期末真題必刷壓軸60題（18個考點專練）（原卷版）

期末真題必刷壓軸60題（18個考點專練）一．冪的乘方與積的乘方（共1小題）1．（2022秋?梁子湖區(qū)期末）閱讀下列材料：一般地，n個相同的因數(shù)a相乘記為an．如2×2×2＝23＝8，此時，3叫做以2為底8的對數(shù)，記為log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對數(shù)，記為logab（即logab＝n）．如34＝81，則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為log381（即log381＝4）．（1）計算以下各對數(shù)的值：log24＝，log216＝，log264＝．（2）觀察（1）中三數(shù)4、16、64之間滿足怎樣的關(guān)系式，log24、log216、log264之間又滿足怎樣的關(guān)系式；（3）由（2）的結(jié)果，你能歸納出一個一般性的結(jié)論嗎？logaM+logaN＝；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）根據(jù)冪的運算法則：an?am＝an+m以及對數(shù)的含義證明上述結(jié)論．二．多項式乘多項式（共1小題）2．（2023春?安徽期末）甲、乙兩人共同計算一道整式乘法題：（2x+a）（3x+b）．甲由于把第一個多項式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的結(jié)果為6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二個多項式中x的系數(shù)，得到的結(jié)果為2x2﹣9x+10．（1）求正確的a、b的值．（2）計算這道乘法題的正確結(jié)果．三．完全平方公式的幾何背景（共1小題）3．（2022秋?西崗區(qū)校級期末）【探究】若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．設(shè)9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17；【應(yīng)用】請仿照上面的方法求解下面問題：（1）若x滿足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；【拓展】（2）已知正方形ABCD的邊長為x，E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點，且AE＝1，CF＝3，長方形EMFD的面積是8，分別以MF、DF為邊作正方形．①MF＝，DF＝；（用含x的式子表示）②求陰影部分的面積．四．整式的除法（共1小題）4．（2022秋?海淀區(qū)校級期末）已知a，b，c為實數(shù)，且多項式x3+ax2+bx+c能被多項式x2+3x﹣4整除，（1）求4a+c的值；（2）求2a﹣2b﹣c的值；（3）若a，b，c為整數(shù)，且c≥a＞1，試確定a，b，c的值．五．因式分解十字相乘法等（共1小題）5．（2023春?渠縣校級期末）閱讀并解決問題．對于形如x2+2ax+a2這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成（x+a）2的形式．但對于二次三項式x2+2ax﹣3a2，就不能直接運用公式了．此時，我們可以在二次三項式x2+2ax﹣3a2中先加上一項a2，使它與x2+2ax的和成為一個完全平方式，再減去a2，整個式子的值不變，于是有：x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．像這樣，先添﹣適當項，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變的方法稱為“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8．（2）若a+b＝5，ab＝6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．（3）已知x是實數(shù)，試比較x2﹣4x+5與﹣x2+4x﹣4的大小，說明理由．六．因式分解的應(yīng)用（共3小題）6．（2022秋?平城區(qū)校級期末）綜合與實踐如圖1所示，邊長為a的正方形中有一個邊長為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個長方形，設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2．（1）請直接用含a和b的代數(shù)式表示S1＝，S2＝；寫出利用圖形的面積關(guān)系所得到的公式：（用式子表達）．（2）依據(jù)這個公式，康康展示了“計算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）”的解題過程．解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1．在數(shù)學(xué)學(xué)習中，要學(xué)會觀察，嘗試從不同角度分析問題，請仿照康康的解題過程計算：2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1．（3）對數(shù)學(xué)知識要會舉一反三，請用（1）中的公式證明任意兩個相鄰奇數(shù)的平方差必是8的倍數(shù)．7．（2022秋?江北區(qū)校級期末）如果一個四位自然數(shù)的百位數(shù)字大于或等于十位數(shù)字，且千位數(shù)字等于百位數(shù)字與十位數(shù)字的和，個位數(shù)字等于百位與十位數(shù)字的差，則我們稱這個四位數(shù)為親密數(shù)，例如：自然數(shù)4312，其中3＞1，4＝3+1，2＝3﹣1，所以4312是親密數(shù)；（1）最小的親密數(shù)是，最大的親密數(shù)是；（2）若把一個親密數(shù)的千位數(shù)字與個位數(shù)字交換，得到的新數(shù)叫做這個親密數(shù)的友誼數(shù)，請證明任意一個親密數(shù)和它的友誼數(shù)的差都能被原親密數(shù)的十位數(shù)字整除；（3）若一個親密數(shù)的后三位數(shù)字所表示的數(shù)與千位數(shù)字所表示的數(shù)的7倍之差能被13整除，請求出這個親密數(shù)．8．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級期末）若一個整數(shù)能表示成a2+b2（a、b是正整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“豐利數(shù)”．例如，2是“豐利數(shù)”，因為2＝12+12，再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x+y，y是正整數(shù)），所以M也是“豐利數(shù)”．（1）請你寫一個最小的三位“豐利數(shù)”是，并判斷20“豐利數(shù)”．（填是或不是）；（2）已知S＝x2+y2+2x﹣6y+k（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“豐利數(shù)”，試求出符合條件的一個k值（10≤k＜200），并說明理由．七．分式的加減法（共1小題）9．（2022秋?固始縣期末）分式中，在分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為假分式．例如，分式，是假分式．一個假分式可以化為一個整式與一個真分式的和．例如，．（1）將假分式化為一個整式與一個真分式的和；（2）若分式的值為整數(shù)，求x的整數(shù)值．八．分式的化簡求值（共2小題）10．（2022秋?鐵嶺縣期末）先化簡，再對a取一個適當?shù)臄?shù)，代入求值．﹣÷．11．（2022秋?平城區(qū)校級期末）定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”．如：＝＝+＝1+，＝＝+＝2+，則和都是“和諧分式”．（1）下列式子中，屬于“和諧分式”的是（填序號）；①；②；③；④（2）將“和諧分式”化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式為：＝+；（3）應(yīng)用：先化簡﹣÷，并求x取什么整數(shù)時，該式的值為整數(shù)．九．分式方程的應(yīng)用（共11小題）12．（2022秋?東昌府區(qū)校級期末）某縣為了落實中央的“強基惠民工程”，計劃將某村的居民自來水管道進行改造．該工程若由甲隊單獨施工恰好在規(guī)定時間內(nèi)完成；若乙隊單獨施工，則完成工程所需天數(shù)是規(guī)定天數(shù)的3倍．如果由甲、乙隊先合做15天，那么余下的工程由甲隊單獨完成還需10天．（1）這項工程的規(guī)定時間是多少天？（2）已知甲隊每天的施工費用為6500元，乙隊每天的施工費用為3500元．為了縮短工期以減少對居民用水的影響，工程指揮部最終決定該工程由甲、乙隊合做來完成．則該工程施工費用是多少？13．（2022秋?沙洋縣校級期末）甲、乙兩車站相距450km，一列貨車從甲車站開出3h后，因特殊情況在中途站多停了一會，耽誤了30min，后來把貨車的速度提高為原來的1.2倍，結(jié)果準時到達乙站，求這列貨車原來的速度．14．（2022秋?湖里區(qū)校級期末）甲、乙兩輛汽車同時分別從A、B兩城沿同一條高速公路駛向C城．已知A、C兩城的距離為450千米，B、C兩城的距離為400千米．（1）若甲車比乙車的速度快12千米/時，結(jié)果兩輛車同時到達C城．求兩車的速度．（2）設(shè)乙車的速度x千米/時，甲車的速度（x+a）千米/時，若x＝10a，則哪一輛車先到達C城，并說明理由．15．（2022秋?新化縣期末）某工廠對零件進行檢測，引進了檢測機器．已知一臺檢測機的工作效率相當于一名檢測員的20倍．若用這臺檢測機檢測900個零件要比15名檢測員檢測這些零件少3小時．（1）求一臺零件檢測機每小時檢測零件多少個？（2）現(xiàn)有一項零件檢測任務(wù)，要求不超過7小時檢測完成3450個零件．該廠調(diào)配了2臺檢測機和30名檢測員，工作3小時后又調(diào)配了一些檢測機進行支援，則該廠至少再調(diào)配幾臺檢測機才能完成任務(wù)？16．（2022秋?代縣期末）為緩解忻州至太原段的交通壓力，促進兩市經(jīng)濟發(fā)展．山西省委決定修建“太忻大道”，現(xiàn)“太忻大道”正在建設(shè)中．甲、乙兩個工程隊計劃參與一項工程建設(shè)，甲隊單獨施工30天完成該項工程的，這時乙隊加入，兩隊還需同時施工15天，才能完成該項工程．（1）若乙隊單獨施工，需要多少天才能完成該項工程？（2）若甲隊參與該項工程施工的時間不超過36天，則乙隊至少施工多少天才能完成該項工程？17．（2022秋?長沙期末）某鎮(zhèn)道路改造工程，由甲、乙兩工程隊合作20天可完成，甲工程隊單獨施工完成的天數(shù)是乙工程隊單獨施工完天數(shù)的2倍．（1）求甲、乙兩工程隊單獨完成此項工程各需要多少天？（2）甲工程隊獨做a天后，再由甲、乙兩工程隊合作天（用含a的代數(shù)式表示）可完成此項工程；（3）如果甲工程隊施工每天需付施工費1萬元，乙工程隊施工每天需付施工費2.5萬元，甲工程隊至少要單獨施工多少天后，再由甲、乙兩工程隊合作施工完成剩下的工程，才能使施工費不超過64萬元？18．（2022秋?青云譜區(qū)期末）一項工程，甲、乙兩公司合做，12天可以完成，如果甲乙公司單獨完成此項工程，乙公司所用時間是甲公司的1.5倍．（1）甲、乙公司單獨完成此項工程，各需多少天？（2）若已知甲乙合做完成此項工程共需費用102000元，并且乙公司每天費用比甲公司每天費用少1500元，分別計算甲、乙單獨完成此項工程各需多少費用并選擇合理的施工方案．19．（2023春?新吳區(qū)期末）某汽車銷售公司經(jīng)銷某品牌A款汽車，隨著汽車的普及，其價格也在不斷下降．今年5月份A款汽車的售價比去年同期每輛降價1萬元，如果賣出相同數(shù)量的A款汽車，去年銷售額為100萬元，今年銷售額只有90萬元．（1）今年5月份A款汽車每輛售價多少萬元？（2）為了增加收入，汽車銷售公司決定再經(jīng)銷同品牌的B款汽車，已知A款汽車每輛進價為7.5萬元，B款汽車每輛進價為6萬元，公司預(yù)計用不多于105萬元且不少于99萬元的資金購進這兩款汽車共15輛，有幾種進貨方案？（3）如果B款汽車每輛售價為8萬元，為打開B款汽車的銷路，公司決定每售出一輛B款汽車，返還顧客現(xiàn)金a萬元，要使（2）中所有的方案獲利相同，a值應(yīng)是多少？此時，哪種方案對公司更有利？20．（2023春?開江縣校級期末）某開發(fā)公司生產(chǎn)的960件新產(chǎn)品需要精加工后才能投放市場．現(xiàn)有甲、乙兩個工廠都想加工這批產(chǎn)品，已知甲廠單獨加工這批產(chǎn)品比乙工廠單獨加工完這批產(chǎn)品多用20天，而甲工廠每天加工的數(shù)量是乙工廠每天加工數(shù)量的，公司需付甲工廠加工費用每天80元，需付乙工廠加工費用每天120元．（1）甲、乙兩個工廠每天各能加工多少個新產(chǎn)品？（2）公司制定產(chǎn)品加工方案如下：可以由每個廠家單獨完成，也可以由兩個廠家合作完成，在加工過程中，公司派一名工程師到廠進行技術(shù)指導(dǎo)，并負擔每天10元的午餐補助費，請你幫助公司選擇一種既省時又省錢的加工方案，并說明理由．21．（2022秋?扶溝縣校級期末）在我市某一城市美化工程招標時，有甲、乙兩個工程隊投標，經(jīng)測算：甲隊單獨完成這項工程需要60天，若由甲隊先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．（1）乙隊單獨完成這項工程需要多少天？（2）甲隊施工一天，需付工程款3.5萬元，乙隊施工一天需付工程款2萬元．若該工程計劃在70天內(nèi)完成，在不超過計劃天數(shù)的前提下，是由甲隊或乙隊單獨完成工程省錢？還是由甲乙兩隊全程合作完成該工程省錢？22．（2022秋?安順期末）周末某班組織登山活動，同學(xué)們分甲，乙兩組從山腳下沿著一條道路同時向山頂進發(fā)，設(shè)甲，乙兩組行進同一路段所用的時間之比2：3．（1）直接寫出甲、乙兩組行進速度之比；（2）當甲組到達山頂時，乙組行進到山腰A處，且A處離山頂?shù)穆烦躺杏?.2千米，試問山腳離山頂?shù)穆烦逃卸噙h？（3）在題（2）所述內(nèi)容（除最后的問句處）的基礎(chǔ)上，設(shè)乙組從A處繼續(xù)登山，甲組到達山頂后休息片刻，再從原路下山，并且在山腰B處與乙組相遇，請你先根據(jù)以上情景提出一個相應(yīng)的問題，再給予解答．（要求：①問題的提出不需再增添其它條件；②問題的解決必須利用上述情景提供的所有書面條件．）一十．三角形內(nèi)角和定理（共11小題）23．（2022秋?棗陽市期末）如圖，在△ABC中∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠CDF的度數(shù)．24．（2022秋?榆次區(qū)校級期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，（1）觀察“規(guī)形圖”，直接寫出∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系：；（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，∠A＝42°，則∠ABX+∠ACX＝°；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝140°，則∠DCE＝°；③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1、G2…、G9，若∠BDC＝142°，∠BG1C＝70°，則∠A＝°．25．（2022秋?城關(guān)區(qū)校級期末）如圖1，一張三角形ABC紙片，點D，E分別是△ABC邊上兩點．研究（1）：如果沿直線DE折疊，使點A落在CE上的點A'處，則∠BDA'與∠A的數(shù)量關(guān)系是；研究（1）：如果折成圖2的形狀，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的數(shù)量關(guān)系是；研究（3）：如果折成圖3的形狀，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的數(shù)量關(guān)系是什么，并說明理由．26．（2022秋?和平區(qū)校級期末）【數(shù)學(xué)模型】如圖（1），AD，BC交于O點，根據(jù)“三角形內(nèi)角和是180°”，不難得出兩個三角形中的角存在以下關(guān)系：①∠DOC＝∠AOB；②∠D+∠C＝∠A+∠B．【提出問題】分別作出∠BAD和∠BCD的平分線，兩條角平分線交于點E，如圖（2），∠E與∠D、∠B之間是否存在某種數(shù)量關(guān)系呢？【解決問題】為了解決上面的問題，我們先從幾個特殊情況開始探究．已知∠BAD的平分線與∠BCD的平分線交于點E．（1）如圖（3），若AB∥CD，∠D＝30°，∠B＝40°，則∠E＝．（2）如圖（4），若AB不平行CD，∠D＝30°，∠B＝50°，則∠E的度數(shù)是多少呢？易證∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2，請你完成接下來的推理過程：∴∠D+∠1+∠B+∠4＝，∵CE、AE分別是∠BCD、∠BAD的平分線，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∴2∠E＝，又∵∠D＝30°，∠B＝50°，∴∠E＝度．（3）在總結(jié)前兩問的基礎(chǔ)上，借助圖（2），直接寫出∠E與∠D、∠B之間的數(shù)量關(guān)系是：．【類比應(yīng)用】如圖（5），∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點E．已知：∠D＝α、∠B＝β，（α＜β）則∠E＝（用α、β表示）．27．（2022秋?大竹縣校級期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，P為線段AD上的一個動點，PE⊥AD交直線BC于點E，若∠B＝35°，∠ACB＝85°．（1）求∠DAC的度數(shù)；（2）求∠E的度數(shù)．28．（2022秋?天山區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B＝75°，∠C＝45°，求∠DAE與∠AEC的度數(shù)．29．（2022秋?平橋區(qū)校級期末）如圖，AD為△ABC的高，BE為△ABC的角平分線，若∠EBA＝32°，∠AEB＝70°．（1）求∠CAD的度數(shù)；（2）若點F為線段BC上任意一點，當△EFC為直角三角形時，則∠BEF的度數(shù)為．30．（2022秋?鹽湖區(qū)期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習用品﹣﹣圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝°；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)；③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度數(shù)．31．（2022秋?高新區(qū)校級期末）敘述并證明“三角形的內(nèi)角和定理”．（要求根據(jù)下圖寫出已知、求證并證明）32．（2022秋?開江縣校級期末）如圖，在△ABC中，CD⊥AB，垂足為D，點E在BC上，EF⊥AB，垂足為F，∠1＝∠2．（1）試說明DG∥BC的理由；（2）如果∠B＝34°，且∠ACD＝47°，求∠3的度數(shù)．33．（2022秋?渠縣校級期末）圖（1）是我們常見的“箭頭圖”，其中隱藏著哪些數(shù)學(xué)知識呢？下面請你解決以下問題：（1）觀察如圖（1）“箭頭圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間大小的關(guān)系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結(jié)論，回答下列兩個問題：①如圖（2），把一塊三角板XYZ放置在△ABC上，使其兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C．若∠A＝50°，則∠ABX+∠ACX＝；②如圖（3），∠ABD，∠ACD的五等分線分別相交于點G1、G2、G3、G4，若∠BDC＝135°，∠BG1C＝67°，求∠A的度數(shù)．一十一．三角形的外角性質(zhì)（共3小題）34．（2022秋?萬全區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分線，點E在BD上，點F在CA的延長線上，EF∥AD．（1）求∠BAF的度數(shù)．（2）求∠F的度數(shù)．35．（2022秋?建平縣期末）如圖，已知：點P是△ABC內(nèi)一點．（1）求證：∠BPC＞∠A；（2）若PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∠A＝40°，求∠P的度數(shù)．36．（2022秋?黃石港區(qū)期末）已知如圖∠B＝∠C，∠1＝∠2，∠BAD＝40°，求∠EDC度數(shù)．一十二．全等三角形的判定與性質(zhì)（共13小題）37．（2022秋?青秀區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，A（﹣2，0），B（0，3），C（3，0），D（0，2）．（1）求證：AB＝CD且AB⊥CD；（2）以A為直角頂點在第二象限內(nèi)作等腰直角三角形ABE，過點E作EF⊥x軸于點F，求點F的坐標；（3）若點P為y軸正半軸上一動點，以AP為直角邊作等腰直角三角形APQ，∠APQ＝90°，QR⊥x軸于點R，當點P運動時，OP﹣QR的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若變化，請說明理由．38．（2022秋?廣水市期末）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點．A、B兩點的坐標分別為A（m，0）、B（0，n），且，點P從A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線AO勻速運動，設(shè)點P運動時間為t秒．（1）求OA、OB的長；（2）連接PB，若△POB的面積不大于3且不等于0，求t的范圍；（3）過P作直線AB的垂線，垂足為D，直線PD與y軸交于點E，在點P運動的過程中，是否存在這樣的點P，使△EOP≌△AOB？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．39．（2022秋?蒼梧縣期末）如圖1，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，E在線段AC上，連接AD，BE的延長線交AD于F．（1）猜想線段BE，AD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系：（不必證明）；（2）當點E為△ABC內(nèi)部一點時，使點D和點E分別在AC的兩側(cè)，其它條件不變．①請你在圖2中補全圖形；②（1）中結(jié)論成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．40．（2022秋?興隆縣期末）【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點E，使DE＝AD，請根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范圍是．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．【問題解決】（3）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．41．（2022秋?宜春期末）【問題情境】如圖，在平面直角坐標系中，點A（0，m），B（n，0），且（m﹣n）2+n2﹣4n+4＝0，連接AB，點P、點Q是x軸上的動點，且OP＝BQ．連接AQ，過O點作OD⊥AQ于點E，交直線AB于點D，連接DP，試問在運動過程中，∠BPD與∠AQO是否存在某種特定的數(shù)量關(guān)系．（1）直接寫出點A的坐標為，點B的坐標為；（2）【深入探究】如圖1，當點P、點Q在線段OB上，且P點在Q點的左側(cè)時．①求證：∠DOB＝∠QAO；②試猜想∠BPD與∠AQO的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）【拓展應(yīng)用】當點P在B點右側(cè)，點Q在x軸負半軸上運動時，若∠AQO＝α，用α表示∠BPD＝．（不需證明）42．（2022秋?沈河區(qū)期末）△ABC，AB＝AC，點D在線段BC上，點F在射線AD上，連接CF，作BE∥CF交射線AD于E，∠CFA＝∠BAC＝α．（1）如圖1，當α＝70°時，∠ABE＝15°時，求∠BAE的大??；（2）當α＝90°，AB＝AC＝8時，①如圖2．延長BF，當BF＝BA，求CF的長；②若AD＝5，直接寫出CF的長．43．（2022秋?長壽區(qū)期末）已知：點O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，且OB＝OC．（1）如圖1，若點O在邊BC上，過點O分別作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F(xiàn)分別是垂足．求證：△OEB≌△OFC；（2）如圖2，若點O在△ABC的內(nèi)部，求證：AB＝AC；（3）若點O在△ABC的外部，AB＝AC成立嗎？請畫圖表示．44．（2022秋?東西湖區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A（0，a），點B（b，0），點C（﹣3，0），且a、b滿足a2﹣6a+9+|a﹣b|＝0．（1）點A的坐標為，點B的坐標為；（2）求證：AB＝AC；（3）若∠CAB＝90°，過點A作射線l（射線l與邊BC有交點），過點B作BD⊥l于點D，過點C作CE⊥l于點E，過點E作EF⊥DC于點F交y軸于點G．①求證：AE＝BD；②求點G的坐標．45．（2022秋?東西湖區(qū)校級期末）如圖，已知△ABC中，AC＝CB＝20cm，AB＝16cm，點D為AC的中點．（1）如果點P在線段AB以6cm/s的速度由A點向B點運動，同時，點Q在線段BC上由點B向C點運動．①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1s后，△APD與△BQP是否全等？說明理由；②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△APD與△BQP全等？（2）若點Q以②中的運動速度從點B出發(fā)，點P以原來的運動速度從點A同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC三邊運動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？46．（2022秋?金灣區(qū)期末）如圖1，已知點A（a，0），點B（0，b），且a、b滿足+|4﹣b|＝0．（1）求A、B兩點的坐標；（2）若點C是第一象限內(nèi)一點，且∠OCB＝45°，過點A作AD⊥OC于點F，求證：FA＝FC；（3）如圖2，若點D的坐標為（0，1），過點A作AE⊥AD，且AE＝AD，連接BE交x軸于點G，求G點的坐標．47．（2022秋?鹽山縣校級期末）如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE、CD交于點O，OB＝OC．求證：∠1＝∠2．48．（2022秋?廣水市期末）如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D為AB延長線上一點，點E在BC邊上，且BE＝BD，連接AE，DE，DC．（1）求證：△ABE≌△CBD；（2）若∠CAE＝30°，求∠EDC的度數(shù)．49．（2022秋?靈寶市校級期末）（1）在圖1中，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN．∠ABC＝∠ADC＝90°，則能得如下兩個結(jié)論：①DC＝BC；②AD+AB＝AC．請你證明結(jié)論②；（2）在圖2中，把（1）中的條件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改為∠ABC+∠ADC＝180°，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．一十三．等腰三角形的性質(zhì)（共1小題）50．（2022秋?金華期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD為△ABC的角平分線；（1）若AB＝BD，則∠A的度數(shù)為°（直接寫出結(jié)果）；（2）如圖1，若E為線段BC上一點，∠DEC＝∠A；求證：AB＝EC．（3）如圖2，若E為線段BD上一點，∠DEC＝∠A，求證：AB＝EC．一十四．等腰三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）51．（2022秋?明水縣校級期末）（1）如圖①，在△ABC中，BF，CF分別平分∠ABC，∠ACB，過點F作直線平行于BC，分別交AB，AC于點D，E，求證：DE＝BD+CE；（2）如圖②，若點F是∠ABC的平分線和外角∠ACG的平分線的交點，其他條件不變，請猜想線段DE，DB，EC之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的猜想．一十五．等邊三角形的性質(zhì)（共2小題）52．（2022秋?榮昌區(qū)期末）如圖1，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，（1）連接AQ、CP交于點M，則在P、Q運動的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；（2）何時△PBQ是直角三角形？（3）如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，則∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)．53．（2022秋?上杭縣校級期末）如圖△ABC為等邊三角形，直線a∥AB，D為直線BC上一點，∠ADE交直線a于點E，且∠ADE＝60°．（1）若D在BC上（如圖1）求證CD+CE＝CA；（2）若D在CB延長線上，CD、CE、CA存在怎樣數(shù)量關(guān)系，給出你的結(jié)論并證明．一十六．多邊形（共1小題）54．（2022秋?西城區(qū)期末）在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，如果一個凸多邊形的頂點都是網(wǎng)格線交點，我們稱其為格點凸多邊形，并記該格點多邊形的面積為S，多邊形內(nèi)部的格點數(shù)為N，多邊形邊上的格點數(shù)為L．（1）對于圖中的