浙江省北斗聯(lián)盟2021-2022學年高二上學期中聯(lián)考數(shù)學試題 含解析

2021學年第一學期北斗聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級數(shù)學學科試題選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出斜率，即可求出傾斜角.【詳解】設直線的傾斜角為，斜率為，，則.故選：B.2.已知復數(shù)是的共軛復數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，利用復數(shù)除法法則進行計算.【詳解】，則故選：A3.已知向量，分別是直線、的方向向量，若，則下列幾組解中可能正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由方向向量的數(shù)量積為0可得．【詳解】由題意，即，代入各選項中的值計算，只有A滿足．故選：A．4.已知點，點在直線上，則|MP|的最小值是（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】MP|的最小值即到直線的距離，代入即可求出答案.【詳解】因為點在直線上，所以|MP|的最小值是點到直線的距離，即：.故選：C.5.如圖，已知電路中4個開關閉合的概率都是，且是相互獨立的，則燈亮的概率為A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】由題意，燈泡不亮包括四個開關都開，后下邊的2個都開，上邊的2個中有一個開，這三種情況是互斥的，每一種情況的事件都是相互獨立的，所以燈泡不亮的概率為，所以燈泡亮的概率為，故選D．6.已知函數(shù)的零點分別為a，b，c，則a，b，c的大小順序為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先可求出，再由得，由得，將其轉(zhuǎn)化為、與的交點，數(shù)形結合即可判斷.【詳解】解：由得，，由得，由得.在同一平面直角坐標系中畫出、、的圖象，由圖象知，，.故選：B【點睛】本題考查函數(shù)的零點，函數(shù)方程思想，對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象的應用，屬于中檔題.7.如圖，在棱長為2的正方體中，點分別是棱、的中點，則點到平面的距離等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標系，找到平面的法向量，利用向量法求點到平面的距離求解即可.【詳解】以為坐標原點，分別以，，的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，.

設平面的法向量為，則，即令，得.又，點到平面的距離，故選：.【點睛】本題用向量法求點到平面的距離，我們也可以用等體積法求點到平面的距離，當然也可以找到這個垂線段，然后放在直角三角形中去求.8.在如圖所示的平行六面體中，已知，，，N為上一點，且，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將作為基底，用基底把表示出來，再由，可得，從而可求出【詳解】令，因為，所以，令，因為，所以，因為，所以，因為，所以，所以，所以因為，，所以，所以，解得，故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，和一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，如果，，…，，其中為非零常數(shù)，則（）A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同 B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本方差相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同 D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同【答案】BD【解析】【分析】A、B利用兩組數(shù)據(jù)的線性關系有、，即可判斷正誤；根據(jù)中位數(shù)、極差的定義，結合已知線性關系可判斷C、D的正誤.【詳解】選項A中，且，故平均數(shù)不相同，錯誤；選項B中，，故方差相同，正確；選項C中，若第一組中位數(shù)為，則第二組的中位數(shù)為，顯然不相同，錯誤；選項D中，由極差的定義知，若第一組的極差為，則第二組的極差為，故極差相同，正確；故選：BD.10.一箱產(chǎn)品有正品10件，次品2件，從中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（）A.“恰有1件次品”和“恰有2件次品” B.C.“至少有1件正品”和“至少有1件次品” D.“至少有1件次品”和“都是正品”【答案】AD【解析】【分析】判斷各選項中的事件是否有同時發(fā)生的可能，即可確定答案.【詳解】A：“恰有1件次品”和“恰有2件次品”不可能同時發(fā)生，為互斥事件；B：“都是次品”的基本事件中包含了“至少有1件次品”的事件，不是互斥事件；C：“至少有1件正品”的基本事件為{“有1件正品和1件次品”，“有2件正品”}，“至少有1件次品”的基本事件為{“有1件正品和1件次品”，“有2件次品”}，它們有共同的基本事件“有1件正品和1件次品”，不是互斥事件；D：由C分析知：“至少有1件次品”和“都是正品”不可能同時發(fā)生，為互斥事件；故選：AD11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的周期為 B.函數(shù)圖象的一條對稱軸為直線C.函數(shù)在上單調(diào)遞增 D.函數(shù)的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】對函數(shù)進行化簡，轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)，進而利用性質(zhì)判斷出結果即可.【詳解】解：函數(shù).所以函數(shù)的周期為，故A選項正確；當時，，所以直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故B選項正確；當，則，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，此時單調(diào)遞減，故C選項錯誤；由可知，當時，取得最小值為，故D選項正確.故選：ABD.12.在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則（）A.當時，的周長為定值B.當時，三棱錐的體積為定值C.當時，有且僅有一個點，使得D.當時，有且僅有一個點，使得平面【答案】BD【解析】【分析】對于A，由于等價向量關系，聯(lián)系到一個三角形內(nèi)，進而確定點的坐標；對于B，將點的運動軌跡考慮到一個三角形內(nèi)，確定路線，進而考慮體積是否為定值；對于C，考慮借助向量的平移將點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解點的個數(shù)；對于D，考慮借助向量的平移將點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解點的個數(shù)．【詳解】易知，點在矩形內(nèi)部（含邊界）．對于A，當時，，即此時線段，周長不是定值，故A錯誤；對于B，當時，，故此時點軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對于C，當時，，取，中點分別為，，則，所以點軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯誤；對于D，當時，，取，中點為．，所以點軌跡為線段．設，因為，所以，，所以，此時與重合，故D正確．故選：BD．【點睛】本題主要考查向量的等價替換，關鍵之處在于所求點的坐標放在三角形內(nèi)．

非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某校采用分層抽樣的方法從三個年級的學生中抽取一個容量為的樣本進行關于線上教學實施情況的問卷調(diào)查，已知該校高一年級共有學生人，高三年級共有人.抽取的樣本中高二年級有人，則該校高二學生總數(shù)是_________人.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)直接計算即可.【詳解】由分層抽樣可得高二年級學生數(shù)占總?cè)藬?shù)的，故高一與高三總?cè)藬?shù)占三個年級總?cè)藬?shù)的，故總?cè)藬?shù)為人，故高二年級總?cè)藬?shù)為，故答案為：.14.已知直線與直線垂直，且垂足為，則的值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)，可求得a，將代入直線，即可求得c，再代入直線，即可求得b，從而可得答案.詳解】解：由，可得，解得，直線的方程為．由題意，可知是兩條直線的交點，將代入直線得．將代入直線，得，所以．故答案為：-9.15.設的對角線和交于為空間任意一點，如圖所示，若，則_______．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)向量線性加法運算，由為中點，可得，，即可得解.【詳解】由為中點，可得，，所以，所以，故答案為：.16.如圖，在三棱錐中，已知，，設，則的最小值為______.【答案】【解析】【詳解】試題分析：設，，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，當且僅當時，等號成立，即的最小值是．考點：1．空間向量的數(shù)量積；2．不等式求最值．【思路點睛】向量的綜合題常與角度與長度結合在一起考查，在解題時運用向量的運算，數(shù)量積的幾何意義，同時，需注意挖掘題目中尤其是幾何圖形中的隱含條件，將問題簡化，一般會與函數(shù)，不等式等幾個知識點交匯，或利用向量的數(shù)量積解決其他數(shù)學問題是今后考試命題的趨勢．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知直線和的交點為P．（1）若直線l經(jīng)過點P且與直線平行，求直線l的方程；（2）若直線m經(jīng)過點P且與x軸，y軸分別交于A，B兩點，為線段的中點，求△OAB的面積．（其中O為坐標原點）．【答案】（1）4x－3y－3＝0（2）30【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線方程，求出交點坐標，根據(jù)直線平行，明確斜率，由點斜式方程可得答案；（2）由點斜式方程，設出直線方程，求得兩點的坐標，根據(jù)中點坐標公式，求得斜率，根據(jù)三角形面積公式，可得答案.【小問1詳解】由，求得，可得直線和的交點為P（－3，－5）．由于直線的斜率為，故過點P且與直線平行的直線l的方程為，即4x－3y－3＝0．【小問2詳解】由題知：設直線m的斜率為k，則直線m的方程為，故，，且，且，求得，故、．故△OAB的面積為．18.20名學生某次數(shù)學考試成績(單位：分)的頻率分布直方圖如圖.（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計20名學生數(shù)學考試成績的眾數(shù)，中位數(shù)；（3）已知成績在內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比例為，若在成績?yōu)閮?nèi)的人中隨機抽取2人進行座談，求恰有1名男生和1名女生的概率.【答案】（1）（2）眾位數(shù)為，中位數(shù)為（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)所有矩形的面積之和即頻率之和為1，求得答案；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，結合眾數(shù)和中位數(shù)的計算方法，求得答案；（3）’根據(jù)男女生比例確定男女生人數(shù)，算出8人選2人的總選法數(shù)和恰有1名男生1名女生的選法，根據(jù)古典概型的概率公式求得答案.【小問1詳解】由頻率分布直方圖得：，解得；【小問2詳解】根據(jù)頻率分布直方圖估計名學生數(shù)學考試成績的眾數(shù)為,設中位數(shù)為，則，則.【小問3詳解】成績在[80，100]內(nèi)的學生人數(shù)有人男生人數(shù)6人，女生人數(shù)2人，8人選2人的總選法數(shù)種，恰有1名男生1名女生的選法有種，所以概率為.19.如圖所示，在四棱錐中，，且，底面為正方形.（1）設試用表示向量；（2）求的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將，代入中化簡即可得出答案.（2）利用，結合向量數(shù)量積運算律計算即可.【小問1詳解】∵M是PC的中點，∴.∵，∴，結合，，，得.【小問2詳解】∵，∴，∵，∴，，∴.∴，即BM長等于.20.已知角，，是的內(nèi)角，向量，，.（1）求角的大??；（2）求函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)根據(jù)向量垂直的性質(zhì)求得，求得的值,進而根據(jù)A的范圍求得A；(2)利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理利用B的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域.【詳解】（1）因為，且，所以，則，又，所以.（2）因為，而，所以，則，所以故所求函數(shù)的值域為.21.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，.（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）設為棱上的點，滿足異面直線與所成的角為，求的長.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直證明異面直線垂直；（2）過點作于，連接，可得即為平面與平面所成的角，再利用三角形的性質(zhì)求得余弦值；（3）設，根據(jù)異面直線夾角，利用坐標法可得的值.【小問1詳解】平面，平面，，，，、平面，平面，又平面，；【小問2詳解】如圖所示，過點作于，連接，由（1）知，平面，，又，平面，即為平面與平面所成的角．在中，，，，，在中，，，故平面與平面夾角的余弦值為．【小問3詳解】以為原點，、、所在的直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，，，異面直線與所成的角為，，解得或（舍），．.22.設常數(shù)，函數(shù)．（1）若a=1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若f(x)是奇函數(shù)，且關于x的不等式mx2+m>f[f(x)]對所有的x∈[-2，2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間為(-∞，0)，；（2）.【解析】【分析】(1)當a=1時，求得，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求出