廣東省廣州市2021-2023三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題（提升題）知識(shí)點(diǎn)分類

廣東省廣州市20212023三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編03解答題（提升題）知識(shí)點(diǎn)分類一．一次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）1．（2023?廣州）因活動(dòng)需要購買某種水果，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)通過市場(chǎng)調(diào)查得知：在甲商店購買該水果的費(fèi)用y1（元）與該水果的質(zhì)量x（千克）之間的關(guān)系如圖所示；在乙商店購買該水果的費(fèi)用y2（元）與該水果的質(zhì)量x（千克）之間的函數(shù)解析式為y2＝10x（x≥0）．（1）求y1與x之間的函數(shù)解析式；（2）現(xiàn)計(jì)劃用600元購買該水果，選甲、乙哪家商店能購買該水果更多一些？二．反比例函數(shù)綜合題（共1小題）2．（2023?廣州）已知點(diǎn)P（m，n）在函數(shù)y＝﹣（x＜0）的圖象上．（1）若m＝﹣2，求n的值；（2）拋物線y＝（x﹣m）（x﹣n）與x軸交于兩點(diǎn)M，N（M在N的左邊），與y軸交于點(diǎn)G，記拋物線的頂點(diǎn)為E．①m為何值時(shí)，點(diǎn)E到達(dá)最高處；②設(shè)△GMN的外接圓圓心為C，⊙C與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為F，當(dāng)m+n≠0時(shí)，是否存在四邊形FGEC為平行四邊形？若存在，求此時(shí)頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．三．二次函數(shù)綜合題（共2小題）3．（2022?廣州）已知直線l：y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)（0，7）和點(diǎn)（1，6）．（1）求直線l的解析式；（2）若點(diǎn)P（m，n）在直線l上，以P為頂點(diǎn)的拋物線G過點(diǎn)（0，﹣3），且開口向下．①求m的取值范圍；②設(shè)拋物線G與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，當(dāng)點(diǎn)Q向左平移1個(gè)單位長度后得到的點(diǎn)Q′也在G上時(shí)，求G在≤x≤+1的圖象的最高點(diǎn)的坐標(biāo)．4．（2021?廣州）已知拋物線y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．（1）當(dāng)m＝0時(shí)，請(qǐng)判斷點(diǎn)（2，4）是否在該拋物線上；（2）該拋物線的頂點(diǎn)隨著m的變化而移動(dòng)，當(dāng)頂點(diǎn)移動(dòng)到最高處時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若該拋物線與線段EF只有一個(gè)交點(diǎn)，求該拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．四．全等三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）5．（2023?廣州）如圖，B是AD的中點(diǎn)，BC∥DE，BC＝DE．求證：∠C＝∠E．五．四邊形綜合題（共3小題）6．（2023?廣州）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合）．邊BC關(guān)于BE對(duì)稱的線段為BF，連接AF．（1）若∠ABE＝15°，求證：△ABF是等邊三角形；（2）延長FA，交射線BE于點(diǎn)G．①△BGF能否為等腰三角形？如果能，求此時(shí)∠ABE的度數(shù)；如果不能，請(qǐng)說明理由；②若，求△BGF面積的最大值，并求此時(shí)AE的長．7．（2022?廣州）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，連接BD．（1）求BD的長；（2）點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)F在邊AD上，且BE＝DF．①當(dāng)CE⊥AB時(shí)，求四邊形ABEF的面積；②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，請(qǐng)說明理由．8．（2021?廣州）如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，點(diǎn)E為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長BA到點(diǎn)F，使AF＝AE，且CF、DE相交于點(diǎn)G．（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形DFEC是平行四邊形；（2）當(dāng)CG＝2時(shí)，求AE的長；（3）當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A開始向右運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長度．六．圓的綜合題（共2小題）9．（2023?廣州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，2），所在圓的圓心為O．將向右平移5個(gè)單位，得到（點(diǎn)A平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C）．（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)是，所在圓的圓心坐標(biāo)是；（2）在圖中畫出，并連接AC，BD；（3）求由，BD，，CA首尾依次相接所圍成的封閉圖形的周長．（結(jié)果保留π）10．（2021?廣州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y＝x+4分別與x軸，y軸相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（x，y）為直線l在第二象限的點(diǎn)．（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)△PAO的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；（3）作△PAO的外接圓⊙C，延長PC交⊙C于點(diǎn)Q，當(dāng)△POQ的面積最小時(shí)，求⊙C的半徑．七．作圖—基本作圖（共1小題）11．（2021?廣州）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，且AC＝AD．（1）尺規(guī)作圖：作∠CAD的平分線AF，交CD于點(diǎn)F，連結(jié)EF、BF（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖中，若∠BAD＝45°，且∠CAD＝2∠BAC，證明：△BEF為等邊三角形．八．相似形綜合題（共1小題）12．（2023?廣州）如圖，AC是菱形ABCD的對(duì)角線．（1）尺規(guī)作圖：將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖中，連接BD，CE．①求證：△ABD∽△ACE；②若tan∠BAC＝，求cos∠DCE的值．九．解直角三角形（共1小題）13．（2022?廣州）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．（1）尺規(guī)作圖：過點(diǎn)O作AC的垂線，交劣弧于點(diǎn)D，連接CD（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖形中，求點(diǎn)O到AC的距離及sin∠ACD的值．一十．解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題（共1小題）14．（2022?廣州）某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組利用太陽光線下物體的影子和標(biāo)桿測(cè)量旗桿的高度．如圖，在某一時(shí)刻，旗桿AB的影子為BC，與此同時(shí)在C處立一根標(biāo)桿CD，標(biāo)桿CD的影子為CE，CD＝1.6m，BC＝5CD．（1）求BC的長；（2）從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求旗桿AB的高度．條件①：CE＝1.0m；條件②：從D處看旗桿頂部A的仰角α為54.46°．注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．參考數(shù)據(jù)：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．一十一．頻數(shù)（率）分布直方圖（共1小題）15．（2022?廣州）某校在九年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取了若干名學(xué)生參加“平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間”的調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖．頻數(shù)分布表運(yùn)動(dòng)時(shí)間t/min頻數(shù)頻率30≤t＜6040.160≤t＜9070.17590≤t＜120a0.35120≤t＜15090.225150≤t＜1806b合計(jì)n1請(qǐng)根據(jù)圖表中的信息解答下列問題：（1）頻數(shù)分布表中的a＝，b＝，n＝；（2）請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（3）若該校九年級(jí)共有480名學(xué)生，試估計(jì)該校九年級(jí)學(xué)生平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不低于120min的學(xué)生人數(shù)．

廣東省廣州市20212023三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編03解答題（提升題）知識(shí)點(diǎn)分類參考答案與試題解析一．一次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）1．（2023?廣州）因活動(dòng)需要購買某種水果，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)通過市場(chǎng)調(diào)查得知：在甲商店購買該水果的費(fèi)用y1（元）與該水果的質(zhì)量x（千克）之間的關(guān)系如圖所示；在乙商店購買該水果的費(fèi)用y2（元）與該水果的質(zhì)量x（千克）之間的函數(shù)解析式為y2＝10x（x≥0）．（1）求y1與x之間的函數(shù)解析式；（2）現(xiàn)計(jì)劃用600元購買該水果，選甲、乙哪家商店能購買該水果更多一些？【答案】（1）y1與x之間的函數(shù)解析式為y1＝；（2）在甲商店購買更多一些．【解答】解：（1）當(dāng)0≤x≤5時(shí)，設(shè)y1與x之間的函數(shù)解析式為y1＝kx（k≠0），把（5，75）代入解析式得：5k＝75，解得k＝15，∴y1＝15x；當(dāng)x＞5時(shí)，設(shè)y1與x之間的函數(shù)解析式為y1＝mx+n（m≠0），把（5，75）和（10，120）代入解析式得，解得，∴y1＝9x+30，綜上所述，y1與x之間的函數(shù)解析式為y1＝；（2）在甲商店購買：9x+30＝600，解得x＝63，∴在甲商店600元可以購買63千克水果；在乙商店購買：10x＝600，解得x＝60，∴在乙商店600元可以購買60千克，∵63＞60，∴在甲商店購買更多一些．二．反比例函數(shù)綜合題（共1小題）2．（2023?廣州）已知點(diǎn)P（m，n）在函數(shù)y＝﹣（x＜0）的圖象上．（1）若m＝﹣2，求n的值；（2）拋物線y＝（x﹣m）（x﹣n）與x軸交于兩點(diǎn)M，N（M在N的左邊），與y軸交于點(diǎn)G，記拋物線的頂點(diǎn)為E．①m為何值時(shí)，點(diǎn)E到達(dá)最高處；②設(shè)△GMN的外接圓圓心為C，⊙C與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為F，當(dāng)m+n≠0時(shí)，是否存在四邊形FGEC為平行四邊形？若存在，求此時(shí)頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）1；（2）①m＝﹣；②假設(shè)存在，E（﹣，﹣），或（，﹣）．【解答】解：（1）把m＝﹣2代入y＝﹣（x＜0）得n＝﹣＝1；故n的值為1；（2）①在y＝（x﹣m）（x﹣n）中，令y＝0，則（x﹣m）（x﹣n）＝0，解得x＝m或x＝n，∴M（m，0），N（n，0），∵點(diǎn)P（m，n）在函數(shù)y＝﹣（x＜0）的圖象上，∴mn＝﹣2，令x＝，得y＝（x﹣m）（x﹣n）＝﹣（m﹣n）2＝﹣2﹣（m+n）2≤﹣2，即當(dāng)m+n＝0，且mn＝﹣2，則m2＝2，解得：m＝﹣（正值已舍去），即m＝﹣時(shí)，點(diǎn)E到達(dá)最高處；②假設(shè)存在，理由：對(duì)于y＝（x﹣m）（x﹣n），當(dāng)x＝0時(shí)，y＝mn＝﹣2，即點(diǎn)G（0，﹣2），由①得M（m，0），N（n，0），G（0，﹣2），E（，﹣（m﹣n）2），對(duì)稱軸為直線x＝，由點(diǎn)M（m，0）、G（0，﹣2）的坐標(biāo)知，tan∠OMG＝＝，作MG的中垂線交MG于點(diǎn)T，交y軸于點(diǎn)S，交x軸于點(diǎn)K，則點(diǎn)T（m，﹣1），則tan∠MKT＝﹣m，則直線TS的表達(dá)式為：y＝﹣m（x﹣m）﹣1．當(dāng)x＝時(shí)，y＝﹣m（x﹣m）﹣1＝﹣，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（，﹣）．由垂徑定理知，點(diǎn)C在FG的中垂線上，則FG＝2（yC﹣yG）＝2×（﹣+2）＝3．∵四邊形FGEC為平行四邊形，則CE＝FG＝3＝y(tǒng)C﹣yE＝﹣﹣yE，解得：yE＝﹣，即﹣（m﹣n）2＝﹣，且mn＝﹣2，則m+n＝，∴E（﹣，﹣），或（，﹣）．三．二次函數(shù)綜合題（共2小題）3．（2022?廣州）已知直線l：y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)（0，7）和點(diǎn)（1，6）．（1）求直線l的解析式；（2）若點(diǎn)P（m，n）在直線l上，以P為頂點(diǎn)的拋物線G過點(diǎn)（0，﹣3），且開口向下．①求m的取值范圍；②設(shè)拋物線G與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，當(dāng)點(diǎn)Q向左平移1個(gè)單位長度后得到的點(diǎn)Q′也在G上時(shí)，求G在≤x≤+1的圖象的最高點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝﹣x+7；（2）①m＜10且m≠0；②（﹣2，9）或（2，5）．【解答】解：（1）將點(diǎn)（0，7）和點(diǎn)（1，6）代入y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+7；（2）①∵點(diǎn)P（m，n）在直線l上，∴n＝﹣m+7，設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣m）2+7﹣m，∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣3），∴am2+7﹣m＝﹣3，∴a＝，∵拋物線開口向下，∴a＜0，∴a＝＜0，∴m＜10且m≠0；②∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝m，∴Q點(diǎn)與Q'關(guān)于x＝m對(duì)稱，∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m+，聯(lián)立方程組，整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，∵P點(diǎn)和Q點(diǎn)是直線l與拋物線G的交點(diǎn)，∴m+m+＝2m﹣，∴a＝﹣2，∴y＝﹣2（x﹣m）2+7﹣m，∴﹣2m2+7﹣m＝﹣3，解得m＝2或m＝﹣，當(dāng)m＝2時(shí)，y＝﹣2（x﹣2）2+5，此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，圖象在≤x≤上的最高點(diǎn)坐標(biāo)為（2，5）；當(dāng)m＝﹣時(shí)，y＝﹣2（x+）2+，此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣，圖象在﹣2≤x≤﹣1上的最高點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，9）；綜上所述：G在≤x≤+1的圖象的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，9）或（2，5）．4．（2021?廣州）已知拋物線y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．（1）當(dāng)m＝0時(shí)，請(qǐng)判斷點(diǎn)（2，4）是否在該拋物線上；（2）該拋物線的頂點(diǎn)隨著m的變化而移動(dòng)，當(dāng)頂點(diǎn)移動(dòng)到最高處時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若該拋物線與線段EF只有一個(gè)交點(diǎn)，求該拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】（1）點(diǎn)（2，4）不在拋物線上；（2）（2，5）；（3）x頂點(diǎn)＜﹣或x頂點(diǎn)＞或x頂點(diǎn)＝1．【解答】解：（1）當(dāng)m＝0時(shí)，拋物線為y＝x2﹣x+3，將x＝2代入得y＝4﹣2+3＝5，∴點(diǎn)（2，4）不在拋物線上；（2）拋物線y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的頂點(diǎn)為（，），化簡得（，），頂點(diǎn)移動(dòng)到最高處，即是頂點(diǎn)縱坐標(biāo)最大，而＝﹣（m﹣3）2+5，∴m＝3時(shí)，縱坐標(biāo)最大，即是頂點(diǎn)移動(dòng)到了最高處，此時(shí)該拋物線解析式為y＝x2﹣4x+9，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，5）；（3）設(shè)直線EF解析式為y＝kx+b，將E（﹣1，﹣1）、F（3，7）代入得：，解得，∴直線EF的解析式為y＝2x+1，由得：或，∴直線y＝2x+1與拋物線y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交點(diǎn)為：（2，5）和（m+1，2m+3），而（2，5）在線段EF上，∴若該拋物線與線段EF只有一個(gè)交點(diǎn)，則（m+1，2m+3）不在線段EF上，或（2，5）與（m+1，2m+3）重合，∴m+1＜﹣1或m+1＞3或m+1＝2（此時(shí)2m+3＝5），∴此時(shí)拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x頂點(diǎn)＝＜﹣或x頂點(diǎn)＝＞或x頂點(diǎn)＝＝＝1．四．全等三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）5．（2023?廣州）如圖，B是AD的中點(diǎn)，BC∥DE，BC＝DE．求證：∠C＝∠E．【答案】證明見解析．【解答】證明：∵B是AD的中點(diǎn)，∴AB＝BD，∵BC∥DE，∴∠ABC＝∠D，在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（SAS），∴∠C＝∠E．五．四邊形綜合題（共3小題）6．（2023?廣州）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合）．邊BC關(guān)于BE對(duì)稱的線段為BF，連接AF．（1）若∠ABE＝15°，求證：△ABF是等邊三角形；（2）延長FA，交射線BE于點(diǎn)G．①△BGF能否為等腰三角形？如果能，求此時(shí)∠ABE的度數(shù)；如果不能，請(qǐng)說明理由；②若，求△BGF面積的最大值，并求此時(shí)AE的長．【答案】（1）見解析；（2）①22.5°；②；．【解答】（1）證明：由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到BF＝BC，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∵∠ABE＝15°，∴∠CBE＝75°，∵BC關(guān)于BE對(duì)稱的線段為BF，∴∠FBE＝∠CBE＝75°，∴∠ABF＝∠FBE﹣∠ABE＝60°，∴△ABF是等邊三角形；（2）解：①能，∵邊BC關(guān)于BE對(duì)稱的線段為BF，∴BC＝BF，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝AB，∴BF＝BC＝BA，∵E是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，∴BA＜BE＜BG，∴點(diǎn)B不可能是等腰三角形BGF的頂點(diǎn)，若點(diǎn)F是等腰三角形BGF的頂點(diǎn)，則有∠FGB＝∠FBG＝∠CBG，此時(shí)E與D重合，不合題意，∴只剩下GF＝GB了，連接CG交AD于H，∵BC＝BF，∠CBG＝∠FBG，BG＝BG，∴△CBG≌△FBG（SAS），∴FG＝CG，∴BG＝CG，∴△BGF為等腰三角形，∵BA＝BC＝BF，∴∠BFA＝∠BAF，∵△CBG≌△FBG，∴∠BFG＝∠BCG，∵AD∥BC，∴∠AHG＝∠BCG，∴∠BAF+∠HAG＝∠AHG+∠HAG＝180°﹣∠BAD＝90°，∴∠FGC＝180°﹣∠HAG﹣∠AHG＝90°，∴∠BGF＝∠BGC＝＝45°，∵GB＝GC，∴∠GBC＝∠GCB＝（180°﹣∠BGC）＝67.5°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠GBC＝90°﹣67.5°＝22.5°；②由①知，△CBG≌△FBG，要求△BGF面積的最大值，即求△BGC面積的最大值，在△GBC中，底邊BC是定值，即求高的最大值即可，如圖2，過G作GP⊥BC于P，連接AC，取AC的中點(diǎn)M，連接GM，作MN⊥BC于N，設(shè)AB＝2x，則AC＝2x，由①知∠AGC＝90°，M是AC的中點(diǎn)，∴GM＝＝x，MN＝＝x，∴PG≤GM+MN＝（）x，當(dāng)G，M，N三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)，∴△BGF面積的最大值＝＝（1）×＝；如圖3，設(shè)PG與AD交于Q，則四邊形ABPQ是矩形，∴AQ＝PB＝x，PQ＝AB＝2x，∴QM＝MP＝x，GM＝x，∴，∵QE+AE＝AQ＝x，∴，∴＝2（）x＝2（×（）＝．7．（2022?廣州）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，連接BD．（1）求BD的長；（2）點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)F在邊AD上，且BE＝DF．①當(dāng)CE⊥AB時(shí)，求四邊形ABEF的面積；②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+CF的值是否也最?。咳绻?，求CE+CF的最小值；如果不是，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）6（2）①7；②是，最小值為12．【解答】解：（1）過點(diǎn)D作DH⊥AB交BA的延長線于H，如圖：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝6，∵∠BAD＝120°，∴∠DAH＝60°，在Rt△ADH中，DH＝AD?sin∠DAH＝6×＝3，AH＝AD?cos∠DAH＝6×＝3，∴BD＝＝＝6；（2）①設(shè)CE⊥AB交AB于M點(diǎn)，過點(diǎn)F作FN⊥AB交BA的延長線于N，如圖：菱形ABCD中，∵AB＝BC＝CD＝AD＝6，AD∥BC，∠BAD＝120°，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°，在Rt△BCM中，BM＝BC?cos∠ABC＝6×＝3，∵BD是菱形ABCD的對(duì)角線，∴∠DBA＝ABC＝30°，在Rt△BEM中，ME＝BM?tan∠DBM＝3×＝，BE＝＝＝2，∵BE＝DF，∴DF＝2，∴AF＝AD﹣DF＝4，在Rt△AFN中，∠FAN＝180°﹣∠BAD＝60°，∴FN＝AF?sin∠FAN＝4×＝2，AN＝AF?cos∠FAN＝4×＝2，∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+2﹣3＝5，∴S四邊形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN＝EM?BM+（EM+FN）?MN﹣AN?FN＝3+（+2）×5﹣2×2＝+﹣2＝7；②當(dāng)四邊形ABEF的面積取最小值時(shí)，CE+CF的值是最小，理由：設(shè)DF＝x，則BE＝DF＝x，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FG⊥CH于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EY⊥CH于點(diǎn)Y，作EM⊥AB于M點(diǎn)，過點(diǎn)F作FN⊥AB交BA的延長線于N，如圖：∴EY∥FG∥AB，F(xiàn)N∥CH，∴四邊形EMHY、FNHG是矩形，∴FN＝GH，F(xiàn)G＝NH，EY＝MH，EM＝Y(jié)H，由①可知：ME＝BE＝x，BM＝BE＝x，AN＝AF＝（AD﹣DF）＝3﹣x，F(xiàn)N＝AF＝，CH＝BC＝3，BH＝BC＝3，∴AM＝AB﹣BM＝6﹣x，AH＝AB﹣BH＝3，YH＝ME＝x，GH＝FN＝，EY＝MH＝BM﹣BH＝x﹣3，∴CY＝CH﹣YH＝3﹣x，F(xiàn)G＝NH＝AN+AH＝6﹣，CG＝CH﹣GH＝3﹣＝x，∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+3﹣x﹣x＝9﹣2x，∴S四邊形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN＝EM?BM+（EM+FN）?MN﹣AN?FN＝x×x+（x+）?（9﹣2x）﹣（3﹣x）?＝x2﹣x+9＝（x﹣3）2+，∵＞0，∴當(dāng)x＝3時(shí)，四邊形ABEF的面積取得最小值，方法一：CE+CF＝+?＝+＝+×＝+×＝+，∵（x﹣3）2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時(shí)，（x﹣3）2＝0，∴CE+CF＝+≥12，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時(shí)，CE+CF＝12，即當(dāng)x＝3時(shí)，CE+CF的最小值為12，∴當(dāng)四邊形ABEF的面積取最小值時(shí)，CE+CF的值也最小，最小值為12．方法二：如圖：將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△BAG，連接CG，在Rt△BCG中，CG＝2BC＝12，∵＝＝，∠CDF＝∠GBE＝60°，∴△BEG∽△DFC，∴＝＝，即GE＝CF，∴CE+CF＝CE+GE≥CG＝12，即當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C、E、G三點(diǎn)共線時(shí)，CE+CF的值最小，此時(shí)點(diǎn)E為菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，BD中點(diǎn)，BE＝3，DF＝3，∴當(dāng)四邊形ABEF的面積取最小值時(shí)，CE+CF的值也最小，最小值為12．解法二：如圖，在BD上截取DM，使得DM＝2，在DA上取點(diǎn)F，連接DF，使得△DFM∽△BEC．則有CE＝FM，作點(diǎn)M關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)M′，∴CE+CF＝FM+CF＝（CF+FM）＝（CF+FM′），∴C，F(xiàn)，M′共線時(shí)，最小，此時(shí)DF＝3，可得CE+CF的值也最小，最小值為12．8．（2021?廣州）如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，點(diǎn)E為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長BA到點(diǎn)F，使AF＝AE，且CF、DE相交于點(diǎn)G．（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形DFEC是平行四邊形；（2）當(dāng)CG＝2時(shí)，求AE的長；（3）當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A開始向右運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長度．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）證明：連接DF，CE，如圖所示：，∵E為AB中點(diǎn)，∴AE＝AF＝AB，∴EF＝AB＝CD，∵四邊形ABCD是菱形，∴EF∥CD，∴四邊形DFEC是平行四邊形．（2）作CH⊥BH，設(shè)AE＝FA＝m，如圖所示，，∵四邊形ABCD是菱形，∴CD∥EF，∴△CDG∽△FEG，∴，∴FG＝2m，在Rt△CBH中，∠CBH＝60°，BC＝2，sin60°＝，CH＝，cos60°＝，BH＝1，在Rt△CFH中，CF＝2+2m，CH＝，F(xiàn)H＝3+m，CF2＝CH2+FH2，即（2+2m）2＝（）2+（3+m）2，整理得：3m2+2m﹣8＝0，解得：m1＝，m2＝﹣2（舍去），∴．（3）G點(diǎn)軌跡為線段AG，證明：如圖，（此圖僅作為證明AG軌跡用），延長線段AG交CD于H，作HM⊥AB于M，作DN⊥AB于N，∵四邊形ABCD是菱形，∴BF∥CD，∴△DHG∽△EGA，△HGC∽△AGF，∴，，∴，∵AE＝AF，∴DH＝CH＝1，在Rt△ADN中，AD＝2，∠DAB＝60°．∴sin60°＝，DN＝．cos60°＝，AN＝1，在Rt△AHM中，HM＝DN＝，AM＝AN+NM＝AN+DH＝2，tan∠HAM＝，G點(diǎn)軌跡為線段AG．∴G點(diǎn)軌跡是線段AG．如圖所示，作GH⊥AB，∵四邊形ABCD為菱形，∠DAB＝60°，AB＝2，∴CD∥BF，BD＝2，∴△CDG∽△FBG，∴，即BG＝2DG，∵BG+DG＝BD＝2，∴BG＝，在Rt△GHB中，BG＝，∠DBA＝60°，sin60°＝，GH＝，cos60°＝，BH＝，在Rt△AHG中，AH＝2﹣＝，GH＝，AG2＝（）2+（）2＝，∴AG＝．∴G點(diǎn)路徑長度為．解法二：如圖，連接AG，延長AG交CD于點(diǎn)W．∵CD∥BF，∴＝，＝，∴＝，∵AF＝AE，∴DW＝CW，∴點(diǎn)G在AW上運(yùn)動(dòng)．下面的解法同上．六．圓的綜合題（共2小題）9．（2023?廣州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，2），所在圓的圓心為O．將向右平移5個(gè)單位，得到（點(diǎn)A平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C）．（1）點(diǎn)D的坐標(biāo)是（5，2），所在圓的圓心坐標(biāo)是（5，0）；（2）在圖中畫出，并連接AC，BD；（3）求由，BD，，CA首尾依次相接所圍成的封閉圖形的周長．（結(jié)果保留π）【答案】（1）（5，2）、（5，0）；（2）見解答；（3）2π+10．【解答】解：（1）如下圖，由平移的性質(zhì)知，點(diǎn)D（5，2），所在圓的圓心坐標(biāo)是（5，0），故答案為：（5，2）、（5，0）；（2）在圖中畫出，并連接AC，BD，見下圖；（3）和長度相等，均為×2πr＝×2＝π，而BD＝AC＝5，則封閉圖形的周長＝++2BD＝2π+10．10．（2021?廣州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y＝x+4分別與x軸，y軸相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（x，y）為直線l在第二象限的點(diǎn)．（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)△PAO的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；（3）作△PAO的外接圓⊙C，延長PC交⊙C于點(diǎn)Q，當(dāng)△POQ的面積最小時(shí)，求⊙C的半徑．【答案】（1）A（﹣8，0），B（0，4）；（2）S＝2x+16（﹣8＜x＜0）；（3）4．【解答】解：（1）∵直線y＝x+4分別與x軸，y軸相交于A、B兩點(diǎn)，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣8，∴A（﹣8，0），B（0，4）；（2）∵點(diǎn)P（x，y）為直線l在第二象限的點(diǎn)，∴P（x，），∴S△APO＝＝2x+16（﹣8＜x＜0）；∴S＝2x+16（﹣8＜x＜0）；（3）∵A（﹣8，0），B（0，4），∴OA＝8，OB＝4，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝，在⊙C中，∵PQ是直徑，∴∠POQ＝90°，∵∠BAO＝∠Q，∴tanQ＝tan∠BAO＝，∴，∴OQ＝2OP，∴S△POQ＝，∴當(dāng)S△POQ最小時(shí)，則OP最小，∵點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)OP⊥AB時(shí)，OP最小，∴S△AOB＝，∴，∵sinQ＝sin∠BAO，∴，∴，∴PQ＝8，∴⊙C半徑為4．七．作圖—基本作圖（共1小題）11．（2021?廣州）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，且AC＝AD．（1）尺規(guī)作圖：作∠CAD的平分線AF，交CD于點(diǎn)F，連結(jié)EF、BF（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖中，若∠BAD＝45°，且∠CAD＝2∠BAC，證明：△BEF為等邊三角形．【答案】（1）作圖見解析部分．（2）證明見解析部分．【解答】（1）解：如圖，圖形如圖所示．（2）證明：∵AC＝AD，AF平分∠CAD，∴∠CAF＝∠DAF，AF⊥CD，∵∠CAD＝2∠BAC，∠BAD＝45°，∴∠BAE＝∠EAF＝∠FAD＝15°，∵∠ABC＝∠AFC＝90°，AE＝EC，∴BE＝AE＝EC，EF＝AE＝EC，∴EB＝EF，∠EAB＝∠EBA＝15°，∠EAF＝∠EFA＝15°，∴∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝30°，∠CEF＝∠EAF+∠EFA＝30°，∴∠BEF＝60°，∴△BEF是等邊三角形．八．相似形綜合題（共1小題）12．（2023?廣州）如圖，AC是菱形ABCD的對(duì)角線．（1）尺規(guī)作圖：將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖中，連接BD，CE．①求證：△ABD∽△ACE；②若tan∠BAC＝，求cos∠DCE的值．【答案】（1）作法、證明見解答；（2）①證明見解答；②cos∠DCE的值是．【解答】解：（1）如圖1，作法：1．以點(diǎn)D為圓心，BC長為半徑作弧，2．以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)E，3．連接DE、AE，△ADE就是所求的圖形．證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵DE＝BC，AE＝AC，∴△ADE≌△ABC（SSS），∴△ADE就是△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖形．（2）①如圖2，由旋轉(zhuǎn)得AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴＝，∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．②如圖2，延長AD交CE于點(diǎn)F，∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DAC，∵AE＝AC，∴AD⊥CE，∴∠CFD＝90°，設(shè)CF＝m，CD＝AD＝x，∵＝tan∠DAC＝tan∠BAC＝，∴AF＝3CF＝3m，∴DF＝3m﹣x，∵CF2+DF2＝CD2，∴m2+（3m﹣x）2＝x2，∴解關(guān)于x的方程得x＝m，∴CD＝m，∴cos∠DCE＝＝＝，∴cos∠DCE的值是．九．解直角三角形（共1小題）13．（2022?廣州）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．（1）尺規(guī)作圖：過點(diǎn)O作AC的垂線，交劣弧于點(diǎn)D，連接CD（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖形中，求點(diǎn)O到AC的距離及sin∠ACD的值．【答案】（1）詳見解答；（2）點(diǎn)O到AC的距離為4，sin∠ACD＝．【解答】