2025屆遼寧省北票市尹湛納希高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2025屆遼寧省北票市尹湛納希高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．曲線為四葉玫瑰線，這種曲線在苜蓿葉型立交橋的布局中有非常廣泛的應(yīng)用，苜蓿葉型立交橋有兩層，將所有原來需要穿越相交道路的轉(zhuǎn)向都由環(huán)形匝道來實現(xiàn)，即讓左轉(zhuǎn)車輛行駛環(huán)道后自右側(cè)切向匯入高速公路，四條環(huán)形匝道就形成了苜蓿葉的形狀.下列結(jié)論正確的個數(shù)是()①曲線C關(guān)于點(0，0)對稱；②曲線C關(guān)于直線y＝x對稱；③曲線C的面積超過4π.A.0 B.1C.2 D.32．已知拋物線的焦點為，在拋物線上有一點，滿足，則的中點到軸的距離為（）A. B.C. D.3．（2017新課標(biāo)全國Ⅲ理科）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為A. B.C. D.4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為，則輸入的的值可能為（）A.96 B.97C.98 D.995．已知點是拋物線的焦點，點為拋物線上的任意一點，為平面上點，則的最小值為A.3 B.2C.4 D.6．阿基米德曾說過：“給我一個支點，我就能撬動地球”.他在做數(shù)學(xué)研究時，有一個有趣的問題：一個邊長為2的正方形內(nèi)部挖了一個內(nèi)切圓，現(xiàn)在以該內(nèi)切圓的圓心且平行于正方形的一邊的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成幾何體，則該旋轉(zhuǎn)體的體積為（）A. B.C. D.7．如圖，在三棱錐S—ABC中，點E，F(xiàn)分別是SA，BC的中點，點G在棱EF上，且滿足，若，，，則（）A. B.C. D.8．已知橢圓的左右焦點分別為，直線與C相交于M，N兩點（其中M在第一象限），若M，，N，四點共圓，且直線傾斜角不小于，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（）A. B.C. D.9．已知一個乒乓球從米高的高度自由落下，每次落下后反彈的高度是原來高度的倍，則當(dāng)它第8次著地時，經(jīng)過的總路程是（）A. B.C. D.10．過點與直線平行的直線的方程是（）A. B.C. D.11．橢圓的左右兩焦點分別為，，過垂直于x軸的直線交C于A，B兩點，，則橢圓C的離心率是（）A. B.C. D.12．過點，且斜率為2的直線方程是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，以為圓心的圓經(jīng)過原點，且與拋物線的準(zhǔn)線相切，切點為，線段交拋物線于點，則___________.14．已知，求_____________.15．已知，點在軸上，且，則點的坐標(biāo)為____________.16．如圖，在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)，且存在兩個極值點、，其中.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）若恒成立，求最小值.18．（12分）設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2-a≤x≤1+2a}，其中a∈R.（1）若“x∈A”是“x∈B”充分條件，求a的取值范圍；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要條件，求a的取值范圍.19．（12分）求適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）中心在原點，實軸在軸上，一個焦點在直線上的等軸雙曲線；（2）橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率等于，且它的一個頂點恰好是拋物線的焦點；（3）經(jīng)過點拋物線20．（12分）已知.（1）求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知銳角內(nèi)角，，的對邊長分別是，，，若，.求面積的最大值.21．（12分）共享電動車（sharedev）是一種新的交通工具，通過掃碼開鎖，實現(xiàn)循環(huán)共享.某記者來到中國傳媒大學(xué)探訪，在校園噴泉旁停放了10輛共享電動車，這些電動車分為熒光綠和橙色兩種顏色，已知從這些共享電動車中任取1輛，取到的是橙色的概率為，若從這些共享電動車中任意抽取3輛.（1）求取出的3輛共享電動車中恰好有一輛是橙色的概率；（2）求取出的3輛共享電動車中橙色的電動車的輛數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）若，求的最大值；（2）若，求證：有且只有一個零點.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)圖像或解析式即可判斷對稱性①②；估算第一象限內(nèi)圖像面積即可判斷③.【詳解】①將點(－x，－y)代入后依然為，故曲線C關(guān)于原點對稱；②將點(y，x)代入后依然為，故曲線C關(guān)于y＝x對稱；③曲線C在四個象限的圖像是完全相同的，不妨只研究第一象限的部分，∵，∴曲線C上離原點最遠(yuǎn)的點的距離為顯然第一象限內(nèi)曲線C的面積小于以為直徑的圓的面積，又∵，∴第一象限內(nèi)曲線C的面積小于，則曲線C的總面積小于4π.故③錯誤.故選：C.2、A【解析】設(shè)點，利用拋物線的定義求出的值，可求得點的橫坐標(biāo)，即可得解.【詳解】設(shè)點，易知拋物線的焦點為，由拋物線的定義可得，得，所以，點的橫坐標(biāo)為，故點到軸的距離為.故選：A.3、B【解析】繪制圓柱的軸截面如圖所示，由題意可得：，結(jié)合勾股定理，底面半徑，由圓柱的體積公式，可得圓柱的體積是，故選B.【名師點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.4、D【解析】根據(jù)程序框圖得出的變換規(guī)律后求解【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，可得輸出的T關(guān)于t的變換周期為4，而，故時，輸出的值為，故選：D5、A【解析】作垂直準(zhǔn)線于點，根據(jù)拋物線的定義，得到，當(dāng)三點共線時，的值最小，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】如圖，作垂直準(zhǔn)線于點，由題意可得，顯然，當(dāng)三點共線時，的值最?。灰驗?，，準(zhǔn)線，所以當(dāng)三點共線時，，所以.故選A【點睛】本題主要考查拋物線上任一點到兩定點距離的和的最值問題，熟記拋物線的定義與性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.6、B【解析】根據(jù)題意，結(jié)合圓柱和球的體積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知：該旋轉(zhuǎn)體的體積等于底面半徑為，高為的圓柱的體積減去半徑為的球的體積，即，故選：B7、D【解析】利用空間向量的加、減運(yùn)算即可求解.詳解】由題意可得故選：D8、B【解析】設(shè)橢圓的半焦距為c，由橢圓的中心對稱性和圓的性質(zhì)得以為直徑的圓與橢圓C有公共點，則有以，再根據(jù)直線傾斜角不小于得，由橢圓的定義得，由此可求得橢圓離心率的范圍.【詳解】解：設(shè)橢圓的半焦距為c，由橢圓的中心對稱性和M，，N，四點共圓得，四邊形必為一個矩形，即以為直徑的圓與橢圓C有公共點，所以，所以，所以，因為直線傾斜角不小于，所以直線傾斜角不小于，所以，化簡得，，因為，所以，所以，，又，因為，所以，所以，所以，所以.故選：B.9、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】從第1次著地到第2次著地經(jīng)過的路程為，第2次著地到第3次著地經(jīng)過的路程為，組成以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以第1次著地到第8次著地經(jīng)過的路程為，所以經(jīng)過的總路程是.故答案為：C.10、A【解析】根據(jù)題意利用點斜式寫出直線方程即可.【詳解】解：過點的直線與直線平行，，即.故選：A.11、C【解析】由題可得為等邊三角形，可得，即得.【詳解】∵過垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點，，∴為等邊三角形，由代入，可得，∴，所以，即，又，解得.故選：C.12、A【解析】由直線點斜式計算出直線方程.【詳解】因為直線過點，且斜率為2，所以該直線方程為，即.故選【點睛】本題考查了求直線方程，由題意已知點坐標(biāo)和斜率，故選用點斜式即可求出答案，較為簡單.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析可知為等腰三角形，可得出，將點的坐標(biāo)代入拋物線的方程，可求得的值，可得出拋物線的方程以及點的坐標(biāo)，求出點的坐標(biāo)，設(shè)點，其中，分析可知，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示求出的值，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】由拋物線的定義結(jié)合已知條件可知，則為等腰三角形，易知拋物線的焦點為，故，即點，因為點在拋物線上，則，解得，所以，拋物線的方程為，故點、，因為以點為圓心，為半徑的圓與直線相切于點，則，設(shè)點，其中，，，由題意可知，則，整理可得，解得，因此，.故答案為：.14、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】，所以，故答案為：.15、【解析】設(shè)P(0,0,z),由|PA|=|PB|,得1+4+(z?1)2=4+4+(z?2)2，解得z=3，故點P的坐標(biāo)為(0,0,3).16、##【解析】過作，垂足為，則平面，則即為所求角，從而可得結(jié)果.【詳解】依題意，畫出圖形，如圖，過作，垂足為，可知點H為中點，由平面，可得，又所以平面，則即為所求角，因為，，所以，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）存在兩個極值點，等價于其導(dǎo)函數(shù)有兩個相異零點；（2）適當(dāng)構(gòu)造函數(shù)，并注意與關(guān)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最大值問題，即可求得的范圍.【小問1詳解】（），，函數(shù)存在兩個極值點、，且，關(guān)于的方程，即在內(nèi)有兩個不等實根，令，，即，，實數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】函數(shù)在上有兩個極值點，由（1）可得，由，得，則，，，，，，，，令，則且，令，，，再設(shè)，則，，，即在上是減函數(shù)，（1），，在上是增函數(shù)，（1），，恒成立，恒成立，，的最小值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，最值，不等式證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題的關(guān)鍵是將恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，化簡，令，則化為，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可，屬于較難題18、（1）（2）【解析】（1）由“”是“”的充分條件，可得，從而可得關(guān)于的不等式組，解不等式組可得答案；（2）“”是“”的必要條件，可得，然后分和兩種情況求解即可【小問1詳解】由題意得到A＝[1，5]，由“x∈A”是“x∈B”的充分條件可得A?B，則，解得，故實數(shù)a的取值范圍是.【小問2詳解】由“x∈A”是“x∈B”的必要條件可得B?A，當(dāng)時，2-a＞1+2a，即a＜時，滿足題意，當(dāng)時，即a≥時，則，解得≤a≤1.綜上a≤1，故實數(shù)a的取值范圍是.19、（1）（2）（3）或【解析】（1）由已知求得，再由等軸雙曲線的性質(zhì)可求得則，由此可求得雙曲線的方程；（2）由已知求得拋物線的焦點為，得出橢圓的，再根據(jù)橢圓的離心率求得，由此可得出橢圓的方程；（3）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或，代入點求解即可.【小問1詳解】解：對于直線，令，得，所以，則，所以，所以中心在原點，實軸在軸上，一個焦點在直線上的等軸雙曲線的方程為；【小問2詳解】解：由得拋物線的焦點為，所以對于橢圓，，又橢圓的離心率為，所以，解得，所以橢圓的方程；【小問3詳解】解：因為點在第三象限，所以滿足條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是：或，代入點得或，解得或，所以經(jīng)過點的拋物線的方程為或20、（1）；（2）.【解析】（1）首先根據(jù)三角函數(shù)恒等變換得到，再求其單調(diào)增區(qū)間即可.（2）根據(jù)得到，根據(jù)余弦定理和基本不等式得到，結(jié)合三角形面積公式計算即可.【小問1詳解】由題意.由，得，令，得，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間是【小問2詳解】因為，所以，得，又C是銳角，所以，由余弦定理：，得，所以，且當(dāng)時等號成立所以，故面積最大值為21、（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為.【解析】（1）先求出兩種顏色的電動車各有多少輛，然后根據(jù)超幾何分布求概率的方法即可求得答案；（2）先確定X的所有可能取值，進(jìn)而求出概率并列出分布列，然后根據(jù)期望公式求出答案.【小問1詳解】因為從10輛共享電動車中任取一輛，取到橙色的概率為0.4，所以橙色的電動車有4輛，熒光綠的電動車有6輛.記A為“從中任取3輛共享單車中恰好有一輛是橙色”，則.【小問2詳解】隨機(jī)變量