小學數(shù)學教學中函數(shù)思維的滲透

【摘要】培養(yǎng)學生的函數(shù)思維有利于學生解決更復(fù)雜的數(shù)學問題，也能夠讓學生感受到數(shù)學知識的趣味性。文章以充分發(fā)揮小學數(shù)學課程的啟蒙、開智作用為目標，探討了將培養(yǎng)函數(shù)思維滲透到“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”教學的策略，以幫助廣大教師提升學生數(shù)學學習能力、促進學生數(shù)學思維品質(zhì)進階?！娟P(guān)鍵詞】小學數(shù)學；數(shù)學教學；數(shù)學思想方法；函數(shù)思維函數(shù)思維，是一種以數(shù)學函數(shù)思想為核心，根據(jù)函數(shù)的概念和性質(zhì)去思考、探究量與量之間關(guān)聯(lián)的思維方式。在小學階段的數(shù)學課程中，函數(shù)思維以隱性、內(nèi)斂的形式廣泛存在于“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”四個數(shù)學領(lǐng)域之中。在具體的數(shù)學教學中，小學數(shù)學教師可以提升學生數(shù)學學習品質(zhì)、發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)為目的，將培養(yǎng)函數(shù)思維以更為有機與靈活的方式滲透到學生的數(shù)學學習過程中，讓學生進行更有深度、精度與效度的數(shù)學學習。一、立足規(guī)律探索，在“數(shù)與代數(shù)”教學中培養(yǎng)函數(shù)思維“數(shù)與代數(shù)”是義務(wù)教育階段數(shù)學課程的核心領(lǐng)域，主要由“數(shù)與運算”和“數(shù)量關(guān)系”兩個有內(nèi)在關(guān)聯(lián)的部分組成。教師可以通過教授“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的內(nèi)容，讓小學生挖掘與開發(fā)數(shù)量關(guān)系與運算規(guī)律，建立良好的數(shù)感與推理意識［1］。要在該領(lǐng)域的教學中培養(yǎng)學生的函數(shù)思維，小學數(shù)學教師可帶領(lǐng)學生探索數(shù)學知識的規(guī)律，根據(jù)量與量的關(guān)系進行推導與推理，使學生更為深刻地理解這部分數(shù)學知識，明白在數(shù)學運算中算理、算法以及數(shù)量關(guān)系之間的關(guān)聯(lián)。例如，在教授蘇教版四年級下冊數(shù)學教材中的“運算律”一課時，教師可設(shè)計帶領(lǐng)學生歸納加法運算律的數(shù)學教學活動。教師可以先展示一些加法算式，鼓勵學生完成這些算式并觀察這些算式的規(guī)律。在學生完成任務(wù)后，教師可鼓勵學生組成學習小組，在小組內(nèi)討論計算結(jié)果，交流發(fā)現(xiàn)的數(shù)學運算規(guī)律。在學生討論的過程中，小學數(shù)學教師需要及時觀察學生的討論情況，鼓勵學生在小組中分享自己的發(fā)現(xiàn)與見解，并引導學生合作構(gòu)建能夠體現(xiàn)加法運算規(guī)律的數(shù)學模型，幫助學生深入探究加法運算律，讓學生明確在加法算式中加數(shù)與和之間的關(guān)系。這樣的教學活動不僅能夠讓學生充分發(fā)揮主觀能動性，彰顯學生的自主性，還有利于學生進行深度學習。在自主探究時，學生可以根據(jù)自身學習情況進行觀察、分析；而在合作探究時，學生可以深入探究加法算式中加數(shù)與和之間的關(guān)系，學生的思維會由此得到鍛煉，他們會逐漸學會更為發(fā)散與多元的思考數(shù)學問題、發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律和數(shù)學原理的方法。二、專注關(guān)系推導，在“圖形與幾何”教學中培養(yǎng)函數(shù)思維“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學對于培養(yǎng)小學生的數(shù)感和空間觀念有著重要作用［2］。“圖形與幾何”領(lǐng)域由“圖形的認識與測量”“圖形的位置與運動”兩個部分構(gòu)成，其中“圖形的認識與測量”涵蓋了立體圖形和平面圖形的概念、特點等內(nèi)容以及對圖形面積、體積、周長等的計算，既是小學數(shù)學教學的重難點，也是小學階段學生容易出現(xiàn)學習問題的關(guān)鍵內(nèi)容。在以培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)為目標的小學數(shù)學教學實踐中，教師可以培養(yǎng)學生的空間觀念為出發(fā)點，引導學生應(yīng)用函數(shù)解析式推導計算圖形周長、面積與體積的公式，讓學生由淺層學習逐步進入深度學習，從而掌握復(fù)雜的數(shù)學知識。例如，在教授蘇教版五年級上冊數(shù)學教材中的“多邊形的面積”一課時，教師可以引導學生由平行四邊形面積計算公式推導三角形面積計算公式，讓學生借助函數(shù)解析式了解“圖形與幾何”領(lǐng)域的知識。具體來說，教師可以帶領(lǐng)學生探究同底同高的平行四邊形與三角形的面積的關(guān)系，然后帶領(lǐng)學生據(jù)此推導計算未知三角形面積的公式。首先，小學數(shù)學教師可以提供一組平行四邊形（如圖1），讓學生測量圖中平行四邊形的底與高，再計算各個平行四邊形的面積。其次，教師可讓學生先將得到的數(shù)據(jù)填到如下表格（如表1）中，再沿這些平行四邊形的任意一條對角線剪下兩個三角形，并測量三角形的底和高，對照表格中的數(shù)據(jù)，思考這些三角形的面積與同底同高的平行四邊形面積的關(guān)系。最后，在學生推理出同底同高的平行四邊形與三角形面積的關(guān)系后，小學數(shù)學教師便可引導學生進一步推導未知三角形的面積計算公式。在這樣的教學活動中，教師借助函數(shù)解析式指導學生學習“圖形與幾何”領(lǐng)域的數(shù)學知識，學生可以順利地掌握圖形之間的邏輯關(guān)系，加深對圖形特征的認識。三、聚焦數(shù)據(jù)分析，在“統(tǒng)計與概率”教學中培養(yǎng)函數(shù)思維“統(tǒng)計與概率”也是義務(wù)教育階段數(shù)學教學的關(guān)鍵領(lǐng)域［3］。在小學階段，“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的教學內(nèi)容包含“數(shù)據(jù)分類”“數(shù)據(jù)收集、整理與表達”“隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性”三個部分。教授“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的重點是讓學生了解如何通過統(tǒng)計圖表等進行有效的數(shù)據(jù)分析，掌握有價值的數(shù)學規(guī)律，建立良好的數(shù)據(jù)意識。小學數(shù)學教師在指導學生學習“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域知識時，可帶領(lǐng)學生分析函數(shù)圖像，再讓學生通過繪制將數(shù)據(jù)分類展示的圖像發(fā)現(xiàn)數(shù)與形之間的關(guān)聯(lián)，并逐步理解函數(shù)思想的本質(zhì)，形成良好的數(shù)據(jù)分析意識與統(tǒng)計觀念。例如，在教授蘇教版五年級下冊數(shù)學教材中的“折線統(tǒng)計圖”一課時，教師就可以指導學生進行實踐探究，以培養(yǎng)學生的思維能力。教師可以布置“探究自己一天內(nèi)體溫變化情況”的任務(wù)，然后指導學生據(jù)此繪制函數(shù)圖像，有效分析自己收集的數(shù)據(jù)。首先，教師需要指導學生思考收集數(shù)據(jù)的方法和要點。小學數(shù)學教師可提出以下問題：“同學們，你們了解體溫變化的知識嗎？你們知道人的體溫一般保持在什么范圍內(nèi)嗎？你們知道怎么測量體溫嗎？如果需要探究自己一天內(nèi)體溫變化情況，你們認為需要收集哪些有價值的信息呢？又要如何繪制統(tǒng)計表呢？”這些問題可以激發(fā)學生的探究興趣，在問題的引導下，學生會將注意力集中在有效采集信息的方法和要點上。教師可以指導學生提取“一天”與“體溫”兩個關(guān)鍵詞，并據(jù)此找到需要收集的數(shù)據(jù)，繪制如表2的統(tǒng)計表。其次，教師需要指導學生有效收集數(shù)據(jù)。教師可為每名學生提供家用體溫計，介紹使用家用體溫計的方法，然后讓學生觀察家用體溫計的量程與分度值，并以此為培養(yǎng)學生函數(shù)思維的突破口，向?qū)W生講解“定義域”“值域”等函數(shù)中重要的概念。此后，教師可以鼓勵學生使用家用體溫計獲得所需數(shù)據(jù)，再結(jié)合數(shù)據(jù)自主繪制體現(xiàn)自己一天內(nèi)體溫變化情況的折線統(tǒng)計圖。最后，教師需要指導學生有效分析數(shù)據(jù)。小學數(shù)學教師可借助現(xiàn)代化教學軟件展示學生自主繪制的統(tǒng)計圖表，同時向?qū)W生提出相關(guān)的教學問題，驅(qū)使學生從函數(shù)的角度思考自己的體溫隨著時間變化的情況，得出有效的結(jié)論。在這樣的教學活動中，學生不僅可以掌握“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的知識，學會根據(jù)實際需要確定統(tǒng)計數(shù)據(jù)、收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的方法，深刻理解折線統(tǒng)計圖與統(tǒng)計表在表達數(shù)據(jù)變化趨勢、展示數(shù)據(jù)動態(tài)變化規(guī)律等方面的價值，學生的數(shù)據(jù)分析能力與統(tǒng)計觀念也會在活用函數(shù)思想的過程中得到增強。四、圍繞問題解決，在“綜合與實踐”教學中培養(yǎng)函數(shù)思維在義務(wù)教育階段的數(shù)學教學中，教師還應(yīng)該引導學生將數(shù)學知識與數(shù)學方法應(yīng)用到解決實際問題中，這樣的教學活動也是讓學生感悟數(shù)學知識與生活、社會、科技之間的關(guān)聯(lián)及發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的關(guān)鍵活動［4］。在小學階段的數(shù)學課程中，教師組織的綜合實踐活動多為主題式學習活動或項目式學習活動，學生可以在這些活動中親歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的學習過程，從而持續(xù)積累解決問題的經(jīng)驗，了解相關(guān)的數(shù)學思想和方法，形成良好的建模意識以及一定的創(chuàng)新、創(chuàng)造能力。小學數(shù)學教師可以在組織綜合實踐活動時，引導學生聚焦解決問題的數(shù)學思想和方法，指導學生應(yīng)用函數(shù)思想去審視、分析、解決相關(guān)數(shù)學問題。例如，在教授蘇教版六年級下冊數(shù)學教材中的“正比例與反比例”一課時，教師可以指導學生以小組形式展開實踐，圍繞“大樹有多高”這一主題進行綜合探究。小學數(shù)學教師在幫助學生科學劃分學習小組后，可以利用多媒體設(shè)備展示我國古代發(fā)明——日晷的圖片、視頻資料，讓學生了解日晷的工作原理，以開闊學生的視野，激活學生思維。在此之后，教師便可以引導學生結(jié)合所學數(shù)學知識和科學知識設(shè)計實踐探究內(nèi)容。本次綜合實踐活動的核心問題是“如何測得大樹的高度”，教師可以引導學生轉(zhuǎn)換思路，轉(zhuǎn)而思考“如何利用樹高與影長之間的關(guān)系測出樹高”這一問題。在學生明確探究核心后，小學數(shù)學教師可鼓勵學生自主思考解決問題的思路，然后指導各個學習小組利用竹竿、卷尺等材料展開實踐探究。在學生測得數(shù)據(jù)后，教師還應(yīng)指導學生應(yīng)用圖像分析法計算竹竿長度與影長之間的比值。如果學生沒有思路，小學數(shù)學教師可提示學生應(yīng)用此前學過的正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的知識推測竹竿長與影長之間的關(guān)系，然后畫出函數(shù)圖像，再具體分析竹竿長度及其影長的比例。至此，學生會逐漸掌握收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)與分析數(shù)據(jù)的方法，意識到在同一時刻、同一地點，物體的高度與其影長的比例，并能夠用函數(shù)表示物體的高度與物體的影長兩個量之間的關(guān)聯(lián)。小學數(shù)學教師還可以在此基礎(chǔ)上，引導學生進行更深一步的探究。教師可以組織討論活動，將學生的思維引回他們解決本次綜合實踐活動主要問題的過程，引導學生進行反思、總結(jié)，驅(qū)使學生分析自己如何有效遷移運用函數(shù)思想歸納出物高與影長的關(guān)系，如何測出大樹物體的高度，使其充分體驗應(yīng)用函數(shù)思維解決數(shù)學問題的樂趣。在這樣的教學活動中，學生可以學會從函數(shù)的角度觀察與分析不同物體的數(shù)量關(guān)系的方法，而在綜合運用圖像分析法、函數(shù)解析式研究物高與影長之間的定量關(guān)系與