江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 含解析

南京師大附中2022－2023學(xué)年度第1學(xué)期高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合且，集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合包含的元素特征，結(jié)合的結(jié)果可得結(jié)果.【詳解】，.故選：D.2.已知為實(shí)數(shù)，使“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的真假性求得的取值范圍，然后確定其充分不必要條件.【詳解】依題意，全稱量詞命題：為真命題，在區(qū)間上恒成立，所以，所以使“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是“”.故選：B3.十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書(shū)中首先把“＝”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次命題正確是使用“＜”和“＞”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)屆接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若a，b，c∈R，則下列命題正確的是（）A.若a＜b，則 B.若a＞b＞0，則C.若a＞b，則 D.若，則a＞b【答案】D【解析】【分析】舉反例說(shuō)明選項(xiàng)AC錯(cuò)誤；作差法說(shuō)明選項(xiàng)B錯(cuò)誤；不等式性質(zhì)說(shuō)明選項(xiàng)D正確.【詳解】當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，所以，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；時(shí)，，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；時(shí)，，所以選項(xiàng)D正確.故選：D4.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】觀察所求結(jié)構(gòu)知把放到對(duì)數(shù)的真數(shù)部分作指數(shù)即可求解．【詳解】解：，故選：C．5.設(shè)為實(shí)數(shù)，若二次函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】二次函數(shù)的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，要使二次函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則需，所以的取值范圍是.故選：C6.世紀(jì)，在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化大數(shù)運(yùn)算，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對(duì)數(shù)，對(duì)數(shù)的思想方法即把乘方和乘法運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為乘法和加法運(yùn)算，數(shù)學(xué)家拉普拉斯稱贊“對(duì)數(shù)的發(fā)明在實(shí)效上等于把天文學(xué)家的壽命延長(zhǎng)了許多倍”．已知，，設(shè)，則所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)和對(duì)數(shù)互化，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可求得，由此可得.【詳解】，，.故選：C.7.已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，都有，在下列不等式中，一定成立的是()A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】利用題意得到在單調(diào)遞增，可得到，結(jié)合奇函數(shù)即可得到答案【詳解】對(duì)任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，可得，即在單調(diào)遞增，所以，因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，所以即，故選：A8.已知函數(shù)是定義域?yàn)閰^(qū)間，且圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱．當(dāng)時(shí)，，則滿足的x的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的條件，可得，再與已知聯(lián)立結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及定義域解不等式作答.【詳解】因函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則有，而，于是得，即，又當(dāng)時(shí)，，有在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，而，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是得，解得，所以滿足x的取值范圍是.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，不止一項(xiàng)是符合題目要求的，每題全選對(duì)者得5分，部分選對(duì)得2分，其他情況不得分．9.若“”為真命題，“”為假命題，則集合M可以是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由已知條件，寫(xiě)出命題的否定，即為真命題，四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】由題意為真命題，為真命題，則應(yīng)滿足選項(xiàng)為集合的子集，且滿足，AD選項(xiàng)均滿足，B選項(xiàng)當(dāng)時(shí)不符合，故錯(cuò)誤，C選項(xiàng)不存在，故錯(cuò)誤.故選：AD10.下列說(shuō)法正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.命題“”的否定是“”C.“”是“”的既不充分也不必要條件D.設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于ACD，化簡(jiǎn)不等式即可判斷；對(duì)于B，利用全稱命題的否定即可判斷【詳解】對(duì)于A，由可得或，所以“”是“”的充分不必要條件，故正確；對(duì)于B，命題“”的否定是“”，故不正確；對(duì)于C，由解得或，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故正確；對(duì)于D，由解得且，所以“”是“”的必要不充分條件，故正確，故選：ACD11.設(shè)為正實(shí)數(shù)，，則下列不等式中對(duì)一切滿足條件的恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)特殊值以及基本不等式對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，時(shí)，，但，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，時(shí)，，但，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC12.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù) B.在上單調(diào)遞增C.方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 D.函數(shù)的值域是【答案】BCD【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可判斷A，分離常數(shù)后可得函數(shù)的單調(diào)性可判斷B，解方程可判斷C，分離常數(shù)求解函數(shù)值域可判斷D.【詳解】A．函數(shù)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；B．時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，B正確；C．由題可得是方程的一個(gè)根，時(shí)，(舍去)，時(shí)，，故C正確；D．時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上．13.命題“，或”的否定是____________．【答案】，【解析】【分析】由特稱命題的否定形式可直接得到結(jié)果.【詳解】由特稱命題的否定知：原命題的否定為，.故答案為：，.14.已知三個(gè)不等式：①，②，③，用其中兩個(gè)作為條件，剩下的一個(gè)作為結(jié)論，則可組成______個(gè)真命題．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合不等式性質(zhì)分別判斷①、②、③作為結(jié)論的命題的真假性即可.【詳解】由不等式性質(zhì)，得；；．故可組成3個(gè)真命題．故答案為：3.15.的值為_(kāi)___________【答案】##【解析】【分析】將和配湊成完全平方的形式，代入所求式子中，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】，，.故答案為：.16.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．若，則____________，若，函數(shù)的最小值記為，則的最大值為_(kāi)___________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，利用特殊值得到方程組，求出、、的關(guān)系，從而求出，得到，根據(jù)對(duì)稱性僅研究時(shí)函數(shù)最小值，，令，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出，再根據(jù)的取值范圍計(jì)算可得.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槠鋱D象關(guān)于對(duì)稱，所以，即；當(dāng)時(shí)，因?yàn)槠鋱D象關(guān)于對(duì)稱，所以，此時(shí)，由對(duì)稱性僅研究時(shí)函數(shù)最小值，令，則，令，，因?yàn)椋?，，則，即，所以；故答案為：；四、解答題：本大題共6小題，共計(jì)70分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.化簡(jiǎn)求值（需要寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）（1）若，，求值；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先取對(duì)數(shù)將表示出來(lái)，代入計(jì)算即可；（2）直接計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】，，得【小問(wèn)2詳解】原式18.已知集合A＝{x||x|－2≤0}，集合．（1）設(shè)a為實(shí)數(shù)，若集合C＝{x|x≥3a且x≤2a＋1}，且C?（A∩B），求a的取值范圍：（2）設(shè)m為實(shí)數(shù)，集合，若x∈（A∪B）是x∈D的必要不充分條件，判斷滿足條件的m是否存在，若存在，求m的取值范圍：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）存在；.【解析】【分析】（1）根據(jù)解絕對(duì)值不等式的公式，結(jié)合分式的性質(zhì)、交集的定義、子集的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)必要不充分條件的定義，結(jié)合一元二次不等式的解法進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】，所以，，所以，（1）由已知得，①時(shí)，，此時(shí)滿足題意；②時(shí)，，要滿足題意需綜上所述，a的取值范圍是；【小問(wèn)2詳解】由已知得，由題意得D是的真子集，所以，要滿足題意需（等號(hào)不同時(shí)成立）答：滿足條件的m存在，取值范圍是．19.設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)，且，已知二次函數(shù)，滿足，．（1）求函數(shù)的解析式：（2）設(shè)，當(dāng)x∈[t，t＋2]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值g（t）（用t表示）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)多項(xiàng)式相等的條件，建立方程組，可得答案；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，由給定區(qū)間與對(duì)稱軸之間的位置關(guān)系，利用分類討論，可得答案.【小問(wèn)1詳解】由，解得，所以，，可得，則，解得，即；【小問(wèn)2詳解】由可知其對(duì)稱軸為軸，開(kāi)口向下，①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以；③當(dāng)，時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以綜上所述，．20.某高校為舉辦百年校慶，需要氦氣用于制作氣球裝飾校園，化學(xué)實(shí)驗(yàn)社團(tuán)主動(dòng)承擔(dān)了這一任務(wù)．社團(tuán)已有的設(shè)備每天最多可制備氦氣，按計(jì)劃社團(tuán)必須在天內(nèi)制備完畢．社團(tuán)成員接到任務(wù)后，立即以每天的速度制備氦氣．已知每制備氦氣所需的原料成本為百元．若氦氣日產(chǎn)量不足，日均額外成本為（百元）；若氦氣日產(chǎn)量大于等于，日均額外成本為（百元）．制備成本由原料成本和額外成本兩部分組成．（1）寫(xiě)出總成本（百元）關(guān)于日產(chǎn)量的關(guān)系式（2）當(dāng)社團(tuán)每天制備多少升氦氣時(shí)，總成本最少？并求出最低成本．【答案】（1）（2）當(dāng)社團(tuán)每天制備氦氣時(shí)，總成本最少，最低成本為百元【解析】【分析】（1）根據(jù)生產(chǎn)天數(shù)要求，可確定的取值范圍；計(jì)算可得日產(chǎn)量不足和大于等于時(shí)，氦氣的平均成本，由此可得關(guān)系式；（2）分別在、的情況下，利用基本不等式和二次函數(shù)求最值的方法可求得最小值，綜合兩種情況可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】若每天生產(chǎn)氦氣，則需生產(chǎn)天，，則；若氦氣日產(chǎn)量不足，則氦氣的平均成本為百元；若氦氣日產(chǎn)量大于等于，則氦氣的平均成本為百元；.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，，令，則，，則當(dāng)，即時(shí)，取得最小值；綜上所述：當(dāng)社團(tuán)每天制備氦氣時(shí)，總成本最少，最低成本為百元.21.設(shè)定義在上的函數(shù)，對(duì)任意，恒有．若時(shí)，．（1）判斷的奇偶性，并加以證明；（2）判斷的單調(diào)性，并加以證明；（3）設(shè)為實(shí)數(shù)，若，不等式恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）是奇函數(shù)；證明見(jiàn)解析（2）為減函數(shù)；證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）令可求得，令可得，由此可得奇偶性；（2）設(shè)，由可得，由此可得單調(diào)性；（3）利用單調(diào)性可將恒成立的不等式化為，利用二次函數(shù)性質(zhì)可求得，由此可得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】令，則；令，則，即，為定義在上的奇函數(shù).【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，，又，，為定義在上的減函數(shù).【小問(wèn)3詳解】由得：，在上單調(diào)遞減，；當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.22.設(shè)a為實(shí)數(shù)，已知函數(shù)為偶函數(shù)．（1）求a的值；（2）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并加以證明；（3）已知為實(shí)數(shù)，存在實(shí)數(shù)m，n滿足，當(dāng)函數(shù)的定義域?yàn)闀r(shí)，函數(shù)的值域恰好為，求所有符合條件的的取值集合．【答案】（1）；（2）在上單調(diào)遞增；證明見(jiàn)解析；（3）.【