高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模擬練習(xí)

高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模擬練習(xí)

2011年6月

一、單項(xiàng)選擇題(每小題4分，本題共20分)

1.函數(shù)y=e的圖形關(guān)于()對(duì)稱.

(A)坐標(biāo)原點(diǎn)(B)x軸

(C)y軸(D)y=x

2.在下列指定的變化過程中,)是無窮小量.

.1，、

(A)xsin—(x—>oo)(B)sin-(x->0)

xx

(C)ln(x+l)(x0)(D)er(x—>oo)

f(x-2h)-f(x)

3.設(shè)f(x)在/可導(dǎo)，則lim0Q).

2h

(A)f'(xo)(B)V(XO)

r

(C)-/Xx0)(D)-2/(x0)

4.若J/(x)dx=/(%)+c,貝!)J，/(lnx)dr=().

(A)F(lnx)(B)F(lnx)+c

(C)-F(lnx)+c(D)F(-)+c

xx

5.下列積分計(jì)算正確的是(

?1.f0

(A)IxsinAdx=0(B)je-xdx=1

J-I

fO

(C)sin2Adx=7i(D)jXCOSACIA-=0

J-00

二、填空題(每小題4分，共20分)

[函數(shù)v=的定義域是

7477

2.若函數(shù)/(幻二卜1+工尸工<°,在x=0處連續(xù)，則左=____________

[X?+女X>0

3.曲線f(x)=/+1在(1,2)處的切線斜率是.

4.函數(shù)v=arctanx的單調(diào)增加區(qū)間是.

5.若Jf(x)dx=sinx+c,則f\x)=.

三、計(jì)算題（每小題11分，共44分）

1.計(jì)算極限lim加”

x"%--1

2.設(shè)y=lnx+cose",求y'.

3.計(jì)算不定積分

4.計(jì)算定積分「Inxdx.

四、應(yīng)用題（本題16分）

某制罐廠要生產(chǎn)??種體積為V的有蓋圓柱形容器，問容器的底半徑與高各為多少時(shí)用料最省？

高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

模擬練習(xí)答案

一、單項(xiàng)選擇題

LA2.C3.C4.B5.D

二、填空題

1.(-1,2)2.e3.34.(-00,+00)5.-sinx

三、計(jì)算題

sin(x+l)..sin(x+l)1

1.解：lim——；---=hm-------------------=——

x~-1--I(x+iXx-i)2

2.解：/=l-ersinev

X

3.解：由換元積分法得

1

J二dr=-je'd(-)=-Jewdw=-eM+c

XX

=-er+c

4.解：由分部積分法得

/Inxdx=xln邸-{xd(lnx)

=e-Jedx=l

四、應(yīng)用題（本題16分）

解：設(shè)容器的底半徑為，高為〃，則其表面積為

S=2直尸2+2nrh=2nr24———

r

2V

S,=4nr一一-

由5'=0,得唯一駐點(diǎn)r=由實(shí)際問題可知,時(shí)可使用料最省，此時(shí)力=,即當(dāng)容器的

底半徑與高分別為J二與J”4V時(shí)，用料最省.

2兀兀

《高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課程作業(yè)評(píng)講（D

第1章函數(shù)

第2章極限與連續(xù)

(一)單項(xiàng)選擇題

1.下列各函數(shù)對(duì)中，(C)中的兩個(gè)函數(shù)相等.

A./*)=(6)2,g(x)=XB.于(力=岳,g(x)=X

x2_]

C.f(A)=Inx3,g(x)=31nxD./(x)=x+l,g(x)=--------

x-\

點(diǎn)評(píng)：從函數(shù)的兩要素可知：兩個(gè)函數(shù)相等，當(dāng)且僅當(dāng)他們的定義域相同，對(duì)應(yīng)規(guī)則也相同。而與自變量或因變

量所用的字母無關(guān)。

2.設(shè)函數(shù)/(K)的定義域?yàn)?-00,+8),則函數(shù)/(X)+/(-X)的圖形關(guān)于(C)對(duì)稱.

A.坐標(biāo)原點(diǎn)B.X軸

C.y軸D.y=x

點(diǎn)評(píng)：可先用奇偶函數(shù)的定義來判斷它是什么函數(shù)，若是奇函數(shù)就關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，若是偶函數(shù)就關(guān)于Y軸對(duì)

稱。

3.下列函數(shù)中為奇函數(shù)是(B).

A.y=ln(l+x2)B.y=xcosx

C-.y=-a----+-Q-----D.y=l.n(l+x)

點(diǎn)評(píng)：可直接用奇偶函數(shù)的定義來判斷它是什么函數(shù)。若f(r)=/(x).則函數(shù)為偶函數(shù)：若/(r)=-/(x)，

則函數(shù)為奇函數(shù)。

4.下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是(C).

A.y=x+\B.y=-x

-1,x<0

C.

1,x>0

點(diǎn)評(píng)：基本初等函數(shù)是指：常數(shù)函數(shù)、鬲函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)。

5.下列極限存計(jì)算不正確的是(D).

X2

A.lim—.........=1B.limln(l+x)=0

XT9X2+2XT。

一..sinx_「.1八

C.hm-------=0D.limxsin—=0

X->00%X

點(diǎn)評(píng)：只有無窮小量乘以有界變量才為無窮小量，如C,沒有無窮大量乘以有界變量為無窮小量。

6,當(dāng)x->0時(shí)，變量(C)是無窮小量.

C.xsin—D.ln(x+2)

x

點(diǎn)評(píng)：無窮小量乘以有界變量為無窮小量

7.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)/滿足(A),則/(X)在點(diǎn)為連續(xù)。

A.lim/U)=/(^0)B./(x)在點(diǎn)/的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義

C.limf(x)=f(x)D.limf(x)=limf(x)

XTX；0Xf貽X—石

點(diǎn)評(píng)：直接用函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義判斷。即函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，則在該點(diǎn)的極限值等于函數(shù)值.

(二)填空題

I2Q

1.函數(shù)f。)=V；:+ln(l+x)的定義域是—.｛小<一3或￥>3)

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的定義域就是使函數(shù)有意義的芻變量的變化范圍。

2.已知函數(shù)/*+1)=%2+X,則/*)=.X2-X

點(diǎn)評(píng)：正確理解函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系f的含義。

1-

3.1im(l+―)x=________.e2

xt92.r

點(diǎn)評(píng)：兩個(gè)重要極限之一稍加變形。

\_

4.若函數(shù)f(x)=?(l+x)'，x<°,在x=0處連續(xù)，則％=.e

x+k,x>0

點(diǎn)評(píng)：用連續(xù)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義求解。

%+1x>0

5.函數(shù)y=《'的間斷點(diǎn)是_______.x=0

sinx,x<0

點(diǎn)評(píng)：因?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值不等于極限值。

6.若lim/(x)=A,則當(dāng)xf/時(shí)，/(1)一4稱為.無窮小量

x-?o

(H)計(jì)算題

求極限常用的方法有：

⑴利用極限的四則運(yùn)算；

⑵利用兩個(gè)重要極限：

⑶利用無窮小量的性質(zhì)；

⑷利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

1.設(shè)函數(shù)

ex>0

f(x)

x,x<0

求：/(-2),/(0),/(1).

解：/(-2)=-2

/(O)=o

/⑴=/=e

點(diǎn)評(píng)：求分段函數(shù)的函數(shù)值主要是要判斷那一點(diǎn)是在哪一段上。即正確選擇某段函數(shù)。

2x-\

2.求函數(shù)y=lg1g----的定義域.

x

解：欲使函數(shù)有意義，必使1g生1>0,

x

2x-\

即：亦即：2x—l>x

X

解得函數(shù)的定義域是：x>\

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的定義域就是使函數(shù)有意義的芻變量的變化范圍。

3.在半徑為R的半圓內(nèi)內(nèi)接一梯形，梯形的一個(gè)底邊與半圓的直徑重合，另一底邊的兩個(gè)端點(diǎn)在半圓上，試將梯

形的面積表示成其高的函數(shù).

點(diǎn)評(píng)：建立函數(shù)關(guān)系(即數(shù)學(xué)表達(dá)式)的一般步驟是：

⑴分析問題中的各個(gè)量，哪些是常量，哪些是變量，從而確定自變量和因變量，并設(shè)出表示它們的字母；

⑵建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(若需要的話)；

⑶由已知條件或題意找出變量之間的關(guān)系，建立關(guān)系式；

⑷確定自變量的取值范圍。

解：設(shè)梯形的高CM二x,則。M=JR。-/

梯形的上底的。=2)72一。2,下底AB=2R

則梯形的面積

(2A//?2-x2+2R)x

s=------------------------

2

=(JR2-J2+R)X(0<X</?)

/4.sin3x

4.求lim----.

ZDsin2x

「sin3x

hm一

3313

原式二—xX3x=—x-

2..sin2x212

hm—

a。2x

點(diǎn)評(píng)：正確利用兩個(gè)重要極限，將函數(shù)作適當(dāng)變形。

5.求lim-------

stsin(x+1)

X—1lim(x-l)

解:原土則訴而NT-1

..sin(x+1)

IUTI-

X+1flX+1

點(diǎn)評(píng)：正確利用兩個(gè)重要極限，將函數(shù)作適當(dāng)變形。

ctan3x

6.求Imi---.

xT)x

sin3x

解：limc°s3*-311m型把x---=31im典更xlim---=3xlx-=3

r

.DXn3XCOS3XZ3X-?0cos3x1

點(diǎn)評(píng)：同上。

為V1+X2—1

7.求lim--------.

zosinx

2

后―rUI+X—1)(V1+x~+1).X.1Ain

解：原式二hm-----,-----------=lim/——xlim———=0x1=0

x—(Vl+x2+l)sinx=Jl+-+isinx

x

點(diǎn)評(píng)：同上。

r—1

8.求?

fx+3

+3

x-i￥x-1x+3—4丫+3x+3-4

解：原式二

x+3j\x+3x+3)x+3

、x+33+3

南1+二i-4Y-4Y

?lim1+=lim\1+

x+3Jx—>00、x+3jx—>xlx+3J

x+3

-4

1+—lim1+

x+3)x+3J

,....x2—6x+8

9.求lim-------

3x-5x+4

解：原式二lim(犬―4)(X—2)——

x->4(x-4)(x-1)x->4x-13

io.設(shè)函數(shù)

(x-2y,x>1

fM='X,-\<x<\

x+1,x<-i

討論/(x)的連續(xù)性，并寫出其連續(xù)區(qū)間.

點(diǎn)評(píng)：討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性，只要研究函數(shù)f(x)在該點(diǎn)處的左右極限情況，然后再由函數(shù)連續(xù)性的

定義判斷,

解：先看函數(shù)在分段點(diǎn)x=T處的情況，

vlim/W=lim^+1)=-i+i=o

XT-1XT-廣

lim/W=limx=-1

KT-l+X->-l+

**?lim/W*lim/W?故不存在。

x->-rxT-1+

：.x=-l為函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)。

再看函數(shù)在分段點(diǎn)X=1處的情況，

7lim/W=limx=1

.v->rx->「

lim/*)=lim(x-21=1

x->rx->r

故lim/(x)=i。

.t->rXTi.月TI

又因?yàn)?⑴=Xz=l

所以lim/*)=/(i)

X->1

故x=l是函數(shù)/(x)的連續(xù)點(diǎn)。

函數(shù)f(x)在連續(xù)區(qū)間是：(-00-l)u(-1,4-00)o

《高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課程作業(yè)評(píng)講(2)

第3章導(dǎo)數(shù)與微分

(一)單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)“0)=0且極限存在，則1皿&=(B).

x->0xX

A./(o)B.r(o)

c.f(x)D.0

2.設(shè)f(x)在/可導(dǎo)，則扁/"。-2')一二-。)=(D).

/TO2h

A.-2f\x0)B./Vo)

C.2f\x0)D.-f\xQ)

3.設(shè)/(x)=e、，則lim/⑴=(A).

加以Ax

A.eB.2e

11

C.—eD.—e

24

4.設(shè)/(x)=x(x-l)(x-2>??(x-99),則/'(0)=(D).

A.99B.-99

C.99!D.-99!

5.下列結(jié)論中正確的是(C).

A.若f(x)在點(diǎn)尤°有極限，則在點(diǎn)與可導(dǎo).

B.若/(x)在點(diǎn)與連續(xù)，則在點(diǎn)與可導(dǎo).

C.若/(x)在點(diǎn)與可導(dǎo)，則在點(diǎn)與有極限.

D.若/(X)在點(diǎn)X。有極限，則在點(diǎn)X。連續(xù).

(二)填空題

2.2.n

L設(shè)函數(shù)/(幻=?"sm】'x*，則八0)=Q.

0,x=0

21nx+5

2.設(shè)/(9)=e2x+5e*,則d/S幻=

dxx

3.曲線f(x)=4+1在(1,2)處的切線斜率是

2

4.曲線f(x)=sinX在(5，1)處的切線方程是y=\.

2xr2x

5.設(shè)y=xf則y=x(2Inx+2).

6.設(shè)y=xlnx,貝Uy"=—.

x

(三)計(jì)算題

i.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y：

點(diǎn)評(píng)：這組求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算題主要是采用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和基本求導(dǎo)公式來解決。

(Dy=(xy[x+3)ev

33--

解：/=(x2ex+3exy=|x2er+x2ev-3ex

231

=ex(x2+|x2+3)

(2)y=cotx+x2Inx

cosx-sin^sinA-COSXCOSX

解：V+x2Inx)'=+2,xInx+—)

sinxsin2xx

+2xlnx+x

sin2x

⑶y

Inx

2x\nx-xx(21nx-1)

解：y'=

In2xIn2x

(一sinx+2XIn2)x3-(cosX+2")?3x2

-xsinx+ln2-2Ax-3cosx-3-2x

：?

…2

sin工

(——2x)sinx-cosx(lnx-x2)

sin2x

(1-2x2)sinx-jccos(lnx-x2)

xsin2x

(6)y=x4-sinxlnx

..sinx、

解：y=4x3-(zcosxxlnx+----)

sinx

=4丁-cosxxlnx-

sinx+x2

(7)y=

3X

(cosx+2x)3*-3*ln3(sinx+x2)

解：y'

cosx+2x-In3(sinx+x2)

(8)y=e'tanx+Inx

ex1

解：y'=(extanx+———)+—

cosxx

ex(sinXCOSX+1)+1

cos2xx

2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y'：

這組求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算題主要是采用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，可用設(shè)中間變量的方法，當(dāng)中間變量不多時(shí)，也可直

接求。設(shè)中間變量的目的盡可能使函數(shù)成為基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算。

(Dy=e?

解：Ve-7==-------

2Vx2x

(2)y=Incosx

,-sinx

解：y=---------=-tanx

cosx

(3)y=^Xylx4x

!!!Z

解：因?yàn)閥二工3?x'二

7--

所以y=-x8

8

(4)y=sin2x

解：因?yàn)閥=2sinx?cosx=sin2x

所以y=g(x十，尸(i十.

⑸丁二、"

解：y'=cosx2-2x=2xcosx2

(6)y=cosev

解：/=-sinev-ex

=-exsinex

(7)y=sin"xcosnx

解：y'=(sin"x)'cos〃x+sin"x?(cosnxV

=Hsinz,"|x?cosx?cos+sin"x(-sin〃x)〃

=〃sin"ix(cosxcosnx-sinxsinnx)

⑻y=5Sinx

解：設(shè)y=5"w=sinx

y,=y：x；=5"In5?cosx=In5?5s111'?cosx

注：因只有一次復(fù)合，也可直接計(jì)算。

(9)y=ecosr

解：設(shè)y=e"u=cosx

fliC0SA

y'=yuu!x-e(-sinx)=-esinx

注：因只有一次復(fù)合，也可直接計(jì)算。

3.在下列方程中，y=y(x)是由方程確定的函數(shù)，求y'：

點(diǎn)評(píng)：這組求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算題采用的是隱函數(shù)的求導(dǎo)法。有兩種方法，第一種是在方程兩端對(duì)自變量x求導(dǎo)，

將Y視為中間變量，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。第二種方法是對(duì)方程兩端同時(shí)求微分，利用微分運(yùn)算法則和一階微分

形式不變性，求得微分后求導(dǎo)數(shù)。

解：將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)：

yrcosx-ysinx=2e2y-yf

移項(xiàng)y'(cosx-2/v)=ysinx

叱3,ysinx

所以：y=—:----

cosx-2e~y

(2)y=cosyInx

解：將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)：

y'=r(cosy)'lnx+cosy(lnx)'

,cosy

y--sin?yInx+----

x

移項(xiàng)/(I+sinyxInx)=C°Sy

x

所以：y，=_竺2_

x(l+Inxsiny)

x2

(3)2xsiny=—

y

初O'.O'2xy-x2y2xx2.

解：Isimy+2xcosy-y=---——=------y

yyy

2x.

——2simy

y2xy-2ysitny

y=-----------=-------------

cx22xy2cosy+x2

2xcosy+^-'

y

(4)y=工+lny

解：因?yàn)椋毫?1+2

y

解得y'=—

(5)lnx+ey=y

解：將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo):

-+ey=2yyf

x

整理得：y=----------

x(2y-ey)

(6)y2+1=ersiny

解：將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo):

2y-y1=exsiny+excosy?y'

整理得：y，=—

2y-excosy

(7)ev=ev-y3

解：將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo):

ey.y'=ex-3y2-y1

整理得：y，二「

ey+3y

(8)y=5r+2

解：將方程兩邊對(duì)x求導(dǎo):

/=5rln5+2vln2-y

整理得：

,5vIn5

y=---------

l-2yln2

4.求下列函數(shù)的微分dy：

(Dy=cotx+cscx

11cosx

解：因?yàn)閥=-+(—r=-

sin2xsinxsin2xsin2x

1+cosx

sin2x

.l+cosx,

所以dy=————dx

sinx

Inx

⑵y

sinx

—sinx-cosxlnx

解:因?yàn)閥'=4---------------

sin2x

_sinx—xcosx-Inx

xsin2x

g、i,sinx-xcosx-Inx,

所以dy=----------------dx

xsinx

(3)y=sin2x

解：設(shè)y=〃2,?=sinx

則y'=y：U

=2u?cosx=2sinx-cosx

=sin2x

所以dy=sin2xdx

(4)y=tanex

解：設(shè)：y=tanu,u=ex

,=f

則yyu<

cos~u

ex

=--^―-

cos-e

所以dy=——-dx

cos-e

5.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：

點(diǎn)評(píng)：這組是求高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算題。高階就是導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，除了對(duì)象以外，定義思想和求導(dǎo)方法都與以往類似。

(1)y=Jx

解：y'=-^=

2Jx

⑵y=3》

解：y=3vIn3

/=(3rln3)'=3-3x1113

(3)y=Inx

解：y=-

X

(4)y=xsinx

解：y'=sinx+xcosx

y"=(sinx+xcosx)'=cosx+cosx-xsinx

=2cosx-xsinx

(四)證明題

設(shè)f(x)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，試證(。)是偶函數(shù).

證明：因?yàn)槎　?是奇函數(shù)，所以

又因?yàn)榱恕?可導(dǎo)，函數(shù)/(一為為復(fù)合函數(shù)。

對(duì)/(一力=一/(幻兩端對(duì)X求導(dǎo)，得：

f(-x)\-xy=-fXx)

即―)=-7。)

所以：f(-x)=fr(x)

根據(jù)偶函數(shù)的定義，/(X)是偶函數(shù)。

《高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課程作業(yè)評(píng)講(3)

第4章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(一)單項(xiàng)選擇題

1.若函數(shù)/(幻滿足條件(D),則存在份，使得/?=/⑸一,⑷

b-a

A.在(〃，。)內(nèi)連續(xù)

B.在(明。)內(nèi)可導(dǎo)

C.在(％切內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)，

D.在［%。］內(nèi)連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

2.函數(shù)，(/)=/+4工-1的單調(diào)增加區(qū)間是(D).

A.(—co,2)B.(-1,1)

C.(2,+8)D.(—2,+8)

3.函數(shù)丫=/+44-5在區(qū)間(-6,6)內(nèi)滿足(A).

A.先單調(diào)下降再單調(diào)上升B.單調(diào)下降

C.先單調(diào)上升再單調(diào)下降D.單證上升

4.函數(shù)f(x)滿足/'(勸=0的點(diǎn),一定是/(x)的(C).

A.間斷點(diǎn)B.極值點(diǎn)

C.駐點(diǎn)D.拐點(diǎn)

5.設(shè)f(x)在(d3內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，/￡(〃*)，若了(%)滿足(C),則/(X)在/取到極小值.

A./'(%)>0,/"(%)=0B./'(/)<0,/"(%)=0

/

c./(.vo)=0,/*(x0)>0D./(%0)=。，/"(/)<0

6.設(shè)f(x)在(4,3內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且/'(x)v0,/"(x)<0,則f(x)在此區(qū)間內(nèi)是(A).

A.單調(diào)減少且是凸的B.單調(diào)減少且是凹的

C.單調(diào)增加且是凸的D.單調(diào)增加且是凹的

7.設(shè)函數(shù)/(X)=G?一(002-3一〃在點(diǎn)x=l處取得極大值一2,則4=(1).

A.1B.一

3

C.0D.--

3

(二)填空題

1.設(shè)f(x)在(4,份內(nèi)可導(dǎo)，/￡(〃，/?),且當(dāng)工<修)時(shí)尸(幻<0,當(dāng)時(shí)/'(幻>0，則X。是/。)的_

極小值點(diǎn).

2.若函數(shù)/(/)在點(diǎn)/可導(dǎo)，且%是/(X)的極值點(diǎn)，則/(%)=Q.

3.函數(shù)y=ln(l+/)的單調(diào)減少區(qū)間是(一oo,0).

4.函數(shù)f(x)=e-的單調(diào)增加區(qū)間是(0,故).

5.若函數(shù)在［。，勿內(nèi)恒有f(x)<0,則f(x)在出，口上的最大值是flak.

6.函數(shù)f(x)=2+5x-3x3的拐點(diǎn)是：0.2).

7.若點(diǎn)。，0)是函數(shù)/(幻=奴3+"2+2的拐點(diǎn)，則〃=,，b=—3

(三)計(jì)算題

3

1.求函數(shù)y=(x+iy(x-5)2的單調(diào)區(qū)間和極值.

解：y=-1(x+1)2(x-5)2+2(x+1)2(%-5)=(x+1)2(x-5)(3x-15+4x+4)

=i(x+l)2(x+5X7x-ll)=0

得駐點(diǎn)：x=-1x=5x=—

7

11

X-i56，”)

7

Y,0+0—0+

左端點(diǎn)極大極小

y//

/(5)=0

UJ2401

???/(X)在-l，3)u(5，+8)內(nèi)單調(diào)上升，在［9,5)內(nèi)單調(diào)下降。

極大值是/［yl=微黑E極小值是/⑸=0

2.求函數(shù)y=也長一2x)2在區(qū)間［o,刃內(nèi)的極值點(diǎn),并求最大值和最小值.

解：爐=1L2-2工尸(21-2)=()得駐點(diǎn)x=l

又當(dāng)x=0x=2時(shí)y無意義,但原函數(shù)連續(xù)

Af(0)=0f(l)=1f(2)=0f(3)=V9

X0(0,1)1(1,2)2(2,3)3

Y'無意義+0—無意義++

y0極大值極小值

/f(l)=lf(2)=0/Z

???最小值f(0)=f(2)=0最大值是f(3)二莎極大值f(1)=1極小值f(2)=0

3.試確定函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d中的a,6c,d,使函數(shù)圖形過點(diǎn)(-2,44)和點(diǎn)(1,一10),且％=-2是駐點(diǎn),

x=l是拐點(diǎn).

解：???y=a?+bx2+cx+d的圖形過點(diǎn)(-2,44)和點(diǎn)(1,一10),且％=-2是駐點(diǎn)，x=l是拐點(diǎn).

/."-8x4-4/?—2c4-J=44(a=l

ya+b+c+d=-\0=>Jb=-3

\2a—4b+c=0Ic=-24

6a+2b=0d=16

4.求曲線y2=2%上的點(diǎn)，使其到點(diǎn)A(2,0)的距離最短.

解：設(shè)曲線V=2x上的點(diǎn)(x,y),即衣)到A(2,0)的距離記為d

則d=7（X-2）2+2X=7X2-2X+4

2x—2r-

d=-/'=_0x=1（唯一）???當(dāng)x=l時(shí)y=v2

2yh2-2x+4

即點(diǎn)(1,⑸到(2,0)的距離最短。

5.圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為L,問當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時(shí)，圓柱體的體積最大？

解：設(shè)圓柱體的底面半徑為x,高為力，則b=，/2一一

2，2[72------2?c[7>------r3加32^(/2-X2]-7ZX32京廣一3欣3

v=/rv7z-/zxzVZ-xzv-2兀。1犬一方-------,--------/--------------------——.-0

尢=逅/,。=走/時(shí)，圓柱體的體積最大，

33

6.一體積為V的圓柱體，問底半徑與高各為多少時(shí)表面積最??？

解：設(shè)圓柱體的底面半徑為x,高為"，v=7ix2h則〃=」?

7IX~

,v2v

s=17ixh+2k=ITDC--+17tx2=—+27rl

7ZX~X

2v.-2v

s=——-4-4TIX=------------=0

當(dāng)工=h—B'J',圓柱體的表面積最小。

7.欲做一個(gè)底為正方形，容積為62.5立方式的長方體開口容器，怎樣做法用料最?。?/p>

解：設(shè)長方體底面正方形的邊長為x米，長方體的高為h米，

則容積62.5=X2/?力=綽

X

o62.5，250

表面積：s=x2+4x/?=x~+44x——=x-+-----

Xx

02502x3-250

2x一一-o0x=5（米）

xX~

???x=5,6=2.5時(shí)用料最省。

8.從面積為S的所有矩形中，求其周長最小者.

解：設(shè)矩形的邊長為X米，寬為y米，5=xy,y=-

x

周長l=2x+—

X

S

1=2-^-=；=O,X=V7(唯一駐點(diǎn))

x~x~X

則當(dāng)長為J7,寬為6時(shí)，其周長最小。

9.從周長為L的所有矩形中，求其面積最大者.

解：設(shè)矩形的邊長為x米，寬為y米，/=2(x+y),y=4W

面積s=x~~~=^(lx-2x2)

則

s=-i(/-4x)=0,x=^(唯一駐點(diǎn))l-2x

2

則當(dāng)長為,，寬為,時(shí)，其面積最大。

48

(四)證明題

1.當(dāng)x>0時(shí)，證明不等式次>ln(l+x).

證明利用函數(shù)的單調(diào)性證明

設(shè)/(x)=x-ln(l+x)/(%)=1--^―=-^―>0,(x>0)

1+xI+x

???/(4在［0+8)內(nèi)單調(diào)增加，當(dāng)x>0時(shí)，有f(x)>/(o)

即f(x)=x—In。+x)>0

，x>ln(l+x)成立

2.當(dāng)x>0時(shí)，證明不等式e、>x+l.

證明利用函數(shù)的單調(diào)性證明

設(shè)f(x)=ex-x-\f(x)=ex-1>0,(x>0)

???/(x)在［0+8)內(nèi)單調(diào)增加，當(dāng)x>0時(shí)，有f(x)>/(O)

即f(x)=ex-x-l>0

:.ev>x+\成立

《高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課程作業(yè)評(píng)講（4）

第5章不定積分

第6章定積分及其應(yīng)用

（一）單項(xiàng)選擇題

1.若/（X）的一個(gè)原函數(shù)是L則/"）=（D）.

X

1

A.In^B.--；

X

C12

C.一D.-

XX

2.下列等式成立的是(D).

A.j/f(x)dx=/(x)B.jd/(x)=/(x)

C.djf(x)dx=f(x)D.^j/(x)d￥=/(x)

3.若/(R)=COSX,貝ijj/'(x)dx=(：B).

A.sinx+cB；.cosx+c

C.-sinx+c1〉一cosx+c

4.—|x2/(x3)dr=(B).

A./(A3)B.X2f(x3)

C.1/(x)I>*3)

5.若J/(x)dx=f\x)+c,則j+f(Vx)dx=(B).

A.F(Vx)+cB.2F(y[x)+C

C.F(14X)+CD.F(Vx)+c

6.下列無窮限積分收斂的是(D).

A.[-ch-B.\evdr

JlXJo

產(chǎn)1『以

c.r不讓D.

（二）填空題

1.函數(shù)f(x)的不定積分是1[f{x)dx=F(x)+c

2.若函數(shù)/(x)與G(x)是同一函數(shù)的原函數(shù)，則F(x)與G(x)之間有關(guān)系

式.G(x)=F(x)+c

3.dje'dv=.ex'dx

4.J(tanx)fdr=.tanx+c

5.若jj(x)dx=cos3x+c，則f\x