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2025屆太原師院附中師苑中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)則以線段為直徑的圓的方程是()A. B.C. D.2.2020年是脫貧攻堅(jiān)決戰(zhàn)決勝之年,某市為早日實(shí)現(xiàn)目標(biāo),現(xiàn)將甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三個(gè)貧困縣扶貧,要求每個(gè)貧困縣至少分到一人,則甲被派遣到縣的分法有()A.6種 B.12種 C.24種 D.36種3.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,將此圖象分別作以下變換,那么變換后的圖象可以與原圖象重合的變換方式有()①繞著軸上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn);②沿軸正方向平移;③以軸為軸作軸對(duì)稱;④以軸的某一條垂線為軸作軸對(duì)稱.A.①③ B.③④ C.②③ D.②④4.已知a>0,b>0,a+b=1,若α=,則的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.65.復(fù)數(shù)的模為().A. B.1 C.2 D.6.雙曲線C:(,)的離心率是3,焦點(diǎn)到漸近線的距離為,則雙曲線C的焦距為()A.3 B. C.6 D.7.設(shè),是空間兩條不同的直線,,是空間兩個(gè)不同的平面,給出下列四個(gè)命題:①若,,,則;②若,,,則;③若,,,則;④若,,,,則.其中正確的是()A.①② B.②③ C.②④ D.③④8.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)的值為()A.或 B. C. D.或10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,則()A.45 B.42 C.25 D.3611.已知集合A={y|y},B={x|y=lg(x﹣2x2)},則?R(A∩B)=()A.[0,) B.(﹣∞,0)∪[,+∞)C.(0,) D.(﹣∞,0]∪[,+∞)12.已知,則p是q的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.安排名男生和名女生參與完成項(xiàng)工作,每人參與一項(xiàng),每項(xiàng)工作至少由名男生和名女生完成,則不同的安排方式共有________種(用數(shù)字作答).14.已知函數(shù)為上的奇函數(shù),滿足.則不等式的解集為________.15.若,則__________.16.已知,記,則的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù).(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)如果對(duì)所有的≥0,都有≤,求的最小值;(Ⅲ)已知數(shù)列中,,且,若數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求證:.18.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若對(duì)任意成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知等差數(shù)列滿足,.(l)求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為菱形,底面,.(1)求證:平面;(2)若直線與平面所成的角為,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.21.(12分)如圖,在正四棱柱中,,,過頂點(diǎn),的平面與棱,分別交于,兩點(diǎn)(不在棱的端點(diǎn)處).(1)求證:四邊形是平行四邊形;(2)求證:與不垂直;(3)若平面與棱所在直線交于點(diǎn),當(dāng)四邊形為菱形時(shí),求長(zhǎng).22.(10分)如圖,在三棱柱中,平面,,且.(1)求棱與所成的角的大??;(2)在棱上確定一點(diǎn),使二面角的平面角的余弦值為.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
計(jì)算的中點(diǎn)坐標(biāo)為,圓半徑為,得到圓方程.【詳解】的中點(diǎn)坐標(biāo)為:,圓半徑為,圓方程為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2、B【解析】
分成甲單獨(dú)到縣和甲與另一人一同到縣兩種情況進(jìn)行分類討論,由此求得甲被派遣到縣的分法數(shù).【詳解】如果甲單獨(dú)到縣,則方法數(shù)有種.如果甲與另一人一同到縣,則方法數(shù)有種.故總的方法數(shù)有種.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查簡(jiǎn)答排列組合的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
計(jì)算得到,,故函數(shù)是周期函數(shù),軸對(duì)稱圖形,故②④正確,根據(jù)圖像知①③錯(cuò)誤,得到答案.【詳解】,,,當(dāng)沿軸正方向平移個(gè)單位時(shí),重合,故②正確;,,故,函數(shù)關(guān)于對(duì)稱,故④正確;根據(jù)圖像知:①③不正確;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)和圖像的綜合應(yīng)用.4、C【解析】
根據(jù)題意,將a、b代入,利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】∵a>0,b>0,a+b=1,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào).
答案:C【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用,“1”的應(yīng)用,利用基本不等式求最值時(shí),一定要正確理解和掌握“一正,二定,三相等”的內(nèi)涵:一正是首先要判斷參數(shù)是否為正;二定是其次要看和或積是否為定值(和定積最大,積定和最?。?;三相等是最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn),再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.【詳解】解:,復(fù)數(shù)的模為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)模的求法,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距離,可得,然后根據(jù),可得結(jié)果.【詳解】由題可知:雙曲線的漸近線方程為取右焦點(diǎn),一條漸近線則點(diǎn)到的距離為,由所以,則又所以所以焦距為:故選:A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線方程,以及之間的關(guān)系,識(shí)記常用的結(jié)論:焦點(diǎn)到漸近線的距離為,屬基礎(chǔ)題.7、C【解析】
根據(jù)線面平行或垂直的有關(guān)定理逐一判斷即可.【詳解】解:①:、也可能相交或異面,故①錯(cuò)②:因?yàn)?,,所以或,因?yàn)椋?,故②?duì)③:或,故③錯(cuò)④:如圖因?yàn)椋?,在?nèi)過點(diǎn)作直線的垂線,則直線,又因?yàn)?,設(shè)經(jīng)過和相交的平面與交于直線,則又,所以因?yàn)?,,所以,所以,故④?duì).故選:C【點(diǎn)睛】考查線面平行或垂直的判斷,基礎(chǔ)題.8、C【解析】
化簡(jiǎn)得到,得到答案.【詳解】,故,對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)和對(duì)應(yīng)象限,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.9、C【解析】試題分析:因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù),所以且,因此注意不要忽視虛部不為零這一隱含條件.考點(diǎn):純虛數(shù)10、D【解析】
由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,進(jìn)而代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式即可.【詳解】由題,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和.11、D【解析】
求函數(shù)的值域得集合,求定義域得集合,根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義寫出運(yùn)算結(jié)果.【詳解】集合A={y|y}={y|y≥0}=[0,+∞);B={x|y=lg(x﹣2x2)}={x|x﹣2x2>0}={x|0<x}=(0,),∴A∩B=(0,),∴?R(A∩B)=(﹣∞,0]∪[,+∞).故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)集合的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有函數(shù)的定義域,函數(shù)的值域,集合的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題目.12、B【解析】
根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)再分析即可.【詳解】因?yàn)?所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分條件.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查充分與必要條件的判定以及誘導(dǎo)公式的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1296【解析】
先從4個(gè)男生選2個(gè)一組,將4人分成三組,然后從4個(gè)女生選2個(gè)一組,將4人分成三組,然后全排列即可.【詳解】由于每項(xiàng)工作至少由名男生和名女生完成,則先從4個(gè)男生選2個(gè)一組,將4人分成三組,所以男生的排法共有,同理女生的排法共有,故不同的安排共有種.故答案為:1296【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合的應(yīng)用,考查了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力.14、【解析】
構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性,再將所求不等式變形為,利用函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】設(shè),則,設(shè),則.當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.所以,函數(shù)在處取得極小值,也是最小值,即,,,,即,所以,函數(shù)在上為增函數(shù),函數(shù)為上的奇函數(shù),則,,則不等式等價(jià)于,又,解得.因此,不等式的解集為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的求解,構(gòu)造函數(shù),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強(qiáng).15、【解析】
由已知利用兩角差的正弦函數(shù)公式可得,兩邊平方,由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,二倍角的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解.【詳解】,得,在等式兩邊平方得,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角差的正弦函數(shù)公式,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,二倍角的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
根據(jù)定積分的計(jì)算,得到,令,求得,即可得到答案.【詳解】根據(jù)定積分的計(jì)算,可得,令,則,即的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了定積分的應(yīng)用,以及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,其中解答中根據(jù)定積分的計(jì)算和二項(xiàng)式定理求得的表示是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)函數(shù)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析.【解析】
(Ⅰ)先求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),通過解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(x)﹣ax,先求出函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,得到函數(shù)的單調(diào)性,從而求出a的最小值;(Ⅲ)先求出數(shù)列是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,,,問題轉(zhuǎn)化為證明:,通過換元法或數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可.【詳解】解:(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)椋ī?,+∞),,當(dāng)時(shí),f′(x)<2,當(dāng)時(shí),f′(x)>2,所以函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(Ⅱ)設(shè),則,因?yàn)閤≥2,故,(?。┊?dāng)a≥1時(shí),1﹣a≤2,g′(x)≤2,所以g(x)在[2,+∞)單調(diào)遞減,而g(2)=2,所以對(duì)所有的x≥2,g(x)≤2,即f(x)≤ax;(ⅱ)當(dāng)1<a<1時(shí),2<1﹣a<1,若,則g′(x)>2,g(x)單調(diào)遞增,而g(2)=2,所以當(dāng)時(shí),g(x)>2,即f(x)>ax;(ⅲ)當(dāng)a≤1時(shí),1﹣a≥1,g′(x)>2,所以g(x)在[2,+∞)單調(diào)遞增,而g(2)=2,所以對(duì)所有的x>2,g(x)>2,即f(x)>ax;綜上,a的最小值為1.(Ⅲ)由(1﹣an+1)(1+an)=1得,an﹣an+1=an?an+1,由a1=1得,an≠2,所以,數(shù)列是以為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,故,,,?,由(Ⅱ)知a=1時(shí),,x>2,即,x>2.法一:令,得,即因?yàn)?,所以,故.法二?下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.(1)當(dāng)n=1時(shí),令x=1代入,即得,不等式成立(1)假設(shè)n=k(k∈N*,k≥1)時(shí),不等式成立,即,則n=k+1時(shí),,令代入,得,即:,由(1)(1)可知不等式對(duì)任何n∈N*都成立.故.考點(diǎn):1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值;3、數(shù)列的通項(xiàng)公式;4、數(shù)列的前項(xiàng)和;5、不等式的證明.18、(1)(2)【解析】
(1)求出及其導(dǎo)函數(shù),利用研究的單調(diào)性和最值,根據(jù)零點(diǎn)存在定理和零點(diǎn)定義可得的范圍.(2)令,題意說明時(shí),恒成立.同樣求出導(dǎo)函數(shù),由研究的單調(diào)性,通過分類討論可得的單調(diào)性得出結(jié)論.【詳解】解(1)函數(shù)所以討論:①當(dāng)時(shí),無零點(diǎn);②當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增.取,則又,所以,此時(shí)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn);③當(dāng)時(shí),令,解得(舍)或當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞增.據(jù)題意,得,所以(舍)或綜上,所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.(2)令,根據(jù)題意知,當(dāng)時(shí),恒成立.又討論:①若,則當(dāng)時(shí),恒成立,所以在上是增函數(shù).又函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,所以存在使,不符合題意.②若,則當(dāng)時(shí),恒成立,所以在上是增函數(shù),據(jù)①求解知,不符合題意.③若,則當(dāng)時(shí),恒有,故在上是減函數(shù),于是“對(duì)任意成立”的充分條件是“”,即,解得,故綜上,所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)問題,考查不等式恒成立問題,考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.解題關(guān)鍵是通過分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性.本題難度較大,考查掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力.19、(1);(2).【解析】試題分析:(1)設(shè)等差數(shù)列滿的首項(xiàng)為,公差為,代入兩等式可解。(2)由(1),代入得,所以通過裂項(xiàng)求和可求得。試題解析:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則由題意可得,解得.所以.(2)因?yàn)?,所?所以.20、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)由底面為菱形,得,再由底面,可得,結(jié)合線面垂直的判定可得平面;(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在直線及過點(diǎn)且垂直于平面的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的一個(gè)法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:底面為菱形,,底面,平面,又,平面,平面;(2)解:,,為等邊三角形,.底面,是直線與平面所成的角為,在中,由,解得.如圖,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在直線及過點(diǎn)且垂直于平面的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,.,,,.設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為,.由,取,得;由,取,得..平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面垂直的判定,考查空間想象能力與思維能力,訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角,屬于中檔題.21、(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3).【解析】
(1)由平面與平面沒有交點(diǎn),可得與不相交,又與共面,所以,同理可證,得證;(2)由四邊形是平行四邊形,且,則不可能是矩形,所以與不垂直;(3)先證,可得為的中點(diǎn),從而得出是的中點(diǎn),可得.【詳解】(1)依題意都在平面上,因此平面,平面,又平面,平面,平面與平面平行,即兩個(gè)平面沒有交點(diǎn),則與不相交,又與共面,所以,同理可證,所以四邊形是平行四邊形;(2)因?yàn)?,兩點(diǎn)不在棱的端點(diǎn)處,所以,又四邊形是平行四邊形,,則不可能是矩形,所以與不垂直;(3)如圖,延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),若四
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