2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用教師文檔教案文北師大版

PAGE第九節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第34頁(yè)[基礎(chǔ)梳理]1．幾類常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a＞0且a≠1)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a＞0且a≠1)冪函數(shù)模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)2.三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖像的改變隨x的增大漸漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大漸漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值改變而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有l(wèi)ogax＜xn＜ax解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型．(2)建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論．(4)還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題的意義，以上過(guò)程用框圖表示如下：[四基自測(cè)]1．(基礎(chǔ)點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)換型)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量原來(lái)是a件，在今后m年內(nèi)，支配使每年的產(chǎn)量比上一年增加p%，則該產(chǎn)品的產(chǎn)量y隨年數(shù)x改變的函數(shù)解析式為()A．y＝a(1＋p%)x(0＜x＜m)B．y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)C．y＝a(1＋xp%)(0＜x＜m)D．y＝a(1＋xp%)(0≤x≤m，x∈N)答案：B2．(基礎(chǔ)點(diǎn)：擬合函數(shù)模型)在某種新型材料的研制中，試驗(yàn)人員獲得了下列一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)．現(xiàn)打算用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是()x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61A.y＝2x B．y＝log2xC．y＝eq\f(1,2)(x2－1) D．y＝2.61cosx答案：B3．(基礎(chǔ)點(diǎn)：分段函數(shù)模型)某城市客運(yùn)公司確定客票價(jià)格的方法是：假如行程不超過(guò)100km，票價(jià)是0.5元/km，假如超過(guò)100km，超過(guò)100km的部分按0.4元/km定價(jià)，則客運(yùn)票價(jià)y(元)與行駛千米數(shù)x(km)之間的函數(shù)關(guān)系式是________．答案：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.5x，0≤x≤100,0.4x＋10，x＞100))4．(基礎(chǔ)點(diǎn)：二次函數(shù)模型)有一批材料可以建成200m長(zhǎng)的圍墻，假如用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場(chǎng)地，中間用同樣的材料隔成三個(gè)面積相等的矩形(如圖所示)，則圍成的矩形最大面積為________．(圍墻厚度不計(jì))答案：2500m2授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第35頁(yè)考點(diǎn)一由函數(shù)圖像刻畫改變過(guò)程挖掘體會(huì)函數(shù)中變量的關(guān)系/自主練透[例](1)(2024·安陽(yáng)模擬)如圖是張大爺晨練時(shí)所走的離家距離(y)與行走時(shí)間(x)之間的函數(shù)關(guān)系圖，若用黑點(diǎn)表示張大爺家的位置，則張大爺漫步行走的路途可能是()[解析]由圖形可知，張大爺?shù)男凶呗吠臼牵浩鹣纫欢螘r(shí)間離家越來(lái)越遠(yuǎn)，然后有一段時(shí)間離家的距離不變，然后離家越來(lái)越近，C符合．[答案]C(2)2024年6月，上海合作組織青島峰會(huì)后，青島成為國(guó)內(nèi)外旅游的好去處，隨著游客的增加，菜價(jià)上漲，某部門為盡快實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定菜價(jià)，提出四種綠色運(yùn)輸方案．據(jù)預(yù)料，這四種方案均能在規(guī)定的時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)料的運(yùn)輸任務(wù)Q0，各種方案的運(yùn)輸總量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，在這四種方案中，運(yùn)輸效率(單位時(shí)間的運(yùn)輸量)逐步提高的是()[解析]由運(yùn)輸效率(單位時(shí)間的運(yùn)輸量)逐步提高得曲線上的點(diǎn)的切線斜率應(yīng)當(dāng)漸漸增大．[答案]B[破題技法]推斷函數(shù)圖像與實(shí)際問(wèn)題中兩變量改變過(guò)程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)依據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖像．(2)驗(yàn)證法：當(dāng)依據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時(shí)，則依據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩變量的改變特點(diǎn)，結(jié)合圖像的改變趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中解除不符合實(shí)際的狀況，選擇出符合實(shí)際狀況的答案．考點(diǎn)二已知函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題挖掘函數(shù)模型的應(yīng)用/互動(dòng)探究[例]為了實(shí)行習(xí)近平總書記提出的“決戰(zhàn)決勝脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)”，某地開展了“萬(wàn)名干部下基層”，以實(shí)際行動(dòng)踐行初心使命，某工作隊(duì)結(jié)合所駐村的自然條件，幫助村民投入200萬(wàn)元，搭建了甲、乙兩個(gè)無(wú)公害蔬菜大棚，每個(gè)大棚至少要投入20萬(wàn)元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，依據(jù)以往的種菜閱歷，發(fā)覺(jué)種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收入Q與投入a(單位：萬(wàn)元)滿意P＝80＋4eq\r(2a)，Q＝eq\f(1,4)a＋120，設(shè)甲大棚的投入為x(單位：萬(wàn)元)，每年兩個(gè)大棚的總收益為f(x)(單位：萬(wàn)元)．(1)求f(50)的值；(2)試問(wèn)如何支配甲、乙兩個(gè)大棚的投入，才能使總收益f(x)最大？[解析](1)由題意知甲大棚投入50萬(wàn)元，則乙大棚投入150萬(wàn)元，∴f(50)＝80＋4eq\r(2×50)＋eq\f(1,4)×150＋120＝277.5(萬(wàn)元)．(2)f(x)＝80＋4eq\r(2x)＋eq\f(1,4)(200－x)＋120＝－eq\f(1,4)x＋4eq\r(2x)＋250，依題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥20，,200－x≥20))?20≤x≤180，故f(x)＝－eq\f(1,4)x＋4eq\r(2x)＋250(20≤x≤180)．令t＝eq\r(x)，則t∈[2eq\r(5)，6eq\r(5)]，y＝－eq\f(1,4)t2＋4eq\r(2)t＋250＝－eq\f(1,4)(t－8eq\r(2))2＋282，當(dāng)t＝8eq\r(2)，即x＝128時(shí)，f(x)取得最大值，f(x)max＝282.∴甲大棚投入128萬(wàn)元，乙大棚投入72萬(wàn)元時(shí)，總收益最大，且最大總收益為282萬(wàn)元．[破題技法]對(duì)于已知函數(shù)模型解決問(wèn)題(1)將題目中已知函數(shù)變量轉(zhuǎn)化為實(shí)際量理解．(2)依據(jù)實(shí)際意義，求自變量x的取值范圍(定義域)．(3)依據(jù)函數(shù)模型，確定要解決的問(wèn)題及方法．(4)回答實(shí)際問(wèn)題．考點(diǎn)三構(gòu)建函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題挖掘1構(gòu)建一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)模型/自主練透[例1](2024·西寧模擬)牧場(chǎng)中羊群的最大畜養(yǎng)量為m只，為保證羊群的生長(zhǎng)空間，實(shí)際畜養(yǎng)量不能達(dá)到最大畜養(yǎng)量，必需留出適當(dāng)?shù)目臻e量．已知羊群的年增長(zhǎng)量y只和實(shí)際畜養(yǎng)量x只與空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k>0)．(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)求羊群年增長(zhǎng)量的最大值；(3)當(dāng)羊群的年增長(zhǎng)量達(dá)到最大值時(shí)，求k的取值范圍．[解析](1)依據(jù)題意，由于最大畜養(yǎng)量為m只，實(shí)際畜養(yǎng)量為x只，則畜養(yǎng)率為eq\f(x,m)，故空閑率為1－eq\f(x,m)，由此可得y＝kxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,m)))(0<x<m)．(2)對(duì)原二次函數(shù)配方，得y＝－eq\f(k,m)(x2－mx)＝－eq\f(k,m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(m,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(km,4).即當(dāng)x＝eq\f(m,2)時(shí)，y取得最大值eq\f(km,4).(3)由題意知為給羊群留有肯定的生長(zhǎng)空間，則有實(shí)際畜養(yǎng)量與年增長(zhǎng)量的和小于最大畜養(yǎng)量，即0<x＋y<m.因?yàn)楫?dāng)x＝eq\f(m,2)時(shí)，ymax＝eq\f(km,4)，所以0<eq\f(m,2)＋eq\f(km,4)<m，解得－2<k<2.又因?yàn)閗>0，所以0<k<2.挖掘2構(gòu)建y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)函數(shù)模型/互動(dòng)探究[例2](2024·煙臺(tái)模擬)小王高校畢業(yè)后，確定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)．經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件，需另投入流淌成本為W(x)萬(wàn)元．在年產(chǎn)量不足8萬(wàn)件時(shí)，W(x)＝eq\f(1,3)x2＋x(萬(wàn)元)；在年產(chǎn)量不小于8萬(wàn)件時(shí)，W(x)＝6x＋eq\f(100,x)－38(萬(wàn)元)．每件產(chǎn)品售價(jià)為5元．通過(guò)市場(chǎng)分析，小王生產(chǎn)的商品能當(dāng)年全部售完．(1)寫出年利潤(rùn)L(x)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬(wàn)件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤(rùn)＝年銷售收入－固定成本－流淌成本)(2)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？[解析](1)因?yàn)槊考a(chǎn)品售價(jià)為5元，則x萬(wàn)件產(chǎn)品的銷售收入為5x萬(wàn)元，依題意得：當(dāng)0<x<8時(shí)，L(x)＝5x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2＋x))－3＝－eq\f(1,3)x2＋4x－3，當(dāng)x≥8時(shí)，L(x)＝5x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6x＋\f(100,x)－38))－3＝35－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))，所以L(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋4x－3，0<x<8，,35－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))，x≥8.))(2)當(dāng)0<x<8時(shí)，L(x)＝－eq\f(1,3)(x－6)2＋9，此時(shí)，當(dāng)x＝6時(shí)，L(x)取得最大值L(6)＝9(萬(wàn)元)．當(dāng)x≥8時(shí)，L(x)＝35－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))≤35－2eq\r(x·\f(100,x))＝35－20＝15(萬(wàn)元)．此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(100,x)，即x＝10時(shí)，L(x)取得最大值15萬(wàn)元．因?yàn)?<15，所以當(dāng)年產(chǎn)量為10萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為15萬(wàn)元．挖掘3構(gòu)建指數(shù)、對(duì)數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題/互動(dòng)探究[例3]候鳥每年都要隨季節(jié)的改變而進(jìn)行大規(guī)模地遷徙，探討某種鳥類的專家發(fā)覺(jué)，該種鳥類的飛行速度v(單位：m/s)與其耗氧量Q之間的關(guān)系為：v＝a＋blog3eq\f(Q,10)(其中a，b是實(shí)數(shù))．據(jù)統(tǒng)計(jì)，該種鳥類在靜止的時(shí)候其耗氧量為30個(gè)單位，而其耗氧量為90個(gè)單位時(shí)，其飛行速度為1m/s.(1)求出a，b的值；(2)若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2m/s，則其耗氧量至少要多少個(gè)單位？[解析](1)由題意可知，當(dāng)這種鳥類靜止時(shí)，它的速度為0m/s，此時(shí)耗氧量為30個(gè)單位，故有a＋blog3eq\f(30,10)＝0，即a＋b＝0；當(dāng)耗氧量為90個(gè)單位時(shí)，速度為1m/s，故a＋blog3eq\f(90,10)＝1，整理得a＋2b＝1.解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,a＋2b＝1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1.))(2)由(1)知，v＝a＋blog3eq\f(Q,10)＝－1＋log3eq\f(Q,10).所以要使飛行速度不低于2m/s，則有v≥2，即－1＋log3eq\f(Q,10)≥2，即log3eq\f(Q,10)≥3，解得Q≥270.所以若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2m/s，則其耗氧量至少要270個(gè)單位．挖掘4擬合函數(shù)的選擇/互動(dòng)探究[例4]某種特色水果每年的上市時(shí)間從4月1號(hào)起先僅能持續(xù)5個(gè)月的時(shí)間．上市初期價(jià)格呈現(xiàn)上漲態(tài)勢(shì)，中期價(jià)格起先下降，后期價(jià)格在原有價(jià)格基礎(chǔ)之上接著下跌．現(xiàn)有三種價(jià)格改變的模擬函數(shù)可供選擇：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋7；③f(x)＝logq(x＋p)．其中p，q均為常數(shù)且q＞1.(注：x表示上市時(shí)間，f(x)表示價(jià)格，記x＝0表示4月1號(hào)，x＝1表示5月1號(hào)，…，以此類推x∈[0，5])(1)在上述三個(gè)價(jià)格模擬函數(shù)中，哪一個(gè)更能體現(xiàn)該種水果的價(jià)格改變態(tài)勢(shì)，請(qǐng)你選擇，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；(2)對(duì)(1)中所選的函數(shù)f(x)，若f(2)＝11，f(3)＝10，記g(x)＝eq\f(f（x）－2x－13,x＋1)，經(jīng)過(guò)多年的統(tǒng)計(jì)發(fā)覺(jué)，當(dāng)函數(shù)g(x)取得最大值時(shí)，拓展外銷市場(chǎng)的效果最為明顯，請(qǐng)預(yù)料明年拓展外銷市場(chǎng)的時(shí)間是幾月1號(hào)？[解析](1)依據(jù)題意，該種水果價(jià)格改變趨勢(shì)是先單調(diào)遞增后始終單調(diào)遞減，基本符合開口向下的二次函數(shù)改變趨勢(shì)，故應(yīng)當(dāng)選擇②f(x)＝px2＋qx＋7.(2)由f(2)＝11，f(3)＝10解得f(x)＝－x2＋4x＋7.g(x)＝eq\f(f（x）－2x－13,x＋1)＝－eq\f(x2－2x＋6,x＋1)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,x＋1)＋（x＋1）－4)).因?yàn)椋璭q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,x＋1)＋（x＋1）－4))≤－2，當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝3即x＝2時(shí)等號(hào)成立．所以明年拓展外銷的時(shí)間應(yīng)為6月1號(hào)．[破題技法]1.建立函數(shù)模型的技巧(1)在實(shí)際問(wèn)題中，若兩個(gè)變量之間的關(guān)系是直線上升或直線下