的直角頂點與點O重合，邊OM與OB重合，邊ON在直線AB的下方．若三角板繞點O按每秒10°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為．【考點2】折疊與重合問題14．（2015下·七年級課時練習）如圖所示，矩形ABCD沿EF折疊，若∠DEF＝72°，則∠AEG的度數(shù)為．15．（2021上·北京通州·七年級統(tǒng)考期末）點為線段上一點，不與點、重合，于點，若，則的度數(shù)為．【考點3】最值問題16．（2023上·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，D為邊上的任意一點，連接，E為線段上的一個動點，過點E作，垂足為F點．如果，，，則的最小值為．17．（2022下·湖北孝感·七年級統(tǒng)考期末）如圖，于點D，，，，點E是線段上的一個動點（包括端點），連接，那么的最小值是．

【考點4】三角板角度計算問題18．（2023上·山西太原·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將直角三角板的直角頂點落在直線上，射線平分，，將三角板繞點旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中與均指大于且小于的角）．

請從A，B兩題中任選一題作答．我選擇題．A．當三角板整體都在直線上方時，的度數(shù)為（用含的代數(shù)式表示）．B．將三角板繞點旋轉(zhuǎn)一周，的度數(shù)為（用含的代數(shù)式表示）．19．（2023下·江蘇蘇州·七年級星海實驗中學?？奸_學考試）如圖，某位同學將一副三角板隨意擺放在桌上，則圖中的度數(shù)．解答題【考點1】旋轉(zhuǎn)問題20．（2022上·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）已知：O是直線上的一點，是直角，平分鈍角．

（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，平分，求的度數(shù)；（3）當時，繞點O以每秒沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)t秒（），請?zhí)骄亢椭g的數(shù)量關(guān)系．21．（2022上·遼寧沈陽·七年級沈陽市第四十三中學校考期末）如圖1，已知，點O為直線上一點；在直線的上方，．一直角三角板的直角頂點放在點C處，三角板一邊在射線上，另一邊ON在直線的下方．（1）在圖1的時刻，的度數(shù)為，的度數(shù)為；（2）如圖2，當三角板繞點O旋轉(zhuǎn)至一邊恰好平分時，的度數(shù)為；（3）如圖3，當三角板繞點O旋轉(zhuǎn)至一邊在的內(nèi)部時，的度數(shù)為；（4）在三角板繞點O旋轉(zhuǎn)一周的過程中，與的關(guān)系為．【考點2】折疊與重合問題22．（2015下·七年級課時練習）如圖，取一張正方形紙片ABCD．如圖①，折疊∠A，設頂點A落在點A′的位置，折痕為EF；如圖②，折疊∠B，使EB沿EA′的方向落下，折痕為EG．試判斷∠FEG的度數(shù)是否是定值，并說明理由．23．（2022上·江蘇·七年級專題練習）點O為直線l上一點，射線均與直線l重合，如圖1所示，過點O作射線和射線，使得，，作的平分線．（1）求與的度數(shù)；（2）作射線，使得，請在圖2中畫出圖形，并求出的度數(shù)；（3）如圖3，將射線從圖1位置開始，繞點O以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周，作的平分線，當時，求旋轉(zhuǎn)的時間．【考點3】最值問題24．（2018上·江蘇鹽城·七年級校聯(lián)考期末）如圖，、、是平面內(nèi)三點.（1）按要求作圖：①作射線，過點作直線，使、兩點在直線兩旁；②點為直線上任意一點，點為直線上任意一點，連結(jié)線段、；在（1）所作圖形中，若點到直線的距離為2，點到直線的距離為5，點、之間的距離為8，點、之間的距離為6，則的最小值為_______，依據(jù)是_______.25．（2022下·北京·七年級北京市第二中學分校校聯(lián)考期中）如圖，A、B、C是平面內(nèi)三點．（1）按要求作圖：①作射線BC，過點B作直線l，使A、C兩點在直線l兩旁；②點P為直線l上任意一點，點Q為直線BC上任意一點，連接線段AP、PQ；（2）在（1）所作圖形中，若點A到直線l的距離為2，點A到直線BC的距離為5，點A、B之間的距離為8，點A、C之間的距離為6，則AP+PQ的最小值為__________，依據(jù)是__________【考點4】三角板角度計算問題26．（2023下·河北邯鄲·七年級統(tǒng)考期中）如圖，將一塊直角三角板的直角頂點O放在直線上．（1）若線段的長是點C到直線的距離，則點D在直線______（填“上”或“外”）．（2）比較與的大小，并說明理由．27．（2022上·重慶潼南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點是直線上一點，在直線的上方作射線，使，將一個直角三角板的直角頂點放在點處（注：），且直角三角板始終保持在直線的上方．（1）如圖1，若直角三角板的一邊在射線上，則的度數(shù)=______；（2）如圖2，若直角三角板的邊在的內(nèi)部．當平分時，試判斷平分嗎？并說明理由．（3）若，求的度數(shù)．參考答案：1．D【分析】分別討論ON的反向延長線恰好平分銳角∠AOC和ON在∠AOC的內(nèi)部；兩種情況，根據(jù)角平分線的定義及角的和差關(guān)系即可得答案．解：∵∠BOC=120°，∴∠AOC=60°，①如圖，當ON的反向延長線恰好平分銳角∠AOC時，∴∠BON=∠AOC=30°，此時，三角板旋轉(zhuǎn)的角度為90°?30°=60°，∴t=60°÷10°=6；②如圖，當ON在∠AOC的內(nèi)部時，∴∠CON=∠AOC=30°，∴三角板旋轉(zhuǎn)的角度為90°+120°+30°=240°，∴t=240°÷10°=24；∴t的值為：6或24．故選：D．【點撥】此題考查了角平分線的定義及角的運算，解題的關(guān)鍵是靈活運用分類討論的思想．2．B【分析】根據(jù)角平分線和對頂角相等分別找到與各個選項的角度的關(guān)系即可．解：∵，相交于點，∴=，A選項不符合題意；∵OC恰為的平分線，∴=，D選項不符合題意；∵=180°∴=180°，C選項不符合題意；故選：B【點撥】本題主要考查對頂角相等、角平分線的定義，準確找到與各個選項的角度的關(guān)系最后利用排除法得到正確答案是解題的關(guān)鍵．3．C【分析】由角平分線性質(zhì)解得，根據(jù)對角線性質(zhì)、平角性質(zhì)解得，，據(jù)此解題．解：OE，OF平分∠AOD，∠BOD都與∠BOD大小變化有關(guān)，只有∠EOF的度數(shù)與∠BOD大小變化無關(guān)，故選：C．【點撥】本題考查角平分線的性質(zhì)、涉及對頂角、平角等知識，是基礎(chǔ)考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．4．C【分析】根據(jù)垂直的定義即可解答．解：嘉嘉利用量角器畫90°角，可以畫垂線，方法正確；淇淇過點A將紙片折疊，使得以A為端點的兩條射線重合，折痕a垂直直線l，方法正確，故選：C．【點撥】本題主要考查了作圖、垂線的定義，掌握垂直的定義是解答本題的關(guān)鍵．5．B解：根據(jù)平面內(nèi)的直線之間的關(guān)系，由題意可知a與c相交.如圖：故選B.6．D【分析】根據(jù)垂線段最短得到時，線段最短，利用三角形的面積計算方法求出最小值.解：根據(jù)垂線段最短可知，當時，線段最短，這時，∵，∴，故選D.【點撥】此題考查了垂線段最短，三角形的面積，熟練掌握線段的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．7．D【分析】作，，，作射線，由角平分線的性質(zhì)得，可得平分，進而知，，當時，最小，此時點C在處，再由可得答案．解：作于點E，作于點G，作于點H，作射線．

∵平分，，，，∴．同理：，∴，∴平分，∴．∵，∴．根據(jù)題意可知點C在的平分線上運動，當時，最小，此時點C在處．在中，．所以，當線段最小時，的度數(shù)是．故選：D．【點撥】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理和逆定理，垂線段最短，角的和差等，構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．8．D【分析】根據(jù)直角和鄰補角的定義列出關(guān)系式，從而利用等式的性質(zhì)計算求解．解：由題意可得：∠1+∠3=90°，∠2+∠3=180°∴∠3=90°∠1，∠3=180°∠2∴90°∠1=180°∠2∴故選：D．【點撥】本題考查直角和鄰補角的概念及等式的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)正確列關(guān)系式求解是關(guān)鍵．9．D解：試題分析：根據(jù)圖形可得：∠1+∠2=90°，又∠1=2∠2，所以3∠2=90°，所以∠2=30°，又∠3+∠2=180°，所以∠3=180°30°=150°，故選D．考點：1．互余，2．互補．10．60【分析】本題考查角平分線的定義、一元一次方程的幾何應用，先求得，再根據(jù)角平分線的定義得到，然后根據(jù)題意列方程求解即可．正確得到關(guān)于t的方程是解答的關(guān)鍵．解：∵，∴，∵，∴，∵將繞點O以每秒的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)t秒時，平分，∴，則，解得，故答案為：60．11．或【分析】分在直線的右側(cè)和在直線的左側(cè)兩種情況求解即可．解：∵，∴．當在直線的右側(cè)時，如圖，

∵，∴，∴．當在直線的左側(cè)時，如圖，

∵，∴，∴．故答案為：或．【點撥】本題考查了垂直的定義，角的和差計算，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．12．10或70/70或10【分析】分兩種情況討論，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求解．解：如圖，，∵，，∴，，∵將三角板繞點以每秒3°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，∴（秒）；如圖，，∵，，∴，，∵將三角板繞點以每秒3°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，∴旋轉(zhuǎn)角為，∴（秒）；故答案為：10或70．【點撥】本題考查了垂直的定義、角的和差等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，畫出圖形，利用垂直的定義求解即可．13．5或23/23或5【分析】分兩種情況進行討論，分別依據(jù)直線ON恰好平分銳角∠AOC，得到三角板旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，進而得到t的值．解：∵∠BOC=100°，∴∠AOC=80°，當直線ON恰好平分銳角∠AOC時，如下圖：∠BON=∠AOC=40°，此時，三角板旋轉(zhuǎn)的角度為90°40°=50°，∴t=50°÷10°=5；當ON在∠AOC的內(nèi)部時，如下圖：三角板旋轉(zhuǎn)的角度為360°90°40°=230°，∴t=230°÷10°=23；∴t的值為：5或23．故答案為：5或23．【點撥】本題考查了角平分線的定義，應該認真審題并仔細觀察圖形，找到各個量之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．14．36°解：根據(jù)圖形的折疊變換可得∠DEG＝2∠DEF＝144°，根據(jù)鄰補角的性質(zhì)可知∠AEG＝180°－∠DEG＝36°．15．或【分析】分OC，OD在AB的同側(cè)和異側(cè)兩種情況討論來求解．解：如圖,當OC，OD在線段AB的同側(cè)時，，，，，∵，∴,當OC，OD在線段AB的異側(cè)時，反向延長OD到E，，，，，∵，∴,，綜上，或；故答案為：或【點撥】本題主要考查了平角定義，垂線定義及角的計算，討論OC，OD在線段AB的同側(cè)和異側(cè)是解本題的關(guān)鍵．16．/【分析】本題考查了軸對稱最短路線問題，正確運用三角形等面積法是解題的關(guān)鍵．過C作于F，交于E．則的最小值為，利用三角形等面積法求出，即為的最小值．解：過C作于F，交于E，則的最小值為．∵，，，∴，∴CF=，即的最小值為：，故答案為：．17．3【分析】根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)，即可得到當時，取最小值，即可解答．解：由題意得，當時，取最小值，此時，故答案為：3．【點撥】本題考查了垂線段最短，熟知本概念是解題的關(guān)鍵．18．A或B或【分析】選A：根據(jù)補角的定義求出，再根據(jù)角平分線的定義求出，結(jié)合三角板的度數(shù)計算即可；選B：同A的方法計算即可．解：選A：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴；選B：當在上方時，同A可得：；

當在下方時，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴；

故答案為：；或．【點撥】本題考查了角平分線的定義，鄰補角，分類討論等知識；熟練掌握角平分線定義是解題的關(guān)鍵．19．/度【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，再由對頂角相等得到，由此即可得到答案．解：如圖所示，由題意得，，∴，∵，∴，故答案為：．【點撥】本題主要考查了對頂角相等，三角板中角度的計算，正確推出是解題的關(guān)鍵．20．（1）；（2）；（3），；，【分析】（1）根據(jù)是直角和交平分線的性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)是直角和交平分線的性質(zhì)求解即可；（3）分兩種情況討論：時，時．（1）解：∵，∴，∵是直角，∴，∵平分．，∴，∴；（2）解：∵平分，平分，∴，∴，∵是直角，∴；（3）解：①時，由題意得，

∴∴；②時，

由題意得∴∴；【點撥】本題考查相交線，涉及到角平分線的性質(zhì)、垂直的性質(zhì)等，靈活運用所學知識是關(guān)鍵．21．（1）120，150；（2）30；（3）30；（4）或，或，或【分析】本題考查了角的計算，角平分線的定義，認真審題并仔細觀察圖形，熟記角平分線的定義，找到各個角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）由平角的定義可求和的度數(shù)，進而可求的度數(shù)；（2）由角平分線的定義求出，再根據(jù)角的和差關(guān)系解答即可；（3）由，，可得，然后作差即可；（4）分兩種情況：當三角板繞點O旋轉(zhuǎn)至一邊在的內(nèi)部時；當三角板繞點O旋轉(zhuǎn)至一邊不在的內(nèi)部時，分別根據(jù)對頂角相等和周角的定義計算即可．（1）解：∵，，∴，∴；故答案為：120，150；（2）解：∵，∴，又∵平分，∴，∵，∴；故答案為：30；（3）解：，理由如下：∵，，∴，∴，即；故答案為：30；（4）解：分兩種情況：當三角板繞點O旋轉(zhuǎn)至一邊在的內(nèi)部時，如圖，設的延長線為，則，∵，∴，∵，∴．當三角板繞點O旋轉(zhuǎn)至一邊不在的內(nèi)部時，如圖：∵，，∴；都在內(nèi)時，；都在的對頂角內(nèi)時，．綜上所述，∠COM與∠AON的關(guān)系為：或，或，或．故答案為：或，或，或．22．為定值．解：由折疊可知，∠FEA′＝∠FEA，∠GEB＝∠GEA′，所以，．因為∠A′EB＋∠A′EA＝180°，所以，即∠FEG的度數(shù)為定值．23．（1），；（2）或；（3）6秒或秒【分析】（1）根據(jù)，，即可得出的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義得出，然后根據(jù)得出的度數(shù)；（2）根據(jù)題意得出的度數(shù)，然后分兩種情況進行討論：①當射線在內(nèi)部時；②當射線在外部時；分別進行計算即可；（3）根據(jù)平分得出，根據(jù)題意畫出圖形，計算的角度，然后計算時間即可．（1）解：由題意可知，，∵，∴，∵平分，∴，∴；（2）由（1）知，，∴，①當射線在內(nèi)部時，如圖2（1），；②當射線在外部時，如圖2（2），，綜上所述，的度數(shù)為或；（3）∵平分，∴，①如圖3，，∵平分，∴，∴，∴旋轉(zhuǎn)的時間（秒）；②如圖3（1），此時，，∵平分，∴，∴，∴，∴旋轉(zhuǎn)的時間（秒）；綜上所述，旋轉(zhuǎn)的時間為6秒或秒．【點撥】本題主要考查角度的計算，角平分線的定義等內(nèi)容；第（2）問進行合適的分類討論是解題的關(guān)鍵；第（3）問，搞清楚在射線旋轉(zhuǎn)的過程中，和的相對位置在不斷的變化，以此進行分類畫圖．24．（1）見分析；（2）5；兩點之間，線段最短；垂線段最短.【分析】（1）根據(jù)直線、射線、線段的特點按要求