理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高考幫試題第8章第3講直線平面平行的判定及性質(zhì)（考題幫數(shù)學(xué)理）

第三講直線、平面平行的判定及性質(zhì)題組直線、平面平行的判定與性質(zhì)1.[2013廣東,8,5分]設(shè)l為直線,α,β是兩個(gè)不同的平面.下列命題中正確的是()A.若l∥α,l∥β,則α∥β B.若l⊥α,l⊥β,則α∥βC.若l⊥α,l∥β,則α∥β D.若α⊥β,l∥α,則l⊥β2.[2017江蘇,15,14分][理]如圖831,在三棱錐ABCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點(diǎn)E,F(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求證:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.圖8313.[2017浙江,19,15分]如圖832,已知四棱錐PABCD,△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點(diǎn).(Ⅰ)證明:CE∥平面PAB;(Ⅱ)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.圖8324.[2014新課標(biāo)全國Ⅱ,18,12分][理]如圖833,四棱錐PABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).(Ⅰ)證明:PB∥平面AEC;(Ⅱ)設(shè)二面角DAEC為60°,AP=1,AD=3,求三棱錐EACD的體積.圖833A組基礎(chǔ)題1.[2017湘中名校高三聯(lián)考,3]已知m,n是兩條不同的直線,α,β,γ是三個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是()A.若m∥α,n∥α,則m∥n B.若m∥α,m∥β,則α∥βC.若α⊥γ,β⊥γ,則α∥β D.若m⊥α,n⊥α,則m∥n2.[2017鄭州市高三第一次質(zhì)量預(yù)測(cè),9]如圖834,直三棱柱ABCA'B'C'中,△ABC是邊長為2的等邊三角形,AA'=4,點(diǎn)E,F,G,H,M分別是邊AA',AB,BB',A'B',BC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在四邊形EFGH內(nèi)部運(yùn)動(dòng),并且始終有MP∥平面ACC'A',則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長度為()圖834A.2 B.2π C.23 D.43.[2018惠州市二調(diào),19]如圖835,在多面體ABCDM中,△BCD是等邊三角形,△CMD是等腰直角三角形,∠CMD=90°,平面CMD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,點(diǎn)O為CD的中點(diǎn).圖835(1)求證:OM∥平面ABD;(2)若AB=BC=2,求三棱錐MABD的體積.4.[2018遼寧五校聯(lián)考,18]如圖836,在四棱錐EABCD中,底面ABCD為直角梯形,其中CD∥AB,BC⊥AB,側(cè)面ABE⊥平面ABCD,且AB=AE=BE=2BC=2CD=2,動(dòng)點(diǎn)F在棱AE上,且EF=λFA.圖836(1)試探究λ的值,使CE∥平面BDF,并給予證明;(2)當(dāng)λ=1時(shí),求直線CE與平面BDF所成角的正弦值.B組提升題5.[2018南昌市調(diào)考,19]如圖837,在四棱錐PABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1.設(shè)M,N分別為PD,AD的中點(diǎn).圖837(1)求證:平面CMN∥平面PAB;(2)求二面角NPCA的平面角的余弦值.6.[2017武漢市五月模擬,18]如圖838,四棱錐PABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB與△PAD都是邊長為2的等邊三角形,E是BC的中點(diǎn).圖838(1)求證:AE∥平面PCD;(2)記平面PAB與平面PCD的交線為l,求二面角ClB的余弦值.7.[2017寧夏銀川市、吳忠市3月聯(lián)考,19]如圖839,已知在等腰梯形ABCD中,AE⊥CD,BF⊥CD,AB=1,AD=2,∠ADE=60°,沿AE,BF折成三棱柱AEDBFC.圖839(1)若M,N分別為AE,BC的中點(diǎn),求證:MN∥平面CDEF;(2)若BD=5,求二面角EACF的余弦值.答案1.B畫出一個(gè)長方體ABCDA1B1C1D1.對(duì)于選項(xiàng)A,C1D1∥平面ABB1A1,C1D1∥平面ABCD,但平面ABB1A1與平面ABCD相交,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,BB1⊥平面ABCD,BB1∥平面ADD1A1,但平面ABCD與平面ADD1A1相交,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,平面ABB1A1⊥平面ABCD,CD∥平面ABB1A1,但CD?平面ABCD,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.選B.2.(1)在平面ABD內(nèi),因?yàn)锳B⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB.又因?yàn)镋F?平面ABC,AB?平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BC?平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD.因?yàn)锳D?平面ABD,所以BC⊥AD.又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB?平面ABC,BC?平面ABC,所以AD⊥平面ABC.又因?yàn)锳C?平面ABC,所以AD⊥AC.3.(Ⅰ)如圖D834,圖D834設(shè)PA中點(diǎn)為F,連接EF,FB.因?yàn)镋,F分別為PD,PA中點(diǎn),所以EF∥AD且EF=12AD,又因?yàn)锽C∥AD,BC=12所以EF∥BC且EF=BC,即四邊形BCEF為平行四邊形,所以CE∥BF,又CE?平面PAB,BF?平面PAB,因此CE∥平面PAB.(Ⅱ)分別取BC,AD的中點(diǎn)為M,N.連接PN交EF于點(diǎn)Q,連接MQ.因?yàn)镋,F,N分別是PD,PA,AD的中點(diǎn),所以Q為EF中點(diǎn),在平行四邊形BCEF中,MQ∥CE.由△PAD為等腰直角三角形得PN⊥AD.由DC⊥AD,N是AD的中點(diǎn)得BN⊥AD.因?yàn)镻N∩BN=N,PN,BN?平面PBN,所以AD⊥平面PBN,由BC∥AD得BC⊥平面PBN,那么平面PBC⊥平面PBN.過點(diǎn)Q作PB的垂線,垂足為H,連接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影,所以∠QMH是直線CE與平面PBC所成的角.設(shè)CD=1.在△PCD中,由PC=2,CD=1,PD=2得CE=2,在△PBN中,由PN=BN=1,PB=3得QH=14在Rt△MQH中,QH=14,MQ=2所以sin∠QMH=28所以直線CE與平面PBC所成角的正弦值是284.(Ⅰ)連接BD交AC于點(diǎn)O,連接EO,如圖D835所示.因?yàn)锳BCD為矩形,所以O(shè)為BD的中點(diǎn).又E為PD的中點(diǎn),所以EO∥PB.因?yàn)镋O?平面AEC,PB?平面AEC,所以PB∥平面AEC.(Ⅱ)因?yàn)镻A⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為矩形,所以AB,AD,AP兩兩垂直.如圖D835,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB的方向?yàn)閤軸的正方向,|AP|為單位長度,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則D(0,3,0),E(0,32,12),AE=(0,32,圖D835設(shè)B(m,0,0)(m>0),則C(m,3,0),AC=(m,3,0).設(shè)n1=(x,y,z)為平面ACE的法向量,則n1·可取n1=(3m,1,3)又n2=(1,0,0)為平面DAE的一個(gè)法向量,由題設(shè)知|cos<n1,n2>|=12,即33+4m2=1因?yàn)镋為PD的中點(diǎn),所以三棱錐EACD的高為12所以三棱錐EACD的體積V=13×12×3×32×1A組基礎(chǔ)題1.D選項(xiàng)A中,兩直線可能平行,相交或異面,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;選項(xiàng)B中,兩平面可能平行或相交,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;選項(xiàng)C中,兩平面可能平行或相交,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;選項(xiàng)D中,由線面垂直的性質(zhì)定理可知結(jié)論正確.選D.2.D連接MF,FH,MH,因?yàn)镸,F,H分別為BC,AB,A'B'的中點(diǎn),所以MF∥平面AA'C'C,FH∥平面AA'C'C,所以平面MFH∥平面AA'C'C,所以M與線段FH上任意一點(diǎn)的連線都平行于平面AA'C'C,所以點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段FH,其長度為4,故選D.3.(1)∵△CMD是等腰直角三角形,∠CMD=90°,點(diǎn)O為CD的中點(diǎn),∴OM⊥CD.∵平面CMD⊥平面BCD,平面CMD∩平面BCD=CD,OM?平面CMD,∴OM⊥平面BCD.∵AB⊥平面BCD,∴OM∥AB.∵AB?平面ABD,OM?平面ABD,∴OM∥平面ABD.(2)解法一由(1)知OM∥平面ABD,∴點(diǎn)M到平面ABD的距離等于點(diǎn)O到平面ABD的距離.∵AB=BC=2,△BCD是等邊三角形,點(diǎn)O為CD的中點(diǎn),連接BO,如圖D836,圖D836∴S△BOD=12S△BCD=12×12×BC×CD×sin60°=12×12×2×2×3連接AO,則VMABD=VOABD=VABOD=13S△BOD×AB=13×32×2故三棱錐MABD的體積為33解法二由(1)知OM∥平面ABD,∴點(diǎn)M到平面ABD的距離等于點(diǎn)O到平面ABD的距離.如圖D837,過O作OH⊥BD,垂足為點(diǎn)H,圖D837∵AB⊥平面BCD,OH?平面BCD,∴OH⊥AB.∵AB?平面ABD,BD?平面ABD,AB∩BD=B,∴OH⊥平面ABD.∵AB=BC=2,△BCD是等邊三角形,∴BD=2,OD=1,OH=OD·sin60°=32∴V三棱錐MABD=13×12×AB×BD×OH=13×12×2×2×∴三棱錐MABD的體積為334.(1)當(dāng)λ=12時(shí),CE∥平面BDF.連接AC交BD于點(diǎn)G,連接GF,∵CD∥AB,AB=2CD,∴CGGA=CDAB=∵EF=12FA,∴EFFA=CGGA=12,∴又CE?平面BDF,GF?平面BDF,∴CE∥平面BDF.(2)取AB的中點(diǎn)O,連接EO,則EO⊥AB,∵平面ABE⊥平面ABCD,平面ABE∩平面ABCD=AB,且EO⊥AB,∴EO⊥平面ABCD,連接DO,∵BO∥CD,且BO=CD=1,∴四邊形BODC為平行四邊形,∴BC∥DO,又BC⊥AB,∴AB⊥OD,則OD,OA,OE兩兩垂直,以O(shè)D,OA,OE所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則O(0,0,0),A(0,1,0),B(0,1,0),D(1,0,0),C(1,1,0),E(0,0,3).當(dāng)λ=1時(shí),有EF=FA,∴F(0,12,3∴BD=(1,1,0),CE=(1,1,3),BF=(0,32,32設(shè)平面BDF的法向量為n=(x,y,z),則有n·BD=0,n·BF=0,即x+y=0,32y設(shè)直線CE與平面BDF所成的角為θ,則sinθ=|cos<CE,n>|=15故直線CE與平面BDF所成角的正弦值為15B組提升題5.(1)∵M(jìn),N分別為PD,AD的中點(diǎn),∴MN∥PA.又MN?平面PAB,PA?平面PAB,∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中,∠CAD=60°,CN=AN,∴∠ACN=60°.又∠BAC=60°,∴CN∥AB.∵CN?平面PAB,AB?平面PAB,∴CN∥平面PAB.又CN∩MN=N,∴平面CMN∥平面PAB.(2)∵PA⊥平面ABCD,∴平面PAC⊥平面ACD,又DC⊥AC,平面PAC∩平面ACD=AC,∴DC⊥平面PAC.如圖D838,以點(diǎn)A為原點(diǎn),AC所在直線為x軸,AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,圖D838∴A(0,0,0),C(2,0,0),P(0,0,2),D(2,23,0),N(1,3,0),∴CN=(1,3,0),PN=(1,3,2),設(shè)n=(x,y,z)是平面PCN的法向量,則n即-x+3y=0,x+又平面PAC的一個(gè)法向量為CD=(0,23,0),∴cos<CD,n>=CD·n|CD||由圖可知,二面角NPCA的平面角為銳角,∴二面角NPCA的平面角的余弦值為776.(1)因?yàn)椤螦BC=∠BAD=90°,BC=2AD,E是BC的中點(diǎn),所以AD∥CE,且AD=CE,所以四邊形ADCE是平行四邊形,所以AE∥CD.因?yàn)锳E?平面PCD,CD?平面PCD,所以AE∥平面PCD.連接DE,BD,設(shè)AE交BD于點(diǎn)O,連接PO,如圖D839所示,圖D839則四邊形ABED是正方形,所以AE⊥BD.因?yàn)镻D=PB=2,O是BD中點(diǎn),所以PO⊥BD,則PO=PB2-OB又OA=2,PA=2,所以PO2+OA2=PA2,則PO⊥AO.因?yàn)锽D∩AE=O,所以PO⊥平面ABCD.建立如圖D839所示的空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,2),A(2,0,0),B(0,2,0),E(2,0,0),D(0,2,0),所以PA=(2,0,2),PB=(0,2,2),PD=(0,2,2),AE=(22,0,0).設(shè)平面PAB的法向量是n1=(x1,y1,z1),則n1·取x1=1,則y1=z1=1,所以n1=(1,1,1).設(shè)平面PCD的法向量是n2=(x2,y2,z2),則n2·PD=0取y2=1,得n2=(0,1,1).所以cos<n1·n2>=n1·n2即所求二面角的余弦值為0.7.(1)取AD的中點(diǎn)G,連接GM,GN,在三角形ADE中,∵M(jìn),G分別為AE,AD的中點(diǎn),∴MG∥DE,∵DE?平面CDEF,MG?平面CDEF,∴MG∥平面CDEF.由于G,N分別為AD,BC的中點(diǎn),由棱柱的性質(zhì)可得GN∥DC,∵CD?平面CDEF,GN?平面CDEF,∴GN∥平面CDEF.又GM?平面GMN,GN?平面GMN,MG∩NG=G,∴平面GMN∥平面CDEF,∵M(jìn)N?平面GMN,∴MN∥平面CDEF.(2)連接EB,在Rt△ABE中,AB=1,AE=ADsin60°=3,∴BE=2,又ED=1,DB=5,∴EB2+ED2