北京市北京四中2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題含解析

北京市北京四中2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．“當(dāng)時，冪函數(shù)為減函數(shù)”是“或2”的（）條件A.既不充分也不必要 B.必要不充分C.充分不必要 D.充要2．設(shè)函數(shù)f(x)=若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.3．是第四象限角，，則等于A. B.C. D.4．我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)圖像的特征.我們從這個商標(biāo)中抽象出一個圖象如圖，其對應(yīng)的函數(shù)可能是（）A. B.C. D.5．若，則有（）A.最小值為3 B.最大值為3C.最小值為 D.最大值為6．已知函數(shù)，若存在四個互不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.7．若指數(shù)函數(shù)，則有（）A.或 B.C. D.且8．若函數(shù)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)與其圖象相符的是A. B.C. D.9．若直線與直線垂直，則（）A.6 B.4C. D.10．若，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．全集，集合，則______12．已知若，則（）.13．圓的圓心到直線的距離為______.14．已知函數(shù).（1）當(dāng)函數(shù)取得最大值時，求自變量x的集合；（2）完成下表，并在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)在的圖象.x0y15．直線與直線的距離是__________16．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)是B，點(diǎn)和點(diǎn)的中點(diǎn)是E，則___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某口罩生產(chǎn)廠家目前月生產(chǎn)口罩總數(shù)為100萬，因新冠疫情的需求，擬按照每月增長率為擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，試解答下面的問題：（1）寫出第月該廠家生產(chǎn)的口罩?jǐn)?shù)（萬只）與月數(shù)(個）的函數(shù)關(guān)系式；（2）計算第10個月該廠家月生產(chǎn)的口罩?jǐn)?shù)（精確到0.1萬）；（3）計算第幾月該廠家月生產(chǎn)的口罩?jǐn)?shù)超過120萬只（精確到1月）【參考數(shù)據(jù)】：18．已知，函數(shù).（1）當(dāng)時，證明是奇函數(shù)；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最小值.19．已知角是第三象限角，，求下列各式的值：（1）；（2）.20．（1）寫出下列兩組誘導(dǎo)公式：①關(guān)于與的誘導(dǎo)公式；②關(guān)于與的誘導(dǎo)公式.（2）從上述①②兩組誘導(dǎo)公式中任選一組，用任意角的三角函數(shù)定義給出證明.21．如圖,在矩形中,點(diǎn)是邊上中點(diǎn),點(diǎn)在邊上(1)若點(diǎn)是上靠近的三等分點(diǎn),設(shè),求的值(2)若,當(dāng)時,求的長

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，結(jié)合充分性、必要性的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時，冪函數(shù)為減函數(shù)，所以有，所以冪函數(shù)為減函數(shù)”是“或2”的充分不必要條件，故選：C2、C【解析】由于的范圍不確定，故應(yīng)分和兩種情況求解.【詳解】當(dāng)時，，由得，所以，可得：，當(dāng)時，，由得，所以，即，即，綜上可知：或.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)，解不等式的關(guān)鍵是對的范圍討論，分情況解，屬于中檔題.3、B【解析】由的值及α為第四象限角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosα的值，即可確定出的值【詳解】由題是第四象限角，則故選B【點(diǎn)睛】此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵4、A【解析】由圖象知函數(shù)的定義域排除選項(xiàng)選項(xiàng)B、D，再根據(jù)不成立排除選項(xiàng)C，即可得正確選項(xiàng).【詳解】由圖知的定義域?yàn)?，排除選項(xiàng)B、D，又因?yàn)楫?dāng)時，，不符合圖象，所以排除C，故選：A【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：排除法是解決函數(shù)圖象問題的主要方法，根據(jù)函數(shù)的定義域、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、函數(shù)值的符號、單調(diào)性、奇偶性等，從而得出正確結(jié)果.5、A【解析】利用基本不等式即得,【詳解】∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，∴有最小值為3.故選：A.6、D【解析】令，則，由題意，有兩個不同的解，有兩個不相等的實(shí)根，由圖可知，得或，所以和各有兩個解當(dāng)有兩個解時，則，當(dāng)有兩個解時，則或，綜上，的取值范圍是，故選D點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．本題為嵌套函數(shù)的應(yīng)用，一般的，我們應(yīng)用整體思想解決問題，所以令，則，由題意，有兩個不同的解，有兩個不相等的實(shí)根，再結(jié)合圖象逐步分析，解得答案7、C【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的概念，由所給解析式，可直接求解.【詳解】因?yàn)槭侵笖?shù)函數(shù)，所以，解得.故選：C8、B【解析】由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)，則下圖中對于選項(xiàng)A，是減函數(shù)，所以A錯誤；對于選項(xiàng)B,的圖象是正確的；對C，是減函數(shù)，故C錯；對D，函數(shù)是減函數(shù)，故D錯誤。故選B9、A【解析】由兩條直線垂直的條件可得答案.【詳解】由題意可知，即故選：A.10、D【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】對于A，因?yàn)?，，故，故A錯誤對于B，因?yàn)椋?，故，故，故B錯誤對于C，取，易得，故C錯誤對于D，因?yàn)?，所以，故D正確故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】直接利用補(bǔ)集的定義求解【詳解】因?yàn)槿?，集合，所以，故答案為?2、【解析】利用平面向量平行的坐標(biāo)表示進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)椋?，即；故答案?【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量平行的坐標(biāo)表示，兩向量平行坐標(biāo)分量對應(yīng)成比例，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).13、1【解析】利用點(diǎn)到直線的距離公式可得所求的距離.【詳解】圓心坐標(biāo)為，它到直線的距離為，故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離，此類問題，根據(jù)公式計算即可，本題屬于基礎(chǔ)題.14、（1）（2）答案見解析【解析】(1)由三角恒等變換求出解析式，再求得最大值時的x的集合,(2)由五點(diǎn)法作圖,列出表格,并畫圖即可.【小問1詳解】令，函數(shù)取得最大值，解得，所以此時x的集合為.【小問2詳解】表格如下：x0y11作圖如下，15、【解析】16、【解析】先利用對稱性求得點(diǎn)B坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)E坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間距離公式求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)是，點(diǎn)和點(diǎn)的中點(diǎn)是，所以，故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）112.7萬只；（3）16個月.【解析】（1）每月增長率為指數(shù)式,依據(jù)實(shí)際條件列出解析式即可；（2）第10個月為時，帶入計算可得結(jié)果；（3）根據(jù)參考數(shù)據(jù)帶入數(shù)值計算.【詳解】解:（1）因?yàn)槊吭略鲩L率為,所以第月該廠家生產(chǎn)的口罩?jǐn)?shù),.（2）第10個月該廠家月生產(chǎn)的口罩?jǐn)?shù)萬只.（3）是增函數(shù),當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以當(dāng)時,即第16個月該廠家月生產(chǎn)的口罩?jǐn)?shù)超過120萬只.18、（1）見解析（2）增區(qū)間為，，減區(qū)間為（3）當(dāng)時，；當(dāng)時，【解析】（1）時，，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，而，故是奇函數(shù).（2）時，，不同范圍上的函數(shù)解析式都是二次形式且有相同的對稱軸，因，故函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為.（3）根據(jù)（2）的單調(diào)性可知，比較的大小即可得到.解析：（1）若，則，其定義域是一切實(shí)數(shù).且有，所以是奇函數(shù).（2）函數(shù)，因?yàn)?，則函數(shù)在區(qū)間遞減，在區(qū)間遞增，函數(shù)在區(qū)間遞增.∴綜上可知，函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為.（3）由得.又函數(shù)在遞增，在遞減，且，.若，即時，；若，即時，.∴綜上，當(dāng)時，；當(dāng)時，.點(diǎn)睛：帶有絕對值符號的函數(shù)，往往可以通過討論代數(shù)式的正負(fù)去掉絕對值符號，從而把原函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，每一段上的函數(shù)都是熟悉的函數(shù)，討論它們的單調(diào)性就可以得到原函數(shù)的單調(diào)性.19、（1），（2）【解析】（1）由同角三角函數(shù)基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式化簡后求解（2）化為齊次式后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡求值【小問1詳解】，而角是第三象限角，故，則，【小問2詳解】，將代入，原式20、（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】（1）按要求寫出對應(yīng)公式即可.（2）利用任意角定義以及對稱性即可證明對應(yīng)公式.【詳解】（1）①，，.②，，.（2）①證明：設(shè)任意角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為.由于角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱，因此角的終邊與單位圓的交點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是.由任意角的三角函數(shù)定義得，，，；，，.所以，，.②證明：設(shè)任意角的終邊與單位圓的交