2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章預(yù)備知識(shí)2常用邏輯用語(yǔ)1.2.1必要條件與充分條件教案北師大版必修第一冊(cè)

第一章預(yù)備學(xué)問(wèn)其次節(jié)常用邏輯用語(yǔ)2.1必要條件和充分條件常用邏輯用語(yǔ)是邏輯思維的基本語(yǔ)言，是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的重要組成部分，是數(shù)學(xué)表達(dá)和溝通的工具.本節(jié)的內(nèi)容包括必要條件、充分條件、充要條件，通過(guò)對(duì)充分條件、必要條件的概念的理解和運(yùn)用，培育學(xué)生分析、推斷和歸納的邏輯思維實(shí)力．一．教學(xué)目標(biāo)：理解必要條件，充分條件，充要條件的概念，2、能夠推斷命題之間的充分必要關(guān)系二.核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象：必要條件，充分條件，充要條件概念抽象概括邏輯推理：本節(jié)內(nèi)容依初中所學(xué)的定理，探討條件和結(jié)論的關(guān)系，引出本節(jié)學(xué)問(wèn)點(diǎn)，從而體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)的連貫性和邏輯性3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：推斷命題之間的充分必要關(guān)系；利用充分必要關(guān)系求參數(shù)直觀想象：講解本節(jié)學(xué)問(wèn)，利用初中所學(xué)過(guò)的定理，分析它們條件與結(jié)論的關(guān)系，從而引出抽象概述了充分，必要的概念，這種教學(xué)方式讓學(xué)生更能干脆的理解一個(gè)命題中，條件與結(jié)論的關(guān)系5.數(shù)學(xué)建模：常用邏輯用語(yǔ)是邏輯思維的基本語(yǔ)言，是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的重要組成部分，是數(shù)學(xué)表達(dá)和溝通的工具.，培育學(xué)生分析、推斷和歸納的邏輯思維實(shí)力．重點(diǎn)：充分條件、必要條件的概念．難點(diǎn)：推斷命題的充分條件、必要條件。PPT一：必要條件與性質(zhì)定理（1）學(xué)問(wèn)引入定理1菱形的對(duì)角線相互垂直,即假如四邊形為菱形,那么這個(gè)四邊形的對(duì)角線相互垂直.定理1是菱形的性質(zhì)定理，即對(duì)角線相互垂直是菱形必有的性質(zhì).也就是說(shuō)，假如能確定四邊形為菱形,那么肯定可以得出這個(gè)四邊形的對(duì)角線相互垂直，而一旦某個(gè)四邊形的對(duì)角線不相互垂直，那么這個(gè)四邊形肯定不是菱形.思索溝通：試用上面的方法分析定理2，定理3定理2假如兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等.定理3假如兩個(gè)三角形是全等三角形,那么這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等.（2）必要條件的概述：一般地，當(dāng)命題“若p,則q”是真命題時(shí)，稱(chēng)q是p的必要條件.也就是說(shuō)，一旦q不成立,p肯定也不成立，即q對(duì)于p的成立是必要的.例如,在定理1中，“四邊形的對(duì)角線相互垂直”是“四邊形為菱形”的必要條件.例1:將下面的性質(zhì)定理寫(xiě)成“若p則q”的形式，并用必要條件的語(yǔ)言表述：平面四邊形的外角和是360°；在平面直角坐標(biāo)系中,關(guān)于(軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同.解(1)“平面四邊形的外角和是360°”可表述為“若平面多邊形為四邊形，則它的外角和為360°”,所以“外角和為360°”是“平面多邊形為四邊形”的必要條件；“在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于(軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同”可表述為“若平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于(軸對(duì)稱(chēng)，則這兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同”，所以“兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同”是“在平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于(軸對(duì)稱(chēng)”的必要條件.二．充分條件與性質(zhì)推斷(1)學(xué)問(wèn)引入定理4若a>0,b>0,則ab>0.定理4是說(shuō):假如滿意了條件a>0,b>0”,肯定有結(jié)論ab>0.,但要留意，使得ab>0的條件不唯一，例如，由a<0,b<0,也可以判定ab>0.事實(shí)上，定理4告知我們：只要有了a>0,b>0"這個(gè)條件，就可以判定ab>0”.思索溝通：試用上面的方法分析定理5，定理6定理5對(duì)角線相互平分的四邊形是平行四邊形.定理6平行于三角形一邊的直線，截其他兩邊所得的三角形與原三角形相像.充分條件概述一般地，當(dāng)命題“若p則q”是真命題時(shí)，稱(chēng)p是q的充分條件.綜上，對(duì)于真命題“若p,則q”，即pq時(shí)，稱(chēng)q是p的必要條件，也稱(chēng)p是q的充分條件例2:用充分條件的語(yǔ)言表述下面的命題：若a=-b，則|a|=|b|若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則|AC|=|BC|當(dāng)ac<0時(shí),一元二次方程ax2十bx十c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.解(1)“a=—b"是"|a|=|b|"的充分條件；（2）“點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)”是“|AC|=|BC|的充分條件；（3）“ac<0”是“一元二次方程ax2十bx十c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”的充分條件.三.充要條件（1）學(xué)問(wèn)引入勾股定理假如一個(gè)三角形為直角三角形，那么它的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股定理的逆定理假如一個(gè)三角形的兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。（1）在勾股定理中，“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”是“三角形為直角三角形”的必要條件;“三角形為直角三角形”是“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”的充分條件.（2）在勾股定理的逆定理中，“三角形是直角三角形”是“三角形的兩邊的平方和等于第三邊的平方”的必要條件;“三角形的兩邊的平方和等于第三邊的平方”是“三角形為直角三角形”的充分條件.充分必要條件概述一般地，假如pq,且qp.那么稱(chēng)p是q的充分且必要條件，簡(jiǎn)稱(chēng)p是q的充要條件,記作pq.當(dāng)p是q的充要條件時(shí)，q也是p的充要條件.p是q的充要條件也經(jīng)常說(shuō)成p成立當(dāng)且僅當(dāng)q成立”，或“p與q等價(jià)”.例3在下列各題中，試推斷p是q的什么條件.p:A?Bq:A∩B=Ap:a=bq:|a|=|b|p：四邊形的對(duì)角線相等,q：四邊形是平行四邊形.解(1)因?yàn)槊}“若A?B，則A∩B=A，為真命題，并且“若A∩B=A，則A?B，也為真命題，所以p是q的充要條件；因?yàn)椤盿=b”“|a|=|b|”但是“|a|=|b|”不能推出“a=b”,例如,“丨1|=|-1|”，而“1不等于-1”,所以p是q的充分條件，但不是必要條件；（3）因?yàn)椤八倪呅蔚膶?duì)角線相等”不能推出“四邊形是平行四邊形”，并且“四邊形是平行四邊形”也不能推出“四邊形的對(duì)角線相等”，所以p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件.四.學(xué)問(wèn)題型講解例：推斷下列充分必要條件（1）．設(shè)a，b為正數(shù)，則“a﹣b＞1”，是“a2﹣b2＞1”的（）A．充要條件B．充分不必要條件 C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件解析：a，b為正數(shù)且a﹣b＞1，∴a＞b+1，∴a+b＞1，∴a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）＞1，∴“a﹣b＞1”，是“a2﹣b2＞1”的充分條件；∵由（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2＞1得不出a﹣b＞1，故“a﹣b＞1”是“a2﹣b2＞1”的充分不必要條件．故選：B．（2）．已知x，y∈R，則”x＞1或y＞1”是“x+y＞2”的（）A．充要條件B．必要非充分條件C．充分非必要條件D．既非充分也非必要條件解析：解：x，y∈R，則”x＞1或y＞1”推導(dǎo)不出“x+y＞2”，例如x＝3＞1，y＝﹣4＜1，則x+y＝﹣1＜2，x，y∈R，“x+y＞2”?”x＞1或y＞1”，∴x，y∈R，則”x＞1或y＞1”是“x+y＞2”的必要非充分條件，故選：B．（3）.“x＝5“是“x2﹣4x﹣5＝0”的（）A．充分不必要條件B．充要條件 C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件解析：求解方程x2﹣4x﹣5＝0可得：方程兩根為x1＝﹣1，x2＝5即x2﹣4x﹣5＝0?{﹣1，5}∴“x＝5“是小范圍，{﹣1，5}是大范圍∴“x＝5“是x2﹣4x﹣5＝0的充分不必要條件故選：A．依據(jù)充分必要條件，求參數(shù)值（1）．已知集合A＝{x|﹣6≤x＜3}，C＝{x|3x+m＜0}．若x∈C是x∈A的必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解析：由已知，得C＝{x|x≤﹣}，因?yàn)閤∈C是x∈A的必要條件，所以A?C，又因?yàn)锳＝{x|﹣6≤x≤3}，所以﹣≥3，解得m≤﹣9．故所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為：{m|m≤﹣9}．（2）．已知P＝{x|x2﹣3x+2≤0}，S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}．（1）是否存在實(shí)數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使x∈P是x∈S的必要條件？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：P＝{x|x2﹣3x+2≤0}＝{x|1≤x≤2}．（1）要使x∈P是x∈S的充要條件，則P＝S，即此方程組無(wú)解，則不存在實(shí)數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件；（2）要使x∈P是x∈S的必要條