2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練三十二基本不等式課時(shí)作業(yè)理含解析新人教A版

PAGE課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練三十二基本不等式一、選擇題(每小題5分,共25分)1.設(shè)x>0,則y=3-3x-QUOTE的最大值是 ()A.3 B.3-2QUOTEC.-1 D.3-2QUOTE【解析】選D.因?yàn)閤>0,所以3x+QUOTE≥2QUOTE=2QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)x=QUOTE時(shí)取等號(hào),-QUOTE≤-2QUOTE,則y=3-3x-QUOTE≤3-2QUOTE.2.已知實(shí)數(shù)x,y滿意x+2y=4,則3x+9y ()A.有最大值6 B.有最小值6C.有最大值18 D.有最小值18【解析】選D.x+2y=4,由基本不等式得3x+9y≥2QUOTE=2QUOTE=18,當(dāng)且僅當(dāng)x=2,y=1時(shí)取等號(hào).3.(2024·玉溪模擬)若x>0,y>0,且x+y=S,xy=P,則下列說法中正確的是()A.當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)S有最小值2QUOTEB.當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)P有最大值QUOTEC.當(dāng)且僅當(dāng)P為定值時(shí)S有最小值2QUOTED.若S為定值,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)P有最大值QUOTE【解析】選D.因?yàn)閤,y∈R+,x+y=S,xy=P,所以S=x+y≥2QUOTE=2QUOTE①,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào);所以假如P是定值,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)S的值最小,故A,C錯(cuò)誤;由①得,P≤QUOTE=QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào);所以假如S是定值,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)P有最大值,故D正確,B錯(cuò)誤.4.已知實(shí)數(shù)x,y滿意x2-xy+y2=1,則x+y的最大值為 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選B.原式可化為(x+y)2=1+3xy≤1+QUOTE,解得-2≤x+y≤2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)取最大值.5.(一題多解)若正數(shù)a,b滿意QUOTE+QUOTE=1,則QUOTE+QUOTE的最小值為 ()A.4 B.6 C.9 D.16【解析】選A.方法一:由QUOTE+QUOTE=1,可得a=QUOTE,所以QUOTE+QUOTE=b-1+QUOTE.由a,b為正數(shù)且QUOTE+QUOTE=1,可得a>1,b>1.所以QUOTE+QUOTE=b-1+QUOTE≥2QUOTE=4,當(dāng)且僅當(dāng)b-1=QUOTE,即b=3,a=QUOTE時(shí)等號(hào)成立.方法二:由QUOTE+QUOTE=1,可得QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=4,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,即a=QUOTE,b=3時(shí)等號(hào)成立.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2024·大理模擬)若實(shí)數(shù)x,y滿意x>y>0,且log2x+log2y=2,則QUOTE+QUOTE的最小值為________;QUOTE的最大值為________.

【解析】因?yàn)閘og2x+log2y=2,所以xy=4.實(shí)數(shù)x,y滿意x>y>0,所以QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=QUOTE(當(dāng)且僅當(dāng)x=2QUOTE,y=QUOTE時(shí)等式成立).QUOTE=QUOTE=QUOTE≤QUOTE(當(dāng)且僅當(dāng)x=2QUOTE+2,y=2QUOTE-2時(shí)等式成立).答案:QUOTEQUOTE7.設(shè)x,y∈(0,+∞),(x+y)QUOTE≥a恒成立,則實(shí)數(shù)a的最大值為________.

【解析】由于(x+y)QUOTE=2+QUOTE+QUOTE≥2+2QUOTE=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)等號(hào)成立,而x,y∈(0,+∞),(x+y)QUOTE≥a恒成立,故a≤4,也即a的最大值為4.答案:48.某公司一年購買某種貨物400噸,每次都購買x噸,運(yùn)費(fèi)為4萬元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x=________噸.

【解析】每次都購買x噸,則須要購買QUOTE次.因?yàn)檫\(yùn)費(fèi)為4萬元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元,所以一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為4×QUOTE+4x萬元.因?yàn)?×QUOTE+4x≥160,當(dāng)且僅當(dāng)4x=QUOTE時(shí)取等號(hào),所以x=20噸時(shí),一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小.答案:20三、解答題(每小題10分,共20分)9.(1)已知x>0,求f(x)=QUOTE+3x的最小值;(2)已知x<3,求f(x)=QUOTE+x的最大值.【解析】(1)因?yàn)閤>0,所以f(x)=QUOTE+3x≥2QUOTE=12,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=3x?x=2時(shí)取等號(hào),所以f(x)的最小值為12.(2)因?yàn)閤<3?3-x>0,f(x)=QUOTE+x-3+3=-QUOTE+3≤-2QUOTE+3=-1,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=3-x?x=1時(shí)取等號(hào),所以f(x)的最大值為-1.10.經(jīng)過長期觀測(cè)得到:在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)某馬路汽車的車流量y(千輛/時(shí))與汽車的平均速度v(千米/時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式為y=QUOTE(v>0).(1)在該時(shí)段內(nèi),當(dāng)汽車的平均速度v為多少時(shí),車流量最大?最大車流量是多少(精確到0.1千輛/時(shí))?(2)若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/時(shí),則汽車的平均速度應(yīng)當(dāng)在什么范圍內(nèi)?【解析】(1)依題意y=QUOTE≤QUOTE=QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)v=40等號(hào)成立,最大車流量y=QUOTE≈11.1(千輛/時(shí)).(2)由條件得QUOTE>10,整理得v2-89v+1600<0,解得25<v<64.故汽車的平均速度應(yīng)當(dāng)在QUOTE范圍內(nèi).1.(5分)若正數(shù)x,y滿意x+4y-xy=0,則QUOTE的最大值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】選A.因?yàn)閤+4y-xy=0,化簡(jiǎn)可得x+4y=xy,左右兩邊同時(shí)除以xy得,QUOTE+QUOTE=1.求QUOTE的最大值,即求QUOTE=QUOTE+QUOTE的最小值,所以QUOTE×1=QUOTE×QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE≥2QUOTE+QUOTE+QUOTE=3,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE時(shí)取等號(hào),所以QUOTE的最大值為QUOTE.2.(5分)已知a,b均為正數(shù),函數(shù)f(x)=alog2x+b的圖象過點(diǎn)(4,1),則QUOTE的最小值為 ()A.6 B.7 C.8 D.9【解析】選D.因?yàn)閒(x)=alog2x+b的圖象過點(diǎn)(4,1),所以alog24+b=1,即2a+b=1,又a,b均為正數(shù),所以QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE+1+4+QUOTE≥5+2QUOTE=9,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,即a=b=QUOTE時(shí),等號(hào)成立.3.(5分)如圖,某汽車運(yùn)輸公司剛買了一批豪華大客車投入營運(yùn),據(jù)市場(chǎng)分析每輛客車營運(yùn)的總利潤y(單位:10萬元)與營運(yùn)年數(shù)x(x∈N)為二次函數(shù)關(guān)系,若使?fàn)I運(yùn)的年平均利潤最大,則每輛客車應(yīng)營運(yùn) ()A.3年 B.4年 C.5年 D.6年【解析】選C.可設(shè)y=a(x-6)2+11,又曲線過(4,7),所以7=a(4-6)2+11,所以a=-1.即y=-x2+12x-25,所以QUOTE=12-QUOTE≤12-2QUOTE=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí)取等號(hào).4.(5分)(2024·樂山模擬)已知正數(shù)x,y滿意x+y=1,且QUOTE+QUOTE≥m,則m的最大值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.4【解析】選B.依據(jù)題意,正數(shù)x,y滿意x+y=1,則QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=(y+1)+QUOTE-4+(x+1)+QUOTE-4=QUOTE-5,又由QUOTE+QUOTE=QUOTE[(x+1)+(y+1)]=QUOTE≥QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=QUOTE時(shí)等號(hào)成立,則QUOTE+QUOTE=QUOTE-5≥QUOTE-5=QUOTE,即QUOTE+QUOTE的最小值為QUOTE,若QUOTE+QUOTE≥m,則m的最大值為QUOTE.5.(10分)若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿意QUOTE+QUOTE=1,且存在這樣的x,y使不等式x+QUOTE<m2+3m有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】因?yàn)椴坏仁絰+QUOTE<m2+3m有解,所以QUOTE<m2+3m.因?yàn)閤>0,y>0,且QUOTE+QUOTE=1,所以x+QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTE+2≥2QUOTE+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,即x=2,y=8時(shí)取“=”,所以QUOTE=4,故m2+3m>4,即(m-1)(m+4)>0,解得m<-4或m>1,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,-4)∪(1,+∞).6.(10分)如圖,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,x軸在地平面上,y軸垂直于地平面,單位長度為1km.某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn).已知炮彈放射后的軌跡在方程y=kx-QUOTE(1+k2)x2(k>0)表示的曲線上,其中k與放射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo).(1)求炮的最大射程;(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽視其大小),其飛行高度為3.2km,試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時(shí),炮彈可以擊中它?【解析】(1)令y=0,得kx-QUOTE(1+k2)x2=0,由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x>0,k>0,故x=QUOTE=QUOTE≤QUOTE=10,當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào).所以炮的最大射程為10km.(2)因?yàn)閍>0,所以炮彈可擊中目標(biāo)等價(jià)于存在k>0,使3.2=ka-QUOTE(1+k2)a2成立,即關(guān)于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根,所以判別式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0,解得a≤6,所以0<a≤6.所以當(dāng)a不超過6km時(shí),炮彈可擊中目標(biāo).1.《蒙娜麗莎》是意大利文藝復(fù)興時(shí)期畫家列奧納多·達(dá)芬奇創(chuàng)作的油畫,現(xiàn)保藏于法國羅浮宮博物館.該油畫規(guī)格為:縱77cm,橫53cm.油畫掛在墻壁上的最低點(diǎn)處B離地面237cm(如圖所示).有一身高為175cm的游客從正面欣賞它(該游客頭頂T到眼睛C的距離為15cm),設(shè)該游客離墻距離為xA.77 B.80 C.100 D.77QUOTE【解析】選D.如圖所示,設(shè)∠BCD=α,則tanα=QUOTE=QUOTE.tan(θ+α)=QUOTE=QUOTE=QUOTE,解得tanθ=QUOTE≤QUOTE=QUOTE,當(dāng)且僅當(dāng)x=QUOTE,即x=77QUOTE時(shí)取等號(hào).故選D.2.在△ABC中,設(shè)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若sinB=QUOTE,則QUOTE+QUOTE的最小值為________.

【解析】由正弦定理可得b=QUOTE,cosB=QU