2025屆湖南衡陽(yáng)縣數(shù)學(xué)高二上期末檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆湖南衡陽(yáng)縣數(shù)學(xué)高二上期末檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖所示，用3種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C中，要求相鄰的矩形不能使用同一種顏色，則不同的涂法有（）ABCA.3種 B.6種C.12種 D.27種2．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.， B.，C.， D.，3．三棱柱中，，，，若，則（）A. B.C. D.4．某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校男教師的人數(shù)為（）A.167 B.137C.123 D.1135．用這3個(gè)數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則事件“這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)”與事件“這個(gè)三位數(shù)大于342”（）A.是互斥但不對(duì)立事件 B.不是互斥事件C.是對(duì)立事件 D.是不可能事件6．已知直四棱柱的棱長(zhǎng)均為，則直線與側(cè)面所成角的正切值為（）A. B.C. D.7．動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在拋物線和圓上，則的最小值為（）A. B.C. D.8．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角終邊上有一點(diǎn)，為銳角，且，則（）A. B.C. D.9．設(shè)雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在雙曲線C上，若線段的中點(diǎn)在y軸上，且為等腰三角形，則雙曲線C的離心率為（）A. B.2C. D.10．若雙曲線的離心率為3，則的最小值為（）A. B.1C. D.211．下列函數(shù)是偶函數(shù)且在上是減函數(shù)的是A. B.C. D.12．曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F到兩條漸近線的垂線段分別為FA，F(xiàn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形OAFB是菱形，則雙曲線C的離心率等于（）A. B.C.2 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的弦與另一個(gè)焦點(diǎn)圍成的的周長(zhǎng)是______14．已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________.15．已知向量，，若向量與向量平行，則實(shí)數(shù)______16．如圖所示的是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，，則在原來(lái)的正方體中，直線與平面所成角的正弦值為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別為，母線長(zhǎng)為．求：（1）圓臺(tái)的高；（2）圓臺(tái)的體積注：圓臺(tái)體積公式：，其中，S分別為上下底面面積，h為圓臺(tái)的高18．（12分）已知函數(shù)，其中，.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.19．（12分）已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為（1）求直線的一般式方程（2）求與直線平行，且過(guò)點(diǎn)的直線的一般式方程（3）求與直線垂直，且過(guò)點(diǎn)的直線的一般式方程20．（12分）已知函數(shù)在處有極值，且其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求的解析式；（2）求在的最值.21．（12分）已知橢圓，斜率為的動(dòng)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且直線與圓相切.（1）若，求直線的方程；（2）求三角形的面積的取值范圍.22．（10分）某微小企業(yè)員工的年齡分布莖葉圖如圖所示：（1）求該公司員工年齡的極差和第25百分位數(shù)；（2）從該公司員工中隨機(jī)抽取一位，記所抽取員工年齡在區(qū)間內(nèi)為事件，所抽取員工年齡在區(qū)間內(nèi)為事件，判斷事件與是否互相獨(dú)立，并說(shuō)明理由；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)給定信息，按用色多少分成兩類，再分類計(jì)算作答.【詳解】計(jì)算不同的涂色方法數(shù)有兩類辦法：用3種顏色，每個(gè)矩形涂一種顏色，有種方法，用2色，矩形A，C涂同色，有種方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理得(種)，所以不同的涂法有12種.故選：C2、A【解析】由題方程化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出c，則橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)可求【詳解】由題得方程可化為，所以所以焦點(diǎn)為故選：A.3、A【解析】利用空間向量線性運(yùn)算及基本定理結(jié)合圖形即可得出答案.【詳解】解：由，，，若，得.故選：A.4、C【解析】根據(jù)圖形分別求出初中部和高中部男教師的人數(shù)，最后相加即可.【詳解】初中部男教師的人數(shù)為110×(170%)=33；高中部男教師的人數(shù)為150×60%=90，∴該校男教師的人數(shù)為33+90=123.故選：C.5、B【解析】根據(jù)題意列舉出所有可能性，進(jìn)而根據(jù)各類事件的定義求得答案.【詳解】由題意，將2,3,4組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的情況有：{234,243,324,342,423,432}，其中偶數(shù)有{234,324,342,432}，大于342的有{423,432}.所以兩個(gè)事件不是互斥事件，也不是對(duì)立事件.故選：B.6、D【解析】根據(jù)題意把直線與側(cè)面所成角的正切值轉(zhuǎn)化為在直角三角形中的正切值，即可求出答案.【詳解】由題意可知直四棱柱如下圖所示：取的中點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)，連接，在直四棱柱中，面，面，，在四邊形中，，，故且.面，面，面，.故直線與側(cè)面所成角的正切值為.故選：D.7、B【解析】設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，先求得P到圓心的最小距離，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，即可得答案.【詳解】設(shè)，圓化簡(jiǎn)為，即圓心為（0,4），半徑為，所以點(diǎn)P到圓心的距離，令，則，令，，為開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為的拋物線，所以的最小值為，所以，所以的最小值為.故選：B8、C【解析】根據(jù)角終邊上有一點(diǎn)，得到，再根據(jù)為銳角，且，求得，再利用兩角差的正切函數(shù)求解.【詳解】因?yàn)榻墙K邊上有一點(diǎn)，所以，又因?yàn)闉殇J角，且，所以，所以，故選：C9、A【解析】根據(jù)是等腰直角三角形，再表示出的長(zhǎng)，利用三角形的幾何性質(zhì)即可求得答案.【詳解】線段的中點(diǎn)在y軸上,設(shè)的中點(diǎn)為M，因?yàn)镺為的中點(diǎn)，所以,而,則，為等腰三角形，故，由，得，又為等腰直角三角形，故，即，解得，即，故選：A.10、D【解析】由雙曲線的離心率為3和，求得，化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的離心率為3，即，即，又由，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，“”成立.故選：D【點(diǎn)睛】使用基本不等式解答問(wèn)題的策略：1、利用基本不等式求最值時(shí)，要注意三點(diǎn)：一是各項(xiàng)為正；二是尋求定值；三是考慮等號(hào)成立的條件；2、若多次使用基本不等式時(shí)，容易忽視等號(hào)的條件的一致性，導(dǎo)致錯(cuò)解；3、巧用“拆”“拼”“湊”：在使用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中的“正、定、等”的條件.11、C【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，綜合即可得答案【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，為一次函數(shù)，不是偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于B，，，為奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于C，，為二次函數(shù)，是偶函數(shù)且在上是減函數(shù)，符合題意；對(duì)于D，，，為奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，不符合題意；故選C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定，關(guān)鍵是掌握常見(jiàn)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題12、A【解析】依題意可得為正方形，即可得到，從而得到雙曲線的漸近線為，即可求出雙曲線的離心率；【詳解】解：依題意，，且四邊形為菱形，所以為正方形，所以，即雙曲線的漸近線為，即，所以；故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求得，利用橢圓的定義可得出的周長(zhǎng).【詳解】在橢圓中，，由題意可知，的周長(zhǎng)為.故答案為：.14、【解析】先求出直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，再求出圓心到定點(diǎn)的距離，數(shù)形結(jié)合即得解.【詳解】由題得，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，圓的圓心為，半徑為.圓心到定點(diǎn)的距離為，當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為.故答案為：815、2【解析】先求出的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求得答案.【詳解】由題意，，因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)使得.故答案為：2.16、【解析】將展開(kāi)圖還原成正方體，通過(guò)建系利用空間向量的知識(shí)求解.【詳解】將展開(kāi)圖還原成正方體，以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，.則.設(shè)平面的法向量為，由令，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）作出圓臺(tái)的直觀圖，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為H，由勾股定理可求圓臺(tái)的高；（2）結(jié)合（1），利用圓臺(tái)的體積公式可求圓臺(tái)的體積【詳解】（1）作出圓臺(tái)的直觀圖，如圖，設(shè)圓臺(tái)上下底面圓心分別為，為圓臺(tái)的一條母線，連接，，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為H，則的長(zhǎng)等于圓臺(tái)的高，因?yàn)閳A臺(tái)的上下底面半徑分別為，母線長(zhǎng)為所以，，則，可得，故圓臺(tái)高為；（2）圓的面積圓的面積為故圓臺(tái)的體積為18、（1）；（2）答案見(jiàn)解析.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出，，再利用點(diǎn)斜式求出切線方程；（2）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再對(duì)參數(shù)分類討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以，，所以切線方程為：，即：（2）函數(shù)定義域?yàn)?，，因?yàn)?，①?dāng)時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，由得，由得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）（2）（3）【解析】（1）先寫(xiě)點(diǎn)斜式方程，再化一般式，（2）根據(jù)平行設(shè)一般式，再代點(diǎn)坐標(biāo)得結(jié)果，（3）根據(jù)垂直設(shè)一般式，再代點(diǎn)坐標(biāo)得結(jié)果.【詳解】(1)(2)設(shè)所求方程為因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以(3)設(shè)所求方程為因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以【點(diǎn)睛】本題考查直線方程，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.20、（1）（2），【解析】（1）由與解方程組即可得解；（2）求導(dǎo)后得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值后，比較端點(diǎn)值即可得解.【詳解】（1）求導(dǎo)得，處有極值，即，又圖象過(guò)點(diǎn)，代入可得..（2）由（1）知，令得又，.列表如下：0230+4↘極小值↗1在時(shí)，，.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）或（2）【解析】（1）設(shè)直線，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可得到方程，求出，即可得解；（2）設(shè)，，，利用圓心到直線的距離等于半徑，得到，再聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式表示出，再根據(jù)及基本不等式求出，最后再計(jì)算直線斜率不存在時(shí)三角形的面積，即可得解；【小問(wèn)1詳解】解：圓，圓心為，半徑；設(shè)直線