人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第十三章 軸對(duì)稱壓軸訓(xùn)練（構(gòu)造等腰三角形、手拉手模型9類壓軸）

第十三章軸對(duì)稱壓軸訓(xùn)練0101壓軸總結(jié)目錄TOC\o"1-3"\h\u壓軸題型一利用平行線+角平分線構(gòu)造等腰三角形 1壓軸題型二過(guò)腰或底作平行線構(gòu)造等腰(邊)三角形 7壓軸題型三利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形 15壓軸題型四等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時(shí)，連中線 21壓軸題型五等腰三角形中底邊無(wú)中點(diǎn)時(shí)，作高 26壓軸題型六巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形 32壓軸題型七共頂點(diǎn)的等邊三角形手拉手模型 40壓軸題型八共頂點(diǎn)的等腰直角三角形手拉手模型 46壓軸題型九共頂點(diǎn)的一般等腰三角形手拉手模型 51002壓軸題型壓軸題型一利用平行線+角平分線構(gòu)造等腰三角形例題：（23-24八年級(jí)下·陜西·期中）如圖，在中，，與的角平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作，分別交于點(diǎn)M，N．(1)證明：是等腰三角形；(2)與相等嗎？對(duì)你的結(jié)論說(shuō)明理由．鞏固訓(xùn)練1．（2024下·湖南株洲·八年級(jí)校考期末）已知在中，的平分線交于點(diǎn)，．(1)如圖1，求證：是等腰三角形；(2)如圖2，若平分交于，，在邊上取點(diǎn)使，若，求的長(zhǎng)．2．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）課本再現(xiàn)（1）如圖1，是的外角，平分，，則________．（填“>”“=”或“<”）類比遷移（2）如圖2，在中，是的一條角平分線，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，求證：．拓展運(yùn)用（3）如圖3，在中，，是角平分線上一點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明．3．（23-24八年級(jí)上·河北石家莊·階段練習(xí)）（1）如圖1，，平分，則的形狀是三角形；（2）如圖2，平分，，，則．（3）如圖3，有中，是角平分線，交于點(diǎn)D．若，則．（4）如圖4，在中，與的平分線交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作，分別交，于點(diǎn)D，E．若，則的周長(zhǎng)為．（5）如圖，在中，cm，分別是和的平分線，且，則的周長(zhǎng)是．壓軸題型二過(guò)腰或底作平行線構(gòu)造等腰(邊)三角形例題：（23-24八年級(jí)下·浙江金華·開(kāi)學(xué)考試）已知，在等邊三角形中，點(diǎn)O在上，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，且．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)O為的中點(diǎn)時(shí)，確定線段與的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)O為邊上任意一點(diǎn)，確定線段與的大小關(guān)系，請(qǐng)你寫出結(jié)論，并說(shuō)明理由；(3)在等邊三角形中，點(diǎn)O在直線上，點(diǎn)P在直線上，且，若的邊長(zhǎng)為2，，求的長(zhǎng)．鞏固訓(xùn)練1．（2024上·天津?yàn)I海新·八年級(jí)?？计谀┮阎本€，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別為直線，上的點(diǎn)，，且，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終滿足．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，求的長(zhǎng)．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，試確定線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．2．（23-24八年級(jí)下·廣東茂名·期中）（綜合與實(shí)踐）已知，在等邊三角形中，點(diǎn)E在上，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，且．(1)【特殊情況，探索結(jié)論】如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，確定線段與的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：______（填“”、“”或“”）；(2)【特例啟發(fā)，解答題目】如圖2，當(dāng)點(diǎn)E為邊上任意一點(diǎn)時(shí)，確定線段與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論，______（填“”、“”或“”）；理由如下，過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F．（請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程）：(3)【拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題】如圖3，在等邊三角形中，點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上，且，若的邊長(zhǎng)為1，，求的長(zhǎng)（直接寫出結(jié)果）．壓軸題型三利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形例題：（2023上·河南信陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀材料：截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法．截長(zhǎng)就是在長(zhǎng)邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過(guò)在一條短邊上延長(zhǎng)一條線段與另一長(zhǎng)邊相等，解答下列問(wèn)題：如圖1，在中，交于點(diǎn)D，平分，且．(1)為了證明結(jié)論“”，小亮在AC上截取，使得，解答了這個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)按照小亮的思路寫證明過(guò)程；(2)如圖2，在四邊形中，已知，，，，，，求的長(zhǎng)．鞏固訓(xùn)練1．在中，，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)在線段上，．(1)如圖，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，則______；(2)如圖，若點(diǎn)與點(diǎn)不重合，試說(shuō)明與的數(shù)量關(guān)系；(3)在（1）的情況下，試判斷，與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你的理由．2．（2023上·遼寧大連·八年級(jí)大連市第三十四中學(xué)?？计谥校┮阎?，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接于點(diǎn)．(1)寫出圖1中與相等的角，______；(2)如圖1，若，在圖中找出與相等的線段并證明；(3)如圖2，若，求的長(zhǎng)度．壓軸題型四等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時(shí)，連中線例題：（2023上·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，D為的中點(diǎn)，于E．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的長(zhǎng)．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，D為線段的中點(diǎn)，且．

(1)求證：．(2)若，，求的長(zhǎng)．2．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知中，，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在直線上運(yùn)動(dòng)，且始終保持．(1)如圖①，若點(diǎn)分別在線段上，與相等且與垂直嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如圖②，若點(diǎn)分別在線段的延長(zhǎng)線上，（1）中的結(jié)論是否依然成立？說(shuō)明理由．壓軸題型五等腰三角形中底邊無(wú)中點(diǎn)時(shí)，作高例題：（2023上·福建廈門·八年級(jí)廈門一中?？计谥校┤鐖D，已知，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)在邊上，，若，求的長(zhǎng)．

鞏固訓(xùn)練1．（2023上·河南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)校聯(lián)考期末）在中，點(diǎn)是邊上的兩點(diǎn)．

(1)如圖1，若，．求證：；(2)如圖2，若，，設(shè)，．①猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②在①的條件下，，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．2．（2023上·河南商丘·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，，過(guò)點(diǎn)C作射線，使（點(diǎn)與點(diǎn)B在直線的異側(cè)）點(diǎn)D是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)E在線段上，且．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，與的位置關(guān)系是，若，則的長(zhǎng)為；（用含a的式子表示）(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，連接．①用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．壓軸題型六巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形例題：（2022春·上海普陀·八年級(jí)校考期中）如圖，在中，平分，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，交于，交的延長(zhǎng)線于．求證：(1)；(2)．鞏固訓(xùn)練1．（2022春·河北石家莊·八年級(jí)?？计谥校?1)【問(wèn)題情境】利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點(diǎn)A為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為C，延長(zhǎng)交于點(diǎn)B，可根據(jù)證明，則，（即點(diǎn)C為的中點(diǎn)）．(2)【類比解答】如圖2，在中，平分，于E，若，，通過(guò)上述構(gòu)造全等的辦法，可求得．(3)【拓展延伸】如圖3，中，，，平分，，垂足E在的延長(zhǎng)線上，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(4)【實(shí)際應(yīng)用】如圖4是一塊肥沃的三角形土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進(jìn)行水稻試驗(yàn)，故進(jìn)行如下操作：①用量角器取的角平分線；②過(guò)點(diǎn)A作于D．已知，，面積為20，則劃出的的面積是多少？請(qǐng)直接寫出答案．2．（2023上·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）【情境建?！繉W(xué)校數(shù)學(xué)社團(tuán)活動(dòng)時(shí)遇到下面一個(gè)問(wèn)題：如圖1，點(diǎn)在的角平分線上，過(guò)點(diǎn)作的垂線分別交、于點(diǎn)、．求證：．請(qǐng)你幫助完成此證明．

【應(yīng)用實(shí)踐】請(qǐng)嘗試直接應(yīng)用“情境建模”中的結(jié)論解決下列問(wèn)題：（1）將圖1沿著過(guò)點(diǎn)的直線折疊，得到圖2，使點(diǎn)正好與邊上的點(diǎn)重合，此時(shí)測(cè)得．求的度數(shù)．（2）如圖3，，平分交于，若，，求邊的長(zhǎng)度．【拓展提升】（3）如圖4，是某小區(qū)綠化施工的一塊區(qū)域示意圖，其中，米，米．該綠化帶中修建了健身步道、、、、，其中入口、分別在、上，步道、分別平分和，，．現(xiàn)要用圍欄完全封閉區(qū)域，修建地下排水和地上公益廣告等設(shè)施，試求至少需要圍欄多少米？（步道寬度忽略不計(jì)）

壓軸題型七共頂點(diǎn)的等邊三角形手拉手模型例題：（23-24七年級(jí)下·甘肅酒泉·期末）閱讀學(xué)習(xí)“手拉手”模型：如圖1，條件：（1）和都是等腰三角形；（2）（頂角相等）結(jié)論：．解題思路：左手拉左手（B連D），右手拉右手（C連E），易證：，利用邊角邊證得．解決問(wèn)題：如圖2，和都是等邊三角形．B，C，D三點(diǎn)共線，與相交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)G．(1)找出圖中的一對(duì)全等三角形，并說(shuō)明理由．(2)求的度數(shù)．鞏固訓(xùn)練1．（2024·四川內(nèi)江·一模）如圖，點(diǎn)P在等邊內(nèi)，點(diǎn)在外，分別連結(jié)接，．

(1)求證：；(2)連接，求證：是等邊三角形．2．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，等邊三角形和等邊三角形，連接，，其中．(1)求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在一條直線上時(shí)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：；(3)利用備用圖補(bǔ)全圖形，直線，交于點(diǎn)，連接，若，，直接寫出的長(zhǎng)．3．（2023上·廣西南寧·八年級(jí)?？计谥校?shù)學(xué)課上，張老師帶領(lǐng)學(xué)生們對(duì)課本一道習(xí)題層層深入研究．教材再現(xiàn)：如圖，，都是等邊三角形．求證：．(1)請(qǐng)寫出證明過(guò)程；繼續(xù)研究：(2)如圖，在圖的基礎(chǔ)上若與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接，求證：平分；(3)在（）的條件下再探索，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．壓軸題型八共頂點(diǎn)的等腰直角三角形手拉手模型例題：（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）和△ADE都是等腰直角三角形，．(1)如圖1，點(diǎn)D、E在，上，則，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？（直接寫出答案不證明）(2)如圖2，點(diǎn)D在內(nèi)部，點(diǎn)E在外部，連接，，則，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，與均為等腰直角三角形，，則線段、的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)______，、所在直線的位置關(guān)系為_(kāi)_______；（2）深入探究：在（1）的條件下，若點(diǎn)A，E，D在同一直線上，為中邊上的高，請(qǐng)判斷的度數(shù)及線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．2．（2023秋·山東日照·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，點(diǎn)D是直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），連接CE．（1）在圖1中，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：BC=CE+CD；（2）在圖2中，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論BC=CE+CD是否還成立？若不成立，請(qǐng)猜想BC，CE，CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）在圖3中，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，不需寫證明過(guò)程，直接寫出BC，CE，CD之間存在的數(shù)量關(guān)系及直線CE與直線BC的位置關(guān)系．

壓軸題型九共頂點(diǎn)的一般等腰三角形手拉手模型例題：（23-24八年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）已知中，；中，；，(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，①求證：；②求出的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，求∶①的度數(shù)；②若，，求的長(zhǎng)．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期末）【發(fā)現(xiàn)】如圖①，，求證：；【拓展】如圖②，和均為等邊三角形，點(diǎn)D、B、C在同一直線上，連結(jié)，則______，若，則_______．【應(yīng)用】如圖③，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)D、B、C在同一直線上，為中邊上的高，連結(jié)，則______，若，則______．

2．（23-24七年級(jí)下·河南開(kāi)封·期末）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖①，點(diǎn)D為等邊邊上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊作等邊，連接．請(qǐng)猜想BD與CE的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____，______°．（2）類比探究：與均為等腰直角三角形，．如圖②，若點(diǎn)D為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則BD與CE的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____，______°，并寫出證明的過(guò)程．（3）拓展延伸在（2）的基礎(chǔ)上，若點(diǎn)D為線段延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，如圖③，當(dāng)，，請(qǐng)直接寫出四邊形的面積．3．（23-24七年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）【閱讀材料】小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律：兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形，底角頂點(diǎn)連起來(lái)，在相對(duì)位置變化的同時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形，小明把具有這種規(guī)律的圖形稱為“手拉手模型”．

【材料理解】（1）如圖1，與都是等腰三角形，，，且，則有；線段和的數(shù)量關(guān)系是．【深入研究】（2）如圖2，與都是等腰三角形，，，且，請(qǐng)判斷線段和的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；【深化模型】（3）如圖3，，，求證：4．（2024八年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）規(guī)定：頂角相等且頂角頂點(diǎn)重合的兩個(gè)等腰三角形互為“兄弟三角形”．

(1)如圖①，在與中，，當(dāng)、滿足條件____時(shí)，與互為“兄弟三角形”；(2)如圖②，在與互為“兄弟三角形”，，相交于點(diǎn)M，連，求證：平分(3)如圖③，在四邊形中，，，，求的度數(shù)．

第十三章軸對(duì)稱壓軸訓(xùn)練0101壓軸總結(jié)目錄TOC\o"1-3"\h\u壓軸題型一利用平行線+角平分線構(gòu)造等腰三角形 1壓軸題型二過(guò)腰或底作平行線構(gòu)造等腰(邊)三角形 7壓軸題型三利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形 15壓軸題型四等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時(shí)，連中線 21壓軸題型五等腰三角形中底邊無(wú)中點(diǎn)時(shí)，作高 26壓軸題型六巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形 32壓軸題型七共頂點(diǎn)的等邊三角形手拉手模型 40壓軸題型八共頂點(diǎn)的等腰直角三角形手拉手模型 46壓軸題型九共頂點(diǎn)的一般等腰三角形手拉手模型 51002壓軸題型壓軸題型一利用平行線+角平分線構(gòu)造等腰三角形例題：（23-24八年級(jí)下·陜西·期中）如圖，在中，，與的角平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作，分別交于點(diǎn)M，N．(1)證明：是等腰三角形；(2)與相等嗎？對(duì)你的結(jié)論說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義：（1）根據(jù)等邊對(duì)等角得到，再由角平分線的定義可得，進(jìn)而推出，由此即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)等邊對(duì)等角和平行線的性質(zhì)推出，得到，據(jù)此可證明．【詳解】（1）證明：∵，∴，又∵與的角平分線交于點(diǎn)O，∴，，∴，∴，∴是等腰三角形．（2）解：，理由如下：∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，即鞏固訓(xùn)練1．（2024下·湖南株洲·八年級(jí)?？计谀┮阎谥校钠椒志€交于點(diǎn)，．(1)如圖1，求證：是等腰三角形；(2)如圖2，若平分交于，，在邊上取點(diǎn)使，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4【分析】本題考查角平分線、平行線的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系，掌握角平分線的定義，平行線的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的定義得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，根據(jù)等腰三角形的判定即可得出答案；（2）利用角平分線的定義、平行線性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而可得出答案．【詳解】（1）證明：是的平分線，，，，，，即是等腰三角形；（2）解：，，，又平分，，由（1）可知，，，，，在中，，，，又，，．2．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）課本再現(xiàn)（1）如圖1，是的外角，平分，，則________．（填“>”“=”或“<”）類比遷移（2）如圖2，在中，是的一條角平分線，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，求證：．拓展運(yùn)用（3）如圖3，在中，，是角平分線上一點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明．【答案】（1）=；（2）見(jiàn)解析；（3），見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．（1）由角平分線的定義得，由平行線的性質(zhì)得，，等量代換得，進(jìn)而可證；（2）由角平分線的定義得，由平行線的性質(zhì)得，等量代換得，進(jìn)而可證；（3）由角平分線的定義得，根據(jù)證明得，，然后證明即可得出．【詳解】（1）∵平分，∴．∵，∴，∴，∴．故答案為：=；（2）∵平分，∴．∵，∴，∴，∴；（3）連接．∵平分，∴．∵，，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴．3．（23-24八年級(jí)上·河北石家莊·階段練習(xí)）（1）如圖1，，平分，則的形狀是三角形；（2）如圖2，平分，，，則．（3）如圖3，有中，是角平分線，交于點(diǎn)D．若，則．（4）如圖4，在中，與的平分線交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作，分別交，于點(diǎn)D，E．若，則的周長(zhǎng)為．（5）如圖，在中，cm，分別是和的平分線，且，則的周長(zhǎng)是．【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、兩直線平行同位角相等、兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，對(duì)角對(duì)等邊．（1）平行線的性質(zhì)結(jié)合角平分線平分角，得到，即可得出結(jié)果；（2）平行線的性質(zhì)結(jié)合角平分線平分角，得到，進(jìn)而得到即可；（3）同法（2）可得：，利用，求解即可；（4）同法（2）得到，推出的周長(zhǎng)等于，即可得出結(jié)果；（5）同法（2）得到，推出的周長(zhǎng)等于的長(zhǎng)即可．掌握平行線加角平分線往往存在等腰三角形，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（1）∵，∴，∵平分，∴，∴，∴是等腰三角形；故答案為：等腰；（2）∵平分，，∴，∴，∴；故答案為：3；（3）同法（2）可得：，∴；故答案為：12；（4）同法（2）可得：，∴的周長(zhǎng)；故答案為：30；（5）同法（2）可得：，∴的周長(zhǎng)；故答案為：5cm．壓軸題型二過(guò)腰或底作平行線構(gòu)造等腰(邊)三角形例題：（23-24八年級(jí)下·浙江金華·開(kāi)學(xué)考試）已知，在等邊三角形中，點(diǎn)O在上，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，且．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)O為的中點(diǎn)時(shí)，確定線段與的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)O為邊上任意一點(diǎn)，確定線段與的大小關(guān)系，請(qǐng)你寫出結(jié)論，并說(shuō)明理由；(3)在等邊三角形中，點(diǎn)O在直線上，點(diǎn)P在直線上，且，若的邊長(zhǎng)為2，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)相等，見(jiàn)解析(3)7或3【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、全等三角形綜合問(wèn)題、等腰三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的判定和性質(zhì)【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)，三線合一性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，計(jì)算說(shuō)明即可．（2）過(guò)作交于，證明是等邊三角形，以及即可證明．（3）分為點(diǎn)在射線AB上或點(diǎn)在射線上兩種情況，利用全等、等腰三角形的性質(zhì)即可證明．【詳解】（1）解：，理由如下：為等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，平分，，，，，，，，，；（2）解：相等，即，理由如下：如圖，過(guò)作交于，是等邊三角形，，，，，即，是等邊三角形，，，，，，，，在和中，，，，．（3）解：如圖③，當(dāng)點(diǎn)在射線AB上時(shí)，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于，則為等邊三角形，，，，，，，是等邊三角形，，，，，在和中，，，，；如圖，當(dāng)點(diǎn)O在射線上時(shí)，∵，∴，∵是等邊三角形，∴，過(guò)點(diǎn)O作，則，∴，∴，又∵，∴；綜上所述，長(zhǎng)為或．．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2024上·天津?yàn)I海新·八年級(jí)校考期末）已知直線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別為直線，上的點(diǎn)，，且，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終滿足．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，求的長(zhǎng)．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，試確定線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)；（1）證明為等邊三角形，得出，由等邊三角形的性質(zhì)得出，由等腰三角形的性質(zhì)得出，由三角形的外角性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，由平行線的性質(zhì)得出，證出，得出，證出，由證明，得出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，為等邊三角形，∴，∵點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，∴，，，∵，；（2）解：，理由如下：過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，如圖，∵，∴，，∵，，，，∴，，，在和中，∵，∴，，∵，．2．（23-24八年級(jí)下·廣東茂名·期中）（綜合與實(shí)踐）已知，在等邊三角形中，點(diǎn)E在上，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，且．(1)【特殊情況，探索結(jié)論】如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，確定線段與的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：______（填“”、“”或“”）；(2)【特例啟發(fā)，解答題目】如圖2，當(dāng)點(diǎn)E為邊上任意一點(diǎn)時(shí)，確定線段與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論，______（填“”、“”或“”）；理由如下，過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F．（請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程）：(3)【拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題】如圖3，在等邊三角形中，點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上，且，若的邊長(zhǎng)為1，，求的長(zhǎng)（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)(2)(3)3【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、等腰三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的判定和性質(zhì)【分析】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)：（1）根據(jù)等邊三角形三線合一，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)，得到即可；（2）過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，易得為等邊三角形，證明，即可得證；（3）作，易得為等邊三角形，證明，得到，進(jìn)一步求解即可．【詳解】（1）解：∵等邊三角形，∴，，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)∴，，∵，∴，∵，∴，∴；故答案為：；（2），理由如下：過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，∵為等邊三角形，∴，，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，在△DBE和△EFC中，，∴，∴，∴；故答案為：；（3）由題意，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，作，則，∵，∴為等邊三角形，∴，同（2）可得，∴，∵，∴，∴，∵，∴．壓軸題型三利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形例題：（2023上·河南信陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀材料：截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法．截長(zhǎng)就是在長(zhǎng)邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過(guò)在一條短邊上延長(zhǎng)一條線段與另一長(zhǎng)邊相等，解答下列問(wèn)題：如圖1，在中，交于點(diǎn)D，平分，且．(1)為了證明結(jié)論“”，小亮在AC上截取，使得，解答了這個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)按照小亮的思路寫證明過(guò)程；(2)如圖2，在四邊形中，已知，，，，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)16【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）在上截取，使得，連接，根據(jù)角平分線的定義可得，再利用證明，從而可得，，進(jìn)而可得，然后利用三角形的外角性質(zhì)可得，從而可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)等量代換可得，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）在上截取，連接，先利用三角形內(nèi)角和定理可得，從而可得，再利用證明，從而可得，進(jìn)而可得，然后利用三角形內(nèi)角和定理可得，從而可得，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】（1）解：證明：在上截取，使得，∵平分，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∵是的一個(gè)外角，∴，∴，∴，∴∵，∴；（2）在上截取，連接，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴的長(zhǎng)為16．鞏固訓(xùn)練1．在中，，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)在線段上，．(1)如圖，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，則______；(2)如圖，若點(diǎn)與點(diǎn)不重合，試說(shuō)明與的數(shù)量關(guān)系；(3)在（1）的情況下，試判斷，與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你的理由．【答案】(1)(2)(3)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)題意求出，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到答案；（2）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理得到，進(jìn)而證明結(jié)論；（3）在上截取，連接，證明≌，根據(jù)求等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到，得到，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】（1）解：在中，，，則，，，，，故答案為：；（2）解：，理由如下：，，，，，，，；（3）解：，理由如下：如圖，在上截取，連接，則，，在和中，，≌，，，是的外角，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·遼寧大連·八年級(jí)大連市第三十四中學(xué)校考期中）已知，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接于點(diǎn)．(1)寫出圖1中與相等的角，______；(2)如圖1，若，在圖中找出與相等的線段并證明；(3)如圖2，若，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)(2)，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）運(yùn)用三角形外角性質(zhì)即可求得答案；（2）利用證明，可得，，即可得出答案；（3）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，可證得則，設(shè)，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得，建立方程求解即可得出答案.【詳解】（1），，．，故答案為：；（2），理由如下，，，，，在和中，，，．，即；（3）如圖2，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，，則，，，，，，，，在和中，，，設(shè)，，，，．，，，．，解得：，，故的長(zhǎng)度為．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的外角的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．壓軸題型四等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時(shí)，連中線例題：（2023上·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，D為的中點(diǎn)，于E．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了等腰三角形的“三線合一”，含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，（1）連接，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”即可作答；（2）根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)即可作答．【詳解】（1）連接，∵，，∴，平分，∴，，∵于E，∴，∴；（2）∵，，∴，在中，，∴，在中，，，∴，則．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，D為線段的中點(diǎn)，且．

(1)求證：．(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)6【分析】（1）連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)等腰三角形的三線合一證明結(jié)論；（2）證明為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）證明：連接，

是的垂直平分線，，，，是等腰三角形，為線段的中點(diǎn)，；（2）解：，，，，，，，，為等邊三角形，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知中，，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在直線上運(yùn)動(dòng)，且始終保持．(1)如圖①，若點(diǎn)分別在線段上，與相等且與垂直嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如圖②，若點(diǎn)分別在線段的延長(zhǎng)線上，（1）中的結(jié)論是否依然成立？說(shuō)明理由．【答案】(1)且，見(jiàn)解析(2)成立，見(jiàn)解析【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到和，再證明，利用全等三角形的性質(zhì)即可求解；（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到和，再證明，利用全等三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）且，理由是：如圖①，連接，∵，，D為中點(diǎn)，∴，∴，在和中，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴．（2）若點(diǎn)分別在線段，的延長(zhǎng)線上，（1）中的結(jié)論依然成立，如圖②，連接，理由如下：∵，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，∴，在和中，∴；∴，又∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形．壓軸題型五等腰三角形中底邊無(wú)中點(diǎn)時(shí)，作高例題：（2023上·福建廈門·八年級(jí)廈門一中?？计谥校┤鐖D，已知，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)在邊上，，若，求的長(zhǎng)．

【答案】2【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)．作交于，由等腰三角形的性質(zhì)可得，由含角的直角三角形的性質(zhì)得出，計(jì)算出即可得到答案．熟練掌握等腰三角形的三線合一以及直角三角形中所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，作交于，

，，，，在中，，，，，，，，．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·河南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)校聯(lián)考期末）在中，點(diǎn)是邊上的兩點(diǎn)．

(1)如圖1，若，．求證：；(2)如圖2，若，，設(shè)，．①猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②在①的條件下，，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①；②【分析】（1）過(guò)A作于F，根據(jù)三線合一得到，，利用線段的和差可得結(jié)果；（2）①根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和求出，再根據(jù)，整理可得結(jié)果；②根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和求出，再根據(jù)，代入化簡(jiǎn)可得結(jié)果．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)A作于F，∵，，∴，，∴，即；

（2）①猜想：，理由是：∵，，∴，∵，，∴，即，整理得：；②∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和，角的和差計(jì)算，解題的關(guān)鍵是利用這些性質(zhì)找出角的關(guān)系．2．（2023上·河南商丘·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，，過(guò)點(diǎn)C作射線，使（點(diǎn)與點(diǎn)B在直線的異側(cè)）點(diǎn)D是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)E在線段上，且．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，與的位置關(guān)系是，若，則的長(zhǎng)為；（用含a的式子表示）(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，連接．①用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)互相垂直；(2)①，證明見(jiàn)解析；②，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得與的位置關(guān)系是互相垂直，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得到，利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)即可得出；（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，①過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M、于點(diǎn)N，利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)即可得到；②在上截取，連接，利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得到，，根據(jù)角的和差得到，再利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)及線段和差即可得到．【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，，∵，∴，∴，

∴，即與的位置關(guān)系是互相垂直，若，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M，如圖：

則，∵，∴，在與中，∴，∴，即的長(zhǎng)為，故答案為：互相垂直；；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系是：，證明如下：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M、于點(diǎn)N，如圖：

則，∴，∵，即，∴，∵，，∴，在與中，，∴，∴，∴；②用等式表示線段，，之間的量關(guān)系是：，證明如下：在上截取，連接，如圖：

∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，由①知：，即，∴，∴，∴，在和中，，∴，

∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、垂直定義等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．壓軸題型六巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形例題：（2022春·上海普陀·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，平分，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，交于，交的延長(zhǎng)線于．求證：(1)；(2)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)證明，即可得出；（2）過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)M，由可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，可得，進(jìn)而得出，再根據(jù)據(jù)證明，得出，等量代換即可得到．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）證明：過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)M，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊，平行線的性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理、性質(zhì)定理及作出合適的輔助線是解此題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2022春·河北石家莊·八年級(jí)?？计谥校?1)【問(wèn)題情境】利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點(diǎn)A為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為C，延長(zhǎng)交于點(diǎn)B，可根據(jù)證明，則，（即點(diǎn)C為的中點(diǎn)）．(2)【類比解答】如圖2，在中，平分，于E，若，，通過(guò)上述構(gòu)造全等的辦法，可求得．(3)【拓展延伸】如圖3，中，，，平分，，垂足E在的延長(zhǎng)線上，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(4)【實(shí)際應(yīng)用】如圖4是一塊肥沃的三角形土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進(jìn)行水稻試驗(yàn)，故進(jìn)行如下操作：①用量角器取的角平分線；②過(guò)點(diǎn)A作于D．已知，，面積為20，則劃出的的面積是多少？請(qǐng)直接寫出答案．【答案】(1)(2)(3)，證明見(jiàn)解析(4)的面積是【分析】（1）證（），得，即可；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，由問(wèn)題情境可知，，再由等腰三角形的性質(zhì)得，然后由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）拓展延伸延長(zhǎng)、交于點(diǎn)F，證（），得，再由問(wèn)題情境可知，，即可得出結(jié)論；（4）實(shí)際應(yīng)用延長(zhǎng)交于E，由問(wèn)題情境可知，，，則，再由三角形面積關(guān)系得，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴（），∴，，故答案為：；（2）解：如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，由可知，，∴，∵，∴，故答案為：；（3）解：，證明如下：如圖3，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)F，則，∵，∴，∵，∴，又∵，∴（），∴，由問(wèn)題情境可知，，∴；（4）解：如圖4，延長(zhǎng)交于E，由問(wèn)題情境可知，，，∴，∵，∴，∴，答：的面積是．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線定義以及三角形面積等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．2．（2023上·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）【情境建?！繉W(xué)校數(shù)學(xué)社團(tuán)活動(dòng)時(shí)遇到下面一個(gè)問(wèn)題：如圖1，點(diǎn)在的角平分線上，過(guò)點(diǎn)作的垂線分別交、于點(diǎn)、．求證：．請(qǐng)你幫助完成此證明．

【應(yīng)用實(shí)踐】請(qǐng)嘗試直接應(yīng)用“情境建?！敝械慕Y(jié)論解決下列問(wèn)題：（1）將圖1沿著過(guò)點(diǎn)的直線折疊，得到圖2，使點(diǎn)正好與邊上的點(diǎn)重合，此時(shí)測(cè)得．求的度數(shù)．（2）如圖3，，平分交于，若，，求邊的長(zhǎng)度．【拓展提升】（3）如圖4，是某小區(qū)綠化施工的一塊區(qū)域示意圖，其中，米，米．該綠化帶中修建了健身步道、、、、，其中入口、分別在、上，步道、分別平分和，，．現(xiàn)要用圍欄完全封閉區(qū)域，修建地下排水和地上公益廣告等設(shè)施，試求至少需要圍欄多少米？（步道寬度忽略不計(jì)）

【答案】【情景建?！恳?jiàn)解析；（1）；（2）；（3）至少需要圍擋40米．【分析】情景建模：利用角平分線的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，求證即可解題．（1）利用角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)“等邊對(duì)等角”將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，再應(yīng)用第一問(wèn)的條件和結(jié)論結(jié)合方程即可解題．（2）延長(zhǎng)和相交于點(diǎn)，利用勾股定理和第一問(wèn)的結(jié)論得出,即可解題．（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，得三角形全等，利用全等得性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化為，再用代數(shù)式表示出、、即可解題．【詳解】情境建模證明：點(diǎn)在的角平分線上，，由題知，，，，，（1）解：點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線垂直平分，，，，，又，，，，，（2）解：延長(zhǎng)和相交于點(diǎn)，如圖所示：，，平分，，，，在中，（3）解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖所示：、分別平分和，，，由“情境建模”的結(jié)論得：，，，，在和中，，，，米，米，米

設(shè)，，則，，，，，，，，，的周長(zhǎng)答：至少需要圍擋40米．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，本題的關(guān)鍵在于靈活應(yīng)用角平分線性質(zhì)結(jié)合全等三角形的性質(zhì)，求解角和邊．壓軸題型七共頂點(diǎn)的等邊三角形手拉手模型例題：（23-24七年級(jí)下·甘肅酒泉·期末）閱讀學(xué)習(xí)“手拉手”模型：如圖1，條件：（1）和都是等腰三角形；（2）（頂角相等）結(jié)論：．解題思路：左手拉左手（B連D），右手拉右手（C連E），易證：，利用邊角邊證得．解決問(wèn)題：如圖2，和都是等邊三角形．B，C，D三點(diǎn)共線，與相交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)G．(1)找出圖中的一對(duì)全等三角形，并說(shuō)明理由．(2)求的度數(shù)．【答案】(1)，詳見(jiàn)解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、用SAS證明三角形全等（SAS）、等邊三角形的性質(zhì)【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合證明即可；（2）全等三角形的性質(zhì)，結(jié)合三角形的外角，得到，利用平角的定義，即可求出的度數(shù)．【詳解】（1）解：理由：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，∴，在和中，，∴（）．（2）∵，∴，∵，∴，∴．鞏固訓(xùn)練1．（2024·四川內(nèi)江·一模）如圖，點(diǎn)P在等邊內(nèi)，點(diǎn)在外，分別連結(jié)接，．

(1)求證：；(2)連接，求證：是等邊三角形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、等邊三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)【分析】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)：（1）由是等邊三角形可得，運(yùn)用可證明；（2）由可得，再證明即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，又，∴；（2）證明：∵是等邊三角形，∴∵，∴∵∴∴∴是等邊三角形．2．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，等邊三角形和等邊三角形，連接，，其中．(1)求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在一條直線上時(shí)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：；(3)利用備用圖補(bǔ)全圖形，直線，交于點(diǎn)，連接，若，，直接寫出的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由“”可證，可得；（2）由“”可證，可得；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)作于，于，由面積法可求，可證，由直角三角形的性質(zhì)可求，由“”可證，可得，即可求解．【詳解】（1）證明：和是等邊三角形，，，，，在和中，，，；（2）證明：，，點(diǎn)在線段上，，，在和中，，，；（3）解：如圖3，過(guò)點(diǎn)作于，于，，，，，，，，，又，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·廣西南寧·八年級(jí)校考期中）數(shù)學(xué)課上，張老師帶領(lǐng)學(xué)生們對(duì)課本一道習(xí)題層層深入研究．教材再現(xiàn)：如圖，，都是等邊三角形．求證：．(1)請(qǐng)寫出證明過(guò)程；繼續(xù)研究：(2)如圖，在圖的基礎(chǔ)上若與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接，求證：平分；(3)在（）的條件下再探索，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)，理由見(jiàn)解析．【分析】（）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出，，，求出，根據(jù)證即可；（）過(guò)點(diǎn)分別作，，垂足為點(diǎn)，，由得到，從而，故有，根據(jù)角平分線判定即可求證；（）在上截取一點(diǎn)，使得，證明是等邊三角形，即可證明，從而得證．【詳解】（1）證明：∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，即，在和中，，∴，∴（2）如圖，過(guò)點(diǎn)分別作，，垂足為點(diǎn)，，由（）知：，，∴，∴，∴，∴點(diǎn)在的平分線上，即平分；（3），理由：如圖，在上截取一點(diǎn)，使得，由（）知：，∴，∴，在中，，∴由（）得：平分，∴，∴是等邊三角形，又是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)，三角形的面積，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的綜合運(yùn)用，熟練掌握這些知識(shí)，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是解答的關(guān)鍵．壓軸題型八共頂點(diǎn)的等腰直角三角形手拉手模型例題：（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）和△ADE都是等腰直角三角形，．(1)如圖1，點(diǎn)D、E在，上，則，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？（直接寫出答案不證明）(2)如圖2，點(diǎn)D在內(nèi)部，點(diǎn)E在外部，連接，，則，滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，(2)，，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形結(jié)合線段的和差即可得到結(jié)論；（2）延長(zhǎng)，分別交、于F、G，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、垂直的定義解答；【詳解】（1）解：∵和△ADE都是等腰直角三角形，，∴，，∴，即，∵點(diǎn)D，E在，上，，∴；（2），，理由如下：延長(zhǎng)，分別交、于F、G，∵和△ADE都是等腰直角三角形，，∴，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，即；【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，與均為等腰直角三角形，，則線段、的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)______，、所在直線的位置關(guān)系為_(kāi)_______；（2）深入探究：在（1）的條件下，若點(diǎn)A，E，D在同一直線上，為中邊上的高，請(qǐng)判斷的度數(shù)及線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1），；（2），；理由見(jiàn)解析【分析】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)O．只要證明，即可解決問(wèn)題；（2）由，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）如圖1中，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)O，∵和均為等腰直角三角形，，∴，，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴．故答案為：，．（2），；理由如下：如圖2中，∵和均為等腰直角三角形，，∴，∴，由（1）可知：，∴，，∴；在等腰直角三角形中，為斜邊上的高，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題．2．（2023秋·山東日照·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，點(diǎn)D是直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），連接CE．（1）在圖1中，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：BC=CE+CD；（2）在圖2中，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論BC=CE+CD是否還成立？若不成立，請(qǐng)猜想BC，CE，CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）在圖3中，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，不需寫證明過(guò)程，直接寫出BC，CE，CD之間存在的數(shù)量關(guān)系及直線CE與直線BC的位置關(guān)系．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）結(jié)論BC=CE+CD不成立，猜想BC=CE-CD，理由見(jiàn)解析；（3）；，理由見(jiàn)解析【分析】（1）證明△BAD≌△CAE（SAS），可得BD=CE，即可證得BC=BD+CD=CE+CD成立；（2）同樣證明△BAD≌△CAE（SAS），可得BD=CE，即可證得成立，故BC=CE+CD不成立；（3）補(bǔ)全圖形，同樣證明△BAD≌△CAE（SAS），利用全等三角形的性質(zhì)即可作出結(jié)論：；．【詳解】（1）證明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形∴AB=AC，AD=AE，∴∴

∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD=CE∴BC=BD+CD=CE+CD（2）結(jié)論BC=CE+CD不成立，猜想BC=CE-CD，理由如下：又∵AB=AC，AD=AE（3）；；理由如下：補(bǔ)全圖形如圖3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴∠ABD=135°，由（1）同理可得，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∠ACE=∠ABD=135°，∴BC=CD-BD=CD-CE，∠BCE=90°，即，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解答的關(guān)鍵．壓軸題型九共頂點(diǎn)的一般等腰三角形手拉手模型例題：（23-24八年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）已知中，；中，；，(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，①求證：；②求出的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，求∶①的度數(shù)；②若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②(2)①；②【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、等腰三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的判定和性質(zhì)【分析】（1）①根據(jù)題意證明，利用全等三角形性質(zhì)即可解題．②根據(jù)，以及等邊三角形性質(zhì)計(jì)算即可．（2）①根據(jù)題意得到為等腰直角三角形，結(jié)合（1）①同理可證，利用全等三角形性質(zhì)和等腰直角三角形性質(zhì)即可解題．②根據(jù)，結(jié)合角平分線的性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】（1）①證明：，，，，，，；②，，為等邊三角形，，，，；（2）解：①，，為等腰直角三角形，，由（1）同理可證，，；②，，，，為等腰直角三角形，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期末）【發(fā)現(xiàn)】如圖①，，求證：；【拓展】如圖②，和均為等邊三角形，點(diǎn)D、B、C在同一直線上，連結(jié)，則______，若，則_______．【應(yīng)用】如圖③，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)D、B、C在同一直線上，為中邊上的高，連結(jié)，則______，若