《排列、組合與二項式定理》章末歸納復(fù)習(xí)

高中數(shù)學(xué)精選資源3/3《排列、組合與二項式定理》章末歸納復(fù)習(xí)知識網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)答案=1\*GB3①完成一件事,如果有類辦法,且:第一類辦法中有種不同的方法,第二類辦法中有種不同的方法……第類辦法中有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法=2\*GB3②完成一件事,如果需要分成個步驟，且：做第一步有種不同的方法,做第二步有種不同的方法……做第步有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法=3\*GB3③從個不同對象中,任取個對象,按照一定的順序排成一列,稱為從個不同對象中取出個對象的一個排列=4\*GB3④=5\*GB3⑤從個不同對象中取出個對象并成一組,稱為從個不同對象中取出個對象的一個組合=6\*GB3⑥=7\*GB3⑦=8\*GB3⑧=9\*GB3⑨=10\*GB3⑩知識要點整合一、基本計數(shù)原理1.分類加法計數(shù)原理.完成一件事，如果有n類辦法，且：第一類辦法中有種不同的方法，第二類辦法中有種不同的方法第n類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.2.分步乘法計數(shù)原理.完成一件事，如果需要分成n個步驟，且：做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法……做第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.3.利用兩個計數(shù)原理解決問題的思路.（1）選擇使用兩個計數(shù)原理解決問題時，要根據(jù)我們完成某件事情采取的方式而定，確定是分類還是分步，要抓住兩個計數(shù)原理的本質(zhì).（2）分類加法計數(shù)原理的關(guān)鍵是“類”，分類時，首先要根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個標(biāo)準(zhǔn)下進行分類；其次分類時要注意，完成這件事的任何種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法.（3）分步乘法計數(shù)原理的關(guān)鍵是“步”，分步時首先要根據(jù)問題的特點確定一個分步的標(biāo)準(zhǔn)；其次，分步時還要注意滿足完成一件事必須并且只有連續(xù)完成這n個步驟后，這件事才算完成，只有滿足了上述條件，才能用分步乘法計數(shù)原理.例1某校高三有三個班，分別有學(xué)生50人、50人、52人.從中選一人擔(dān)任學(xué)生會主席，不同選法共有（）A.100種B.102種C.152種D.50種解析這名學(xué)生會主席可能是一班學(xué)生，可能是二班學(xué)生，也可能是三班學(xué)生，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有種不同選法.答案C例2現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3件不同顏色的長褲，如果一件上衣和一條長褲配成一套，則不同的搭配法種類為（）A.7B.12C.64D.81解析完成一種搭配有兩個步驟：第一步選上衣，有4種不同的選法；第二步選長褲，有3種不同的選法.所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理共有種不同的搭配法?答案B例3如圖，一個正方形花圃被分成5份若給這5個部分種植花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花，已知現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色不同的花，則有多少種不同的種植方法？解析先對A部分種植，再對B部分種植，對C部分種植按與B相同及與B不同兩種情況進行分類考慮.答案先對部分種植,有4種不同的種植方法;再.對部分種植,有3種不同的種植方法;對部分種植進行分類:=1\*GB3①若與相同,則有2種不同的種植方法,有2種不同的種植方法,共有種.=2\*GB3②若與不同,則有2種不同的種植方法,有1種種植方法,有2種不同的種植方法,共有種.綜上所述,共有種種植方法.二、排列數(shù)與組合數(shù)的應(yīng)用1.排列數(shù)及其公式.從個不同對象中取出個對象的所有排列的個數(shù),稱為從個不同對象中取出個對象的排列數(shù),用符號表示.1),.2.組合數(shù)及其公式.從個不同對象中取出個對象的所有組合的個數(shù),稱為從個不同對象中取出個對象的組合數(shù),用符號表示..3.解決排列與組合應(yīng)用題的常用方法;（1）合理分類,準(zhǔn)確分步;（2）特殊優(yōu)先,一般在后;（3）先取后排,間接排除;（4）集團捆綁,間隔插空;（5）抽象問題,構(gòu)造模型.提醒:對于排列、組合的綜合題目,一般是將符合要求的對象取出或進行分組,再對取出的對象或分好的組進行排列,即一般策略為先組合后排列.分組時,要注意“平均分組”與“不平均分組”的差異及分類的標(biāo)準(zhǔn).例4從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三項不同的工作,若這3人中至少有1名女生,則不同的選派方案共有（）A.108種B.186種C.216種D.270種解析從7個人中選3個人分別從事三項不同的工作,有種選法,其中一個女生也沒有的選法有種選法,所以至少有一個女生的選法有種.答案B例5某單位需同時參加甲、乙、丙三個會議，甲需2人參加,乙、丙各需1人參加,從10人中選派4人參加這三個會議,不同的安排方法有_____種.解析從10人中選派4人有種方法,對選出的4人具體安排會議有種方法,由分步乘法計數(shù)原理知,不同的選派方法有種.答案2520例6某城市關(guān)系要好的A，B，C，D四個家庭各有兩個小孩共8人，準(zhǔn)備使用滴滴打車軟件，分乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐4人（乘同一輛車的4名小孩不考慮位置差異）（1）共有多少種不同的乘坐方式？（2）若A戶家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4名小孩恰好有2名來自同一個家庭的乘坐方式共有多少種？解析（1）根據(jù)題意，分2步進行分析：①將8人分成2組；②將分好的2組進行排列，安排到甲、乙兩輛車，由分步乘法計數(shù)原理計算可得答案.（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：①A戶家庭的孿生姐妹在甲車上，甲車上剩下兩名乘客要來自不同的家庭；②A戶家庭的孿生姐妹不在甲車上，每種情況下分析乘坐人員的情況，由排列、組合數(shù)公式計算可得其乘坐方式的數(shù)目，由分類加法計數(shù)原理計算可得答案.答案（1）根據(jù)題意，8個小孩坐2輛汽車，每車限坐4人，分2步進行分析：=1\*GB3①將8人分成2組,有種分組方法,=2\*GB3②將分好的2組全排列,安排到甲、乙兩輛車,有種情況,則有種不同的乘坐方式.（2）=1\*GB3①A戶家庭的孿生姐妹在甲車上,甲車上剩下兩名乘客要來自不同的家庭,可以在剩下的三個家庭中任選2個,再從每個家庭的2個小孩中任選一個,來乘坐甲車,有種乘坐方式;=2\*GB3②A戶家庭的孿生姐妹不在甲車上,需要在剩下的三個家庭中任選1個,讓其2個小孩都在甲車上,對于剩余的2個家庭,從每個家庭的2個小孩中任選一個,來乘坐甲車,有種乘坐方式.則共有種乘坐方式.三、二項式定理及其應(yīng)用1.二項式定理.一般地,當(dāng)是正整數(shù)時,有.上述公式稱為二項式定理,等式右邊的式子稱為的展開式,它共有項,其中是展開式中的第項（通常用表示),稱為第項的二項式系數(shù),我們將稱為二項展開式的通項公式.2.二項式系數(shù)的性質(zhì).（1）.（2）.3.二項式定理的問題類型及解答策略.（1）確定二項式中的有關(guān)元素:一般是根據(jù)已知條件,列出等式,從而可解得所要求的二項式中的有關(guān)元素.（2）確定二項展開式中的常數(shù)項：先寫出其通項公式，令未知數(shù)的指數(shù)為零，從而確定項數(shù)，然后代入通項公式，即可確定常數(shù)項.（3）求二項展開式中條件項的系數(shù)：先寫出其通項公式，再由條件確定項數(shù)，然后代入通項公式求出此項的系數(shù).（4）求二項展開式中各項系數(shù)的和差：賦值代入.（5）確定二項展開式中的系數(shù)最大或最小項：利用二項式系數(shù)的性質(zhì)（6）把被除數(shù)的底數(shù)拆成與除數(shù)的倍數(shù)有關(guān)的和（或差）式，就可以利用二項式定理證明整除（或求余數(shù)）問題.（7）當(dāng)不是很大,比較小時可以用展開式的前幾項求的近似值.例7已知二項式的二項展開式中所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為128.（1）求的展開式中的常數(shù)項;（2）在的展開式中,求含項的系數(shù)(結(jié)果用數(shù)字作答).解析先根據(jù)二項展開式和二項式系數(shù)的性質(zhì),求出的值.（1）寫出展開式的通項,令的指數(shù)為0,即可求出常數(shù)項.（2）利用通項的特點,依次寫出對應(yīng)的項的系數(shù)(即二項式系數(shù)),然后借助于二項式系數(shù)的性質(zhì)計算.答案由已知得所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為,所以.（1）展開式通項為:,.令得.故常數(shù)項為.（2）含的項的系數(shù)為將代人得.例8求證:.解析將寫成,用二項式定理展開,再進行放縮.答案當(dāng)時.不等式成立.例9求的近似值,使誤差小于.解析將表示為,再用二項式定用展開進行估值.答案,展開式中第3項為,小于,以后各項的絕對值更小,可忽略不計,.核心素養(yǎng)梳理一、數(shù)學(xué)運算數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)本章中，有關(guān)排列數(shù)、組合數(shù)的計算、二項式定理中系數(shù)與系數(shù)和的計算等就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).例1（1）若,求的值;（2）求的值(用數(shù)字作答).解析（1）利用排列數(shù)公式即可得到結(jié)果.（2）利用求解.答案（1）原式等價于,即:,解得:或,舍去),∴.（2）例2（1）已知的展開式中第2項與第3項的二項式系數(shù)之比為,求的值;（2）記.，=1\*GB3①求;=2\*GB3②設(shè),求和:解析（1）直接根的二項式系數(shù)之比列方程即可求解.（2）=1\*GB3①,令即可求得結(jié)論.=2\*GB3②根據(jù),又,求得,進而結(jié)合二項式系數(shù)的性質(zhì)求解結(jié)論.答案（1）已知的展開式中第2項與第3項的二項式系數(shù)之比為,為.（2）=1\*GB3①由題意知:,令得:.=2\*GB3②由題意:,又,，，.二、邏輯推理邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā),依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).本章中的排列組合問題就需要很強的邏輯推理能力,二項式定理中的關(guān)于系數(shù)和、參數(shù)的計算等就體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng).例3在班級活動中，4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目(寫出必要的數(shù)學(xué)式,結(jié)果用數(shù)字作答)：（1）三名女生不能相鄰,有多少種不同的站法?（2）四名男生相鄰有多少種不同的排法?（3）女生甲不能站在左端,女生乙不能站在右端,有多少種不同的排法?（4）甲乙丙三人按高低從左到右有多少種不同的排法?(甲乙丙三位同學(xué)身高互不相等)（5）從中選出2名男生和2名女生表演分四個不同角色的朗誦節(jié)目,有多少種選派方法?（6）現(xiàn)在有7個座位連成一排,僅安排4個男生就座,恰好有兩個空座位相鄰的不同坐法共有多少種?解析本題考查排列、組合的實際應(yīng)用,注意優(yōu)先分析受到限制的對象.答案（1）根據(jù)題意,分2步進行分析;=1\*GB3①將4名男生全排列,有種情況,排好后有5個空位；=2\*GB3②在5個空位中任選3個,安排3名女生,有種情況,則三名女生不能相鄰的排法有種.（2）根據(jù)題意,分2步進行分析;=1\*GB3①將4名男生看成一個整體,考慮4人間的順序,有種情況;=2\*GB3②將這個整體與三名女生全排列,有種情況,則四名男生相鄰的排法有種.（3）根據(jù)題意,分2種情況討論:①女生甲站在右端，其余6人全排列，有種情況；②女生甲不站在右端，甲有5種站法，女生乙有5種站法，將剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，有種站法則此時有種站法，則一共有種站法.（4）根據(jù)題意，首先把7名同學(xué)全排列，共有種結(jié)果，甲乙丙三人內(nèi)部的排列共有種結(jié)果，要使得甲乙丙三個人按照一個高矮順序排列，結(jié)果數(shù)只占6種結(jié)果中的一種，則有種排法.（5）根據(jù)題意，首先從4名男生和3名女生中各選出2人，有種情況，其次4人分演四個不同角色，有種情況,共有種選派方法.（6）根據(jù)題意,恰好有兩個空座位相鄰分2種情況:=1\*GB3①兩個相鄰空座位在兩邊,即第1,2號或第6,7號座位,第三個空座位有4種選擇;②兩個相鄰空座位在中間,可能是2,3號,3,4號,4,5號或5,6號座位中的一個,第三個空座位有3種選擇,4個男生全排列有種排法,共有種坐法.例4證明:能被31整除.解析把表示為,再用二項式定理展開.答案,顯然為整數(shù),原式能被31整除.高考真題再現(xiàn)考點1排列與組合本章內(nèi)容在高考中是必考內(nèi)容，通過排列與組合的知識計算有關(guān)概率的題目，常與隨機變量的分布列（下一章內(nèi)容）相結(jié)合，以解答題的形式考查，難度中等偏上.例1（2020·全國Ⅱ）4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學(xué)只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有_____種.解析名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動,每名同學(xué)只去1個小區(qū),每個小區(qū)至少安排1名同學(xué),先取2名同學(xué)看作一組,選法有:.現(xiàn)在可看成是3組同學(xué)分配到3個小區(qū),分法有:.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,可得不同的安排方法有種.答案36例2（2018·浙江)從中任取2個數(shù)字,從中任取2個數(shù)字,一共可以組成_____個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)(用數(shù)字作答).解析按是否取0分為2類,.答案1260考點2二項式定理高考中對二項式定理的考查也是必考內(nèi)容,意在考查考生對二項式定理的理解能力、數(shù)據(jù)的運算求解能力,以選擇題形式出現(xiàn)較多,難度較小.例3(2020?全國I)的展開式中的系數(shù)為A.5 B.10C.15D.2解析展開式的通項公式為且,所以與展開式的乘積中的項可表示為：或.在中,令,可得:,該項中的系數(shù)為10,在中,令,可得:,該項中的系數(shù)為5.所以的系數(shù)為.答案例4(2020?全國III)的展開式中常數(shù)項是_____(用數(shù)字作答).解析∵的二項展開式的通項公式.當(dāng),解得.的展開式中常數(shù)項是:.答案240例5-浙江在二項式的展開式中,常數(shù)項是__