2025屆湖北鄂州市數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2025屆湖北鄂州市數(shù)學(xué)高二上期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．，則（）A. B.C. D.2．在平面內(nèi)，A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)C的軌跡為（）A.圓 B.橢圓C.拋物線 D.直線3．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則線段的長(zhǎng)度的最小值為（）A. B.4C. D.4．如圖，在正方體中，點(diǎn)E是上底面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，若，則下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.6．已知命題若直線與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線與拋物線相切，命題若，則方程表示橢圓.下列命題是真命題的是A. B.C. D.7．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.， B.，C.， D.，8．設(shè)，若直線與直線平行，則的值為（）A. B.C.或 D.9．?dāng)?shù)列，，，，…，是其第（）項(xiàng)A.17 B.18C.19 D.2010．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.11．（2017新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ理科）已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為A. B.C. D.12．圓關(guān)于直線對(duì)稱圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作斜率大于0的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)（A在B的上方），且l與準(zhǔn)線交于點(diǎn)C，若，則_________.14．函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.15．橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，橢圓與雙曲線的離心率分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則的取值范圍是___________.16．雙曲線的離心率為2，寫出滿足條件的一個(gè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，是圓內(nèi)一點(diǎn)，線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn)（1）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且斜率為的直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，記、的斜率分別是、，以、為直徑的圓的面積分別為、當(dāng)、都存在且不為時(shí)，試探究是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由18．（12分）某消費(fèi)者協(xié)會(huì)在3月15號(hào)舉行了以“攜手共治，暢享消費(fèi)”為主題的大型宣傳咨詢服務(wù)活動(dòng)，著力提升消費(fèi)者維權(quán)意識(shí)，組織方從參加活動(dòng)的群眾中隨機(jī)抽取120名群眾，按年齡將這120名群眾分成5組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求圖中m的值；（2）估算這120名群眾的年齡的中位數(shù)（結(jié)果精確到0.1）；（3）已知第1組群眾中男性有2人，組織方要從第1組中隨機(jī)抽取2名群眾組成維權(quán)志愿者服務(wù)隊(duì)，求恰有一名女性的概率.19．（12分）已知橢圓）過(guò)點(diǎn)A（0，），且與雙曲線有相同的焦點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上異于A的兩點(diǎn)，且滿足，試判斷直線MN是否過(guò)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由20．（12分）已知復(fù)數(shù)，是實(shí)數(shù).（1）求復(fù)數(shù)z；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所表示的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，，，是的中點(diǎn)（1）求證：；（2）已知二面角的余弦值為，求與平面所成角的正弦值22．（10分）已知等差數(shù)列滿足（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】求出，然后可得答案.【詳解】，所以故選：B2、A【解析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合數(shù)量積定義求解其軌跡方程即可.【詳解】設(shè)，以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則：，設(shè)，可得：，從而：，結(jié)合題意可得：，整理可得：，即點(diǎn)C的軌跡是以AB中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，軌跡方程的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.3、A【解析】求出的最小值，由切線長(zhǎng)公式可結(jié)論【詳解】解：由，得最小時(shí)，最小，而，所以故選：A.4、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角求解.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B5、B【解析】令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，從而求出答案【詳解】解：令，則，又不等式恒成立，所以，即，所以在單調(diào)遞增，故，即，所以，故選：B6、B【解析】若直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，滿足條件，此時(shí)直線與拋物線相交，可判斷命題為假；當(dāng)時(shí)，，命題為真，根據(jù)復(fù)合命題的真假關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】若直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，直線與拋物不相切，可得命題是假命題，當(dāng)時(shí)，，方程表示橢圓命題是真命題，則是真命題.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】由題方程化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出c，則橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)可求【詳解】由題得方程可化為，所以所以焦點(diǎn)為故選：A.8、C【解析】根據(jù)直線的一般式判斷平行的條件進(jìn)行計(jì)算.【詳解】時(shí)，容易驗(yàn)證兩直線不平行，當(dāng)時(shí)，根據(jù)兩直線平行的條件可知：，解得或.故選：C.9、D【解析】根據(jù)題意，分析歸納可得該數(shù)列可以寫成，，，……，，可得該數(shù)列的通項(xiàng)公式，分析可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，數(shù)列，，，，…，，可寫成，，，……，，對(duì)于，即，為該數(shù)列的第20項(xiàng)；故選：D.【點(diǎn)睛】此題考查了由數(shù)列的項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查歸納能力，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式直接得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋詳?shù)列是等差數(shù)列，公差為1，所以.故選：B11、B【解析】繪制圓柱的軸截面如圖所示，由題意可得：，結(jié)合勾股定理，底面半徑，由圓柱的體積公式，可得圓柱的體積是，故選B.【名師點(diǎn)睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.12、D【解析】先根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓的圓心和半徑，求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)而寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，且關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，所以所求圓的圓心為、半徑為，即所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】分別過(guò)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，由可求.【詳解】分別過(guò)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，設(shè)，，則，∴，∴.故答案為：2.14、【解析】根據(jù)題意求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)并且通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到原函數(shù)的極值，因?yàn)楹瘮?shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的極大值小于或極小值大于，即可得到答案.【詳解】解：由題意可得：函數(shù)，所以，令，則或，令，則，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，減區(qū)間為所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有極大值，當(dāng)時(shí)函數(shù)有極小值，，因?yàn)楹瘮?shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，，所以或，解得或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：15、【解析】根據(jù)橢圓和雙曲線得定義求得，再根據(jù)，可得，從而有，求出的范圍，根據(jù)，結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】解：設(shè)，則有，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以，即，則，由，得，所以，所以，則，由，得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，因?yàn)?，所以，所以，即，所以的取值范圍?故答案為：.16、（答案不唯一例如：等，只需滿足即可）【解析】根據(jù)離心率和的關(guān)系，可得到，只要滿足以上關(guān)系的即可【詳解】由題可知，又，所以，只要滿足以上關(guān)系即可.,答案不唯一例如：等故答案為：（答案不唯一例如：等，只需滿足即可）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）是定值，.【解析】(1)由條件可得點(diǎn)軌跡滿足橢圓定義，設(shè)出橢圓方程，由，的值可得的值，從而求得軌跡方程；(2)設(shè)出直線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，分別求得為定值，也為定值，從而可得是定值【小問(wèn)1詳解】由題意知，，根據(jù)橢圓的定義知點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓的方程為，則，，曲線的方程為；【小問(wèn)2詳解】由題意知直線的方程為且m≠0)，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，，，，由得，，，，，，，，，，是定值，為．18、（1）（2）（3）【解析】（1）由頻率分布直方圖中所有頻率和為1求出；（2）求出概率對(duì)應(yīng)的值即為中位數(shù)；（3）求出第一組中總?cè)藬?shù)，得女性人數(shù)，然后求得恰有一名女性的方法數(shù)和總的方法數(shù)后可得概率【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)轭l率分布直方圖的小矩形面積和為1，所以，解得，【小問(wèn)2詳解】解：前2組頻率和為，前3組頻率和為，所以中位數(shù)在第3組，設(shè)中位數(shù)為，則，；【小問(wèn)3詳解】解：第一組總?cè)藬?shù)為，男性人2人，則女性有4人，不妨記兩名男性為，四名女性為，則隨機(jī)抽取2名群眾的可能為，，，共15種方案，其中恰有一名女性的方法數(shù)，共8種，所以第1組中隨機(jī)抽取2名群眾組成維權(quán)志愿者服務(wù)隊(duì)，求恰有一名女性的概率為19、（1）（2）直線過(guò)定點(diǎn)；理由見解析【解析】（1）根據(jù)題意可求得，進(jìn)而求得橢圓方程；（2）考慮直線斜率是否存在，設(shè)直線方程并聯(lián)立橢圓方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，然后利用，將根與系數(shù)的關(guān)系式代入化簡(jiǎn)得到，結(jié)合直線方程,化簡(jiǎn)可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】依題意，，所以，故橢圓方程為：【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，設(shè)M（），N（，），則，,此時(shí)M，N重合，不符合題意；當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)MN的方程為：，M（，），N（），與橢圓方程聯(lián)立可得：，即，∴，即，∴，∴，∴，當(dāng)時(shí)，,直線MN：，即，令，則，∴直線過(guò)定點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求法以及直線和橢圓相交時(shí)過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，解答時(shí)要注意解題思路的順暢，解答的難點(diǎn)在于運(yùn)算量較大且復(fù)雜，需要十分細(xì)心.20、（1）（2）【解析】（1）先將代入化簡(jiǎn)，再由其虛部為零可求出的值，從而可求出復(fù)數(shù)，（2）先對(duì)化簡(jiǎn)，再由題意可得從而可求得結(jié)果【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，解得.故.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)閺?fù)數(shù)所表示的點(diǎn)在第二象限，所以解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由菱形及線面垂直的性質(zhì)可得、，再根據(jù)線面垂直的判定、性質(zhì)即可證結(jié)論.（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，結(jié)合已知確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求面、面的法向量，結(jié)合已知二面角的余弦值求出參數(shù)t，再根據(jù)空間向量夾角的坐標(biāo)表示求與平面所成角的正弦值【小問(wèn)1詳解】由平面，平面，則，又是菱形，則，又，所以平面，平面所以E.【小問(wèn)2詳解】分別以，，為，，軸