變形體系的虛功原理

6.2變形體系的虛功原理6.2.1功、實功與虛功1、功功包含了力和位移兩個因素。2、靜力荷載所做的功靜力荷載，是指荷載由零逐漸以微小的增量緩慢地增加到最終值，結(jié)構(gòu)在靜力加載過程中，荷載與內(nèi)力始終保持平衡。所謂實功，是指力在其自身引起的位移上所做的功。AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?3、常力所做的虛功所謂虛功，是指力在另外的原因（諸如另外的荷載、溫度變化、支座移動等）引起的位移上所做的功。FPFP1FP1DD11D11q21o12實功6.2.1功、實功與虛功AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?FP1在Δ12上做的功W12是力FP1在另外的原因（M2）引起的位移上所做的功，故為虛功。所謂“虛”，就是表示位移與做功的力無關(guān)。在作虛功時，力不隨位移而變化，是常力，故在計算式中沒有系數(shù)“1/2”。FP1(先)FP1D11D12D12q21q22111222M2(后)M26.2.1功、實功與虛功AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對于各種形式常力所做的虛功，用力和位移這兩個彼此獨立無關(guān)的因子的乘積來表示，即式中，F(xiàn)P是做功的與力有關(guān)的因素，稱為廣義力，可以是單個力、單個力偶、一組力、一組力偶等。Δ是做功的與位移有關(guān)的因素，稱為與廣義力相應(yīng)的廣義位移，可以是絕對線位移、絕對角位移、相對線位移、相對角位移等。6.2.2廣義力和廣義位移AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?6.2.3剛體體系虛功原理剛體體系處于平衡的必要和充分條件是,對于符合約束條件的任意微小虛位移,剛體體系上所有外力所做的虛功總和等于零.6.2.4變形體的虛功原理

1、關(guān)于原理的表述變形體系處于平衡的必要及充分條件是，對于符合約束條件的任意微小虛位移，變形體系上所有外力在虛位移上所做虛功總和等于各微段上內(nèi)力在其變形虛位移上所做虛功總和。AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?6.2.4變形體的虛功原理

或者簡單地說，外力虛功等于變形虛功（數(shù)量上等于虛變形能）。2、關(guān)于原理的證明AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?(1)按外力虛功與內(nèi)力虛功計算（從變形的連續(xù)條件考慮）dW總=dW外+dW內(nèi)將微段ds上的作用力區(qū)分為外力與內(nèi)力,微段總的虛功FPFR1FR2FR3Mqdsdsdsdsdsdsdsg0g0dudvdθqMFNFQM+dMFN+dFNFQ+dFQAABCDA1B1C1D1C2D2力狀態(tài)位移狀態(tài)AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?整個結(jié)構(gòu)的總虛功為或簡寫為W總=W外+W內(nèi)由于任何兩相鄰微段的相鄰截面上的內(nèi)力是成對出現(xiàn)的，它們大小相等，方向相反；又由于虛位移是光滑的、連續(xù)的，兩微段相鄰的截面總是緊密貼在一起的，而且有相同的位移，因此，每一對相鄰截面上的內(nèi)力所做的虛功總是相互抵消的。AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?W內(nèi)=0因此W總=W外（a）由此可見，必有(2)按剛體虛功與變形虛功計算（從力系的平衡條件考慮）對微段的虛位移則區(qū)分為剛體虛位移和變形虛位移兩類AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?微段總的虛功dW總=dW剛+dW變FPFR1FR2FR3Mqdsdsdsdsdsdsdsg0g0dudvdθqMFNFQM+dMFN+dFNFQ+dFQAABCDA1B1C1D1C2D2力狀態(tài)位移狀態(tài)AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?dW總=dW剛+dW變由剛體虛功原理，可知dW剛=0于是，微段上總的虛功dW總=dW變

對于全結(jié)構(gòu)，有因此，有W總=W變

(b)由于微段上彎矩、軸力和剪力的增量dM、dFN和dFQ以及分布荷載q在這些變形上所做虛功為高階微量而可略去，因此微段上各力在其變形上所做的虛功為dW變=Mdθ+FNdu+FQdvAllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?假如此微段上還有集中荷載或力偶荷載作用，可以認(rèn)為它們作用在截面AB上，因而當(dāng)微段變形時，它們并不做功?？傊?，僅考慮微段的變形虛位移而不考慮其剛體虛位移時，外力不做功，只有截面上的內(nèi)力做功。對于平面桿系有dW變=Mdθ+FNdu+FQdv(c)W變實際上是所有微段上內(nèi)力在變形虛位移上所做虛功的總和，稱為變形虛功（數(shù)量上等于虛變形能）。AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?須注意的是：這里（2）中的W變與（1）中的W內(nèi)是有區(qū)別的。（1）中的W內(nèi)是指所有微段上內(nèi)力在截面的總位移（包括剛體位移和變形位移兩部分）上所做虛功的總和，如前所述，它恒等于零；而這里（2）中的W變僅指所有微段上內(nèi)力在截面的變形位移上所做虛功的總和。比較（a）、（b）兩式，可得W外=W變就是我們需要證明的結(jié)論。它不僅適用于桿件結(jié)構(gòu)，也適用于板、殼等非桿件結(jié)構(gòu)。AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?對于平面桿系而言，因為單個外力虛功按式（6-5）W=FPΔ計算，故所有外力（包括荷載和支座反力）在虛位移上所做虛功的總和為W外=SFPD

將有關(guān)W外和W變的計算式（e）和（c）代入式（6-6），則平面桿件結(jié)構(gòu)的虛功方程可表示為（e）（6-7）

平衡力系位移狀態(tài)AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?3、關(guān)于原理的說明1）在上面的推證過程中,只考慮了力系的平衡條件和變形的連續(xù)條件.所以,虛功方程既可以用來代替平衡方程,也可以用來代替幾何方程（即協(xié)調(diào)方程）.2）虛功方程是個“兩用方程”,具體應(yīng)用時可有兩種形式.鑒于力系與變形彼此是獨立無關(guān)的,因此,如果力系是給定的,則可虛設(shè)位移,式（6-7）便稱為變形體系的虛位移方程,它代表力系的平衡方程,常可用于求力系中的某未知力；如果位移是實有的,則可虛設(shè)力系,式（6-7）便稱為變形體系的虛力方程,它代表幾何協(xié)調(diào)方程,?？捎糜谇髮嶋H位移狀態(tài)中某個未知位移.本章即主要介紹虛力方程及其應(yīng)用.AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?3）在推證式（6-6）時,沒有涉及到材料的性質(zhì).因此,變形體系的虛功方程是個普遍方程,既適用于彈性問題,也適用于非