專題05 反比例函數(shù)性質(zhì)及性質(zhì)應(yīng)用問題（復(fù)習(xí)講義）（解析版）-二輪要點歸納與典例解析

專題05反比例函數(shù)性質(zhì)及性質(zhì)應(yīng)用問題復(fù)習(xí)講義【要點歸納|典例解析】類型一：反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)考點1反比例函數(shù)的圖像及性質(zhì)1.反比例函數(shù)的概念：1．一般地，如果變量y與變量x之間的函數(shù)關(guān)系可以表示成y＝eq\f(k,x)(k是常數(shù)，且k≠0)的形式，則稱y是x的反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是函數(shù)，自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)。2.函數(shù)圖像的性質(zhì)：對于反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)，k＞0時，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過第一、三象限(x，y同號)，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，關(guān)于直線y＝－x對稱；k＜0時，反比例函數(shù)圖像經(jīng)過第二、四象限(x，y異號)，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大關(guān)于直線y＝x對稱。類型二：反比例函數(shù)的幾何性質(zhì)考點2反比例函數(shù)的圖像與幾何圖形的關(guān)系1.反比例函數(shù)與幾何圖形的面積問題，是最常見的數(shù)形結(jié)合問題，首先要根據(jù)題意畫出草圖，結(jié)合圖形分析其中的幾何圖形的特點，再求出面積等相關(guān)數(shù)據(jù)．2.反比例函數(shù)的幾何意義包括：（1）如下圖，過雙曲線上任意一點P分別作x軸、y軸的垂線PM、PN，所得的矩形PMON的面積S=PM·PN=·=.∵y=，∴xy=k，∴S=，即過雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線，所得的矩形面積為．（2）如上圖，過雙曲線上的任意一點E作EF垂直其中一坐標軸，垂足為F，連接EO，則=，即過雙曲線上的任意一點作一坐標軸的垂線，連接該點與原點，所得三角形的面積為．3.解答反比例函數(shù)的問題，往往結(jié)合中點及三角形或梯形的面積一起出現(xiàn)，此類問題中，由于題中沒有點的坐標，通?？赏ㄟ^間接設(shè)未知數(shù)的方向，表示出題目中所求的線段，利用圖形旋轉(zhuǎn)的特征和數(shù)形結(jié)合思想在坐標系中求圖形中關(guān)鍵點的坐標，從而求得所求圖形的面積．【解題技巧】1.對于反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k是常數(shù)，且k≠0)k的幾何意義：設(shè)P(x，y)是反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)圖像上任一點，過點P作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，則S矩形PNOM＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|.【解題技巧】1.常見的有（1）雙曲線與三角形的關(guān)系（2）雙曲線與四邊形的關(guān)系（3）雙曲線與圓的關(guān)系（4）兩條雙曲線之間的關(guān)系2.在平面直角坐標系中與幾何圖形相聯(lián)系時，通常要構(gòu)造一個三角形，以坐標軸上的邊為底，相對頂點的橫坐標(或縱坐標)的絕對值為高；如果沒有坐標軸上的邊，則用坐標軸將其分割后求解．4.利用圖象解決問題，從圖上獲取有用的信息，是解題的關(guān)鍵所在．已知點在圖象上，那么點一定滿足這個函數(shù)解析式，反過來如果這點滿足函數(shù)的解析式，那么這個點也一定在函數(shù)圖象上．還能利用圖象直接比較函數(shù)值或是自變量的大?。畬?shù)形結(jié)合在一起，是分析解決問題的一種好方法．類型三：反比例函數(shù)的實際應(yīng)用考點3反比例函數(shù)的實際應(yīng)用1.反比例函數(shù)表達式的確定的步驟：(1)設(shè)所求的反比例函數(shù)為y＝eq\f(k,x)(k≠0)；(2)根據(jù)已知條件列出含k的方程；(3)由代入法求待定系數(shù)k的值；(4)把k代入函數(shù)表達式y(tǒng)＝eq\f(k,x)中．2.求表達式的兩種途徑：(1)根據(jù)問題中兩個變量間的數(shù)量關(guān)系直接寫出；(2)在已知兩個變量x，y具有反比例關(guān)系y＝eq\f(k,x)(x≠0)的前提下，根據(jù)一對x，y的值，列出一個關(guān)于k的方程，求得k的值，確定出函數(shù)的表達式．【解題技巧】利用反比例函數(shù)解決實際問題，首先是建立函數(shù)模型．一般地，建立函數(shù)模型有兩種思路：一是通過問題提供的信息，知道變量之間的函數(shù)關(guān)系，在這種情況下，可先設(shè)出函數(shù)的表達式y(tǒng)＝eq\f(k,x)(k≠0)，再由已知條件確定表達式中k的取值即可；二是問題本身的條件中不確定變量間是什么關(guān)系，此時要通過分析找出變量的關(guān)系并確定函數(shù)表達式．類型四：反比函數(shù)的綜合應(yīng)用考點4反比例函數(shù)的圖像與其它函數(shù)的關(guān)系反比例函數(shù)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)與二次函數(shù)是近幾年中考的常考題型，需要把每個函數(shù)的性質(zhì)了解清楚，點的坐標適合每個函數(shù)的表達式，然后再結(jié)合圖像特點，總結(jié)規(guī)律?！窘忸}技巧】反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖像的綜合應(yīng)用的四個方面：①探求同一坐標系下兩函數(shù)的圖像常用排除法；②探求兩函數(shù)表達式常利用兩函數(shù)的圖像的交點坐標；③探求兩圖像中點的坐標常利用解方程(組)來解決，這也是求兩函數(shù)圖像交點坐標的常用方法；④兩個函數(shù)值比較大小的方法是以交點為界限，觀察交點左、右兩邊區(qū)域的兩個函數(shù)圖像上、下位置關(guān)系，從而寫出函數(shù)值的大小．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．（2）判斷正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y＝在同一直角坐標系中的交點個數(shù)可總結(jié)為：①當k1與k2同號時，正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y＝在同一直角坐標系中有2個交點；②當k1與k2異號時，正比例函數(shù)y＝k1x和反比例函數(shù)y＝在同一直角坐標系中有0個交點．另外常見的還有反比例函數(shù)與二次函數(shù)、兩個反比例函數(shù)之間的關(guān)系。類型一：反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)1.（2020?日照）在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y＝kx+1（k≠0）和y＝（k≠0）的圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】C．【分析】分兩種情況討論，當k＞0時，分析出一次函數(shù)和反比例函數(shù)所過象限；再分析出k＜0時，一次函數(shù)和反比例函數(shù)所過象限，符合題意者即為正確答案．【解答】解：①當k＞0時，y＝kx+1過一、二、三象限；y＝過一、三象限；②當k＜0時，y＝kx+1過一、二、四象象限；y＝過二、四象限．觀察圖形可知，只有C選項符合題意．故選：C．2.（2020?深圳）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，則y＝ax+b和y＝的圖象為（）A．B．C． D．【答案】C．【分析】根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可以得到a＜0，b＞0，c＜0，由此可以判定y＝ax+b經(jīng)過一、二、四象限，雙曲線y＝在二、四象限．【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象，可得a＜0，b＞0，c＜0，∴y＝ax+b過一、二、四象限，雙曲線y＝在二、四象限，∴C是正確的．故選：C．類型二：反比例函數(shù)的幾何性質(zhì)3.（2020安徽中考）已知點A（1，﹣3）關(guān)于x軸的對稱點A'在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則實數(shù)k的值為（）A．3 B． C．﹣3 D．﹣【答案】A．【分析】先根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的坐標特征確定A'的坐標為（1，3），然后把A′的坐標代入y＝中即可得到k的值．【解答】解：點A（1，﹣3）關(guān)于x軸的對稱點A'的坐標為（1，3），把A′（1，3）代入y＝得k＝1×3＝3．故選：A．4.（2020海南中考）如果反比例函數(shù)y＝（a是常數(shù)）的圖象在第一、三象限，那么a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)＞0 C．a(chǎn)＜2 D．a(chǎn)＞2【答案】D．【分析】反比例函數(shù)y＝圖象在一、三象限，可得k＞0．【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝（a是常數(shù)）的圖象在第一、三象限，∴a﹣2＞0，∴a＞2．故選：D．5.（2020江蘇徐州中考）若A（x1，y1）、B（x2，y2）都在函數(shù)y＝的圖象上，且x1＜0＜x2，則（）A．y1＜y2 B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＞y2 D．y1＝﹣y2【答案】A．【分析】根據(jù)題意和反比例函數(shù)的性質(zhì)可以解答本題．【解答】解：∵函數(shù)y＝，∴該函數(shù)圖象在第一、三象限、在每個象限內(nèi)y隨x的增大而減小，∵A（x1，y1）、B（x2，y2）都在函數(shù)y＝的圖象上，且x1＜0＜x2，∴y1＜y2，故選：A．6.（2020?遼寧大連中考模擬）如圖，點P在雙曲線y＝（x＞0）上，以P為圓心的⊙P與兩坐標軸都相切，點E為y軸負半軸上的一點，過點P作PF⊥PE交x軸于點F，若OF﹣OE＝6，則k的值是．【答案】9．【分析】過P點作x軸、y軸的垂線，垂足為A、B，根據(jù)⊙P與兩坐標軸都相切可知，PA＝PB，由∠APB＝∠EPF＝90°可證△BPE≌△APF，得BE＝AF，利用OF﹣OE＝6，求圓的半徑，根據(jù)k＝OA×PA求解．【解答】解：如圖，過P點作x軸、y軸的垂線，垂足為A、B，∵⊙P與兩坐標軸都相切，∴PA＝PB，四邊形OAPB為正方形，∵∠APB＝∠EPF＝90°，∴∠BPE＝∠APF，∴Rt△BPE≌Rt△APF，∴BE＝AF，∵OF﹣OE＝6，∴（OA+AF）﹣（BE﹣OB）＝6，即2OA＝6，解得OA＝3，∴k＝OA×PA＝3×3＝9．故答案為：9．7.（2020重慶中考）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A，D分別在x軸、y軸上，對角線BD∥x軸，反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過矩形對角線的交點E．若點A（2，0），D（0，4），則k的值為（）A．16 B．20 C．32 D．40【答案】B．【分析】根據(jù)平行于x軸的直線上任意兩點縱坐標相同，可設(shè)B（x，4）．利用矩形的性質(zhì)得出E為BD中點，∠DAB＝90°．根據(jù)線段中點坐標公式得出E（x，4）．由勾股定理得出AD2+AB2＝BD2，列出方程22+42+（x﹣2）2+42＝x2，求出x，得到E點坐標，代入y＝，利用待定系數(shù)法求出k．【解答】解：∵BD∥x軸，D（0，4），∴B、D兩點縱坐標相同，都為4，∴可設(shè)B（x，4）．∵矩形ABCD的對角線的交點為E，∴E為BD中點，∠DAB＝90°．∴E（x，4）．∵∠DAB＝90°，∴AD2+AB2＝BD2，∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2，解得x＝10，∴E（5，4）．∵反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過點E，∴k＝5×4＝20．故選：B．8.（2020湖南郴州）如圖，點A，C分別是正比例函數(shù)y＝x的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象的交點，過A點作AD⊥x軸于點D，過C點作CB⊥x軸于點B，則四邊形ABCD的面積為．【答案】8【解析】∵A、C是兩函數(shù)圖象的交點，∴A、C關(guān)于原點對稱，∵CD⊥x軸，AB⊥x軸，∴OA＝OC，OB＝OD，∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD，又∵反比例函數(shù)y=4∴S△AOB＝S△BOC＝S△DOC＝S△AOD=1∴S四邊形ABCD＝4S△AOB＝4×2＝8，故答案為：8．9.（2020?蘭州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象經(jīng)過等邊三角形BOC的頂點B，OC＝2，點A在反比例函數(shù)圖象上，連接AC，OA．（1）求反比例函數(shù)y＝（k≠0）的表達式；（2）若四邊形ACBO的面積是3，求點A的坐標．【分析】（1）作BD⊥OC于D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求得OD＝1，BD＝，進而求得三角形BOD的面積，根據(jù)系數(shù)k的幾何意義即可求得k＝，從而求得反比例函數(shù)的表達式；（2）求得三角形AOC的面積，即可求得A的縱坐標，代入解析式求得橫坐標，得出點A的坐標．【解答】解：（1）作BD⊥OC于D，∵△BOC是等邊三角形，∴OB＝OC＝2，OD＝OC＝1，∴BD＝＝，∴S△OBD＝OD×BD＝，S△OBD＝|k|，∴|k|＝，∵反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象在一三象限，∴k＝，∴反比例函數(shù)的表達式為y＝；（2）∵S△OBC＝OC?BD＝＝，∴S△AOC＝3﹣＝2，∵S△AOC＝OC?yA＝2，∴yA＝2，把y＝2代入y＝，求得x＝，∴點A的坐標為（，2）．10.如圖，點A(2，n)和點D是反比例函數(shù)y＝（m＞0，x＞0）圖像上的兩點，一次函數(shù)y＝kx＋3（k≠0）的圖像經(jīng)過點A，與y軸交于點B，與x軸交于點C，過點D作DE⊥x軸，垂足為E，連接OA、OD．已知△OAB與△ODE的面積滿足S△OAB﹕S△ODE＝3﹕4．（1）S△OAB＝________，m＝________；（2）已知點P(6，0)在線段OE上，當∠PDE＝∠CBO時，求點D的坐標．【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義以及相似三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是利用反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義以及相似三角形的性質(zhì)．先求出B點縱坐標和A點的橫坐標，利用利用三角形面積公式可得△OBA的面積，再根據(jù)面積的比較關(guān)系求出△ODE的面積，最后根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義求出m的值；先由點A在雙曲線上，求出A點坐標；再先求出直線AB的解析式；連接DP，通過條件∠PDE＝∠CBO，∠PED＝∠COB＝90°，得PD∥AB，于是可令直線PD的解析式為y＝x＋t，則0＝×6＋t，求出PD的解析式；最后由解得，．從而鎖定D點的坐標．（1）∵一次函數(shù)y＝kx＋3（k≠0）的圖像經(jīng)過點A，與y軸交于點B，∴B(0，3)，OB＝3．∵點A(2，n)，∴＝2．∴S△AOB＝?OB?＝×3×2＝3．∵S△OAB﹕S△ODE＝3﹕4，∴S△DOE＝4．∵DE⊥x軸，且點D在雙曲線y＝上，∴＝4．∵m＞0，∴m＝8．（2）如答圖，連接PD，∵點A(2，n)在雙曲線y＝上，∴2n＝8，n＝4，A(2，4)．∵一次函數(shù)y＝kx＋3（k≠0）的圖像經(jīng)過點A，與y軸交于點B，∴4＝2k＋3．∴k＝，直線AB的解析式為y＝x＋3．∵∠PDE＝∠CBO，∠PED＝∠COB＝90°，∴∠DPE＝∠BCO．∴PD∥AB．∴令直線PD的解析式為y＝x＋t，則0＝×6＋t．∴t＝－3，直線PD的解析式為y＝x－3．由解得，．∵點D在第一象限，∴D(8，1)．11.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)．反比例函數(shù)y＝eq\f(m,x)(x＞0)的圖象經(jīng)過點D，點P是一次函數(shù)y＝kx＋3－3k(k≠0)的圖象與該反比例函數(shù)圖象的一個公共點．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)通過計算，說明一次函數(shù)y＝kx＋3－3k(k≠0)的圖象一定經(jīng)過點C；(3)對于一次函數(shù)y＝kx＋3－3k(k≠0)，當y隨x的增大而增大時，確定點P橫坐標的取值范圍．(不必寫出過程)【解析】：(1)∵B(3，1)，C(3，3)，四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝2，BC⊥x軸．∴AD⊥x軸．又∵A(1，0)，∴D(1，2)．∵D在反比例函數(shù)y＝eq\f(m,x)的圖象上，∴m＝1×2＝2.∴反比例函數(shù)的解析式為y＝eq\f(2,x).(2)當x＝3時，y＝kx＋3－3k＝3，∴一次函數(shù)y＝kx＋3－3k(k≠0)的圖象一定過點C.(3)設(shè)點P的橫坐標為a，則eq\f(2,3)＜a＜3.歸納：反比例函數(shù)中，y隨x的大小變化的情況，應(yīng)分x＞0與x＜0兩種情況討論，而不能籠統(tǒng)地說成“k＜0時，y隨x的增大而增大”．雙曲線上的點在每個象限內(nèi)，y隨x的變化是一致的．運用反比例函數(shù)的性質(zhì)時，要注意在每一個象限內(nèi)的要求．類型三：反比例函數(shù)的實際應(yīng)用12.（2018河北中考）如圖是輪滑場地的截面示意圖，平臺AB距x軸（水平）18米，與y軸交于點B，與滑道y＝（x≥1）交于點A，且AB＝1米．運動員（看成點）在BA方向獲得速度v米/秒后，從A處向右下飛向滑道，點M是下落路線的某位置．忽略空氣阻力，實驗表明：M，A的豎直距離h（米）與飛出時間t（秒）的平方成正比，且t＝1時h＝5，M，A的水平距離是vt米．（1）求k，并用t表示h；（2）設(shè)v＝5．用t表示點M的橫坐標x和縱坐標y，并求y與x的關(guān)系式（不寫x的取值范圍），及y＝13時運動員與正下方滑道的豎直距離；（3）若運動員甲、乙同時從A處飛出，速度分別是5米/秒、v乙米/秒．當甲距x軸1.8米，且乙位于甲右側(cè)超過4.5米的位置時，直接寫出t的值及v乙的范圍．【分析】（1）用待定系數(shù)法解題即可；（2）根據(jù)題意，分別用t表示x、y，再用代入消元法得出y與x之間的關(guān)系式；（3）求出甲距x軸1.8米時的橫坐標，根據(jù)題意求出乙位于甲右側(cè)超過4.5米的v乙．【解答】解：（1）由題意，點A（1，18）帶入y＝得：18＝∴k＝18設(shè)h＝at2，把t＝1，h＝5代入∴a＝5∴h＝5t2（2）∵v＝5，AB＝1∴x＝5t+1∵h＝5t2，OB＝18∴y＝﹣5t2+18由x＝5t+1則t＝∴y＝﹣當y＝13時，13＝﹣解得x＝6或﹣4∵x≥1∴x＝6把x＝6代入y＝y(tǒng)＝3∴運動員在與正下方滑道的豎直距離是13﹣3＝10（米）（3）把y＝1.8代入y＝﹣5t2+18得t2＝解得t＝1.8或﹣1.8（負值舍去）∴x＝10∴甲坐標為（10，1.8）恰好落在滑道y＝上此時，乙的坐標為（1+1.8v乙，1.8）由題意：1+1.8v乙﹣（1+5×1.8）＞4.5∴v乙＞7.513.長為300m的春游隊伍，以v（m/s）的速度向東行進，如圖1和圖2，當隊伍排尾行進到位置O時，在排尾處的甲有一物品要送到排頭，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均為2v（m/s），當甲返回排尾后，他及隊伍均停止行進．設(shè)排尾從位置O開始行進的時間為t（s），排頭與O的距離為S頭（m）．（1）當v＝2時，解答：①求S頭與t的函數(shù)關(guān)系式（不寫t的取值范圍）；②當甲趕到排頭位置時，求S頭的值；在甲從排頭返回到排尾過程中，設(shè)甲與位置O的距離為S甲（m），求S甲與t的函數(shù)關(guān)系式（不寫t的取值范圍）（2）設(shè)甲這次往返隊伍的總時間為T（s），求T與v的函數(shù)關(guān)系式（不寫v的取值范圍），并寫出隊伍在此過程中行進的路程．【分析】（1）①排頭與O的距離為S頭（m）．等于排頭行走的路程+隊伍的長300，而排頭行進的時間也是t（s），速度是2m/s，可以求出S頭與t的函數(shù)關(guān)系式；②甲趕到排頭位置的時間可以根據(jù)追及問題的數(shù)量關(guān)系得出，代入求S即可；在甲從排頭返回到排尾過程中，設(shè)甲與位置O的距離為S甲（m）是在S的基礎(chǔ)上減少甲返回的路程，而甲返回的時間（總時間t減去甲從排尾趕到排頭的時間），于是可以求S甲與t的函數(shù)關(guān)系式；（2）甲這次往返隊伍的總時間為T（s），是甲從排尾追到排頭用的時間與從排頭返回排尾用時的和，可以根據(jù)追及問題和相遇問題的數(shù)量關(guān)系得出結(jié)果；在甲這次往返隊伍的過程中隊伍行進的路程＝隊伍速度×返回時間．【解答】解：（1）①排尾從位置O開始行進的時間為t（s），則排頭也離開原排頭t（s），∴S頭＝2t+300②甲從排尾趕到排頭的時間為300÷（2v﹣v）＝300÷v＝300÷2＝150s，此時S頭＝2t+300＝600m甲返回時間為：（t﹣150）s∴S甲＝S頭﹣S甲回＝2×150+300﹣4（t﹣150）＝﹣4t+1200；因此，S頭與t的函數(shù)關(guān)系式為S頭＝2t+300，當甲趕到排頭位置時，求S的值為600m，在甲從排頭返回到排尾過程中，S甲與t的函數(shù)關(guān)系式為S甲＝﹣4t+1200．（2）T＝t追及+t返回＝+＝，在甲這次往返隊伍的過程中隊伍行進的路程為：v×（T﹣150）＝v×（﹣﹣150）＝400﹣150v；因此T與v的函數(shù)關(guān)系式為：T＝，此時隊伍在此過程中行進的路程為（400﹣150v）m．14.（2020浙江杭州中考）方方駕駛小汽車勻速地從A地行駛到B地，行駛里程為480千米，設(shè)小汽車的行駛時間為t（單位：小時），行駛速度為v（單位：千米/小時），且全程速度限定為不超過120千米/小時．（1）求v關(guān)于t的函數(shù)表達式；（2）方方上午8點駕駛小汽車從A地出發(fā)．①方方需在當天12點48分至14點（含12點48分和14點）間到達B地，求小汽車行駛速度v的范圍．②方方能否在當天11點30分前到達B地？說明理由．【分析】（1）由速度乘以時間等于路程，變形即可得速度等于路程比時間，從而得解；（2）①8點至12點48分時間長為小時，8點至14點時間長為6小時，將它們分別代入v關(guān)于t的函數(shù)表達式，即可得小汽車行駛的速度范圍；②8點至11點30分時間長為小時，將其代入v關(guān)于t的函數(shù)表達式，可得速度大于120千米/時，從而得答案．【解答】解：（1）∵vt＝480，且全程速度限定為不超過120千米/小時，∴v關(guān)于t的函數(shù)表達式為：v＝，（0≤t≤4）．（2）①8點至12點48分時間長為小時，8點至14點時間長為6小時將t＝6代入v＝得v＝80；將t＝代入v＝得v＝100．∴小汽車行駛速度v的范圍為：80≤v≤100．②方方不能在當天11點30分前到達B地．理由如下：8點至11點30分時間長為小時，將t＝代入v＝得v＝＞120千米/小時，超速了．故方方不能在當天11點30分前到達B地．類型四：反比函數(shù)的綜合應(yīng)用15.（2018?遵義）如圖，直角三角形的直角頂點在坐標原點，∠OAB=30°，若點A在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，則經(jīng)過點B的反比例函數(shù)解析式為（）A．y=﹣ B．y=﹣ C．y=﹣ D．y=【答案】C解析：點B作BC⊥x軸于點C，過點A作AD⊥x軸于點D，∵∠BOA=90°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOC=∠OAD，又∵∠BCO=∠ADO=90°，∴△BCO∽△ODA，∴=tan30°=，∴=，∵×AD×DO=xy=3，∴S△BCO=×BC×CO=S△AOD=1，∴S△AOD=2，∵經(jīng)過點B的反比例函數(shù)圖象在第二象限，故反比例函數(shù)解析式為：y=﹣．故選：C．16.（2018?安順）如圖，已知直線y=k1x+b與x軸、y軸相交于P、Q兩點，與y=的圖象相交于A（﹣2，m）、B（1，n）兩點，連接OA、OB，給出下列結(jié)論：①k1k2＜0；②m+n=0；③S△AOP=S△BOQ；④不等式k1x+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜1，其中正確的結(jié)論的序號是【答案】②③④．【解答】解：由圖象知，k1＜0，k2＜0，∴k1k2＞0，故①錯誤；把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y=中得﹣2m=n，∴m+n=0，故②正確；把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y=k1x+b得，∴，∵﹣2m=n，∴y=﹣mx﹣m，∵已知直線y=k1x+b與x軸、y軸相交于P、Q兩點，∴P（﹣1，0），Q（0，﹣m），∴OP=1，OQ=m，∴S△AOP=m，S△BOQ=m，∴S△AOP=S△BOQ；故③正確；由圖象知不等式k1x+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜1，故④正確；故答案為：②③④．17.（2020?貴州畢節(jié)?5分）如圖，在平面直角坐標中，一次函數(shù)y＝﹣4x+4的圖象與x軸、y軸分別交于A.B兩點．正方形ABCD的頂點C.D在第一象限，頂點D在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上．若正方形ABCD向左平移n個單位后，頂點C恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，則n的值是．【答案】3【解答】解：過點D作DE⊥x軸，過點C作CF⊥y軸，∵AB⊥AD，∴∠BAO＝∠DAE，∵AB＝AD，∠BOA＝∠DEA，∴△ABO≌△DAE（AAS），∴AE＝BO，DE＝OA，易求A（1，0），B（0，4），∴D（5，1），∵頂點D在反比例函數(shù)y＝上，∴k＝5，∴y＝，易證△CBF≌△BAO（AAS），∴CF＝4，BF＝1，∴C（4，5），∵C向左移動n個單位后為（4﹣n，5），∴5（4﹣n）＝5，∴n＝3，故答案為3；18.如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(x＞0)的圖象與邊長是6的正方形OABC的兩邊AB，BC分別相交于M，N兩點．(1)若點M是AB邊的中點，求反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的解析式和點N的坐標；(2)若AM＝2，求直線MN的解析式及△OMN的面積．【點撥】(1)由已知可知點M的坐標，求出k的值，從而求出點N的坐標；(2)確定點M，點N的坐標，三角形面積就可求出．【解答】解：(1)∵點M是AB邊的中點，∴M(6，3)．∵反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)經(jīng)過點M，∴3＝eq\f(k,6).∴k＝18.∴反比例函數(shù)的解析式為y＝eq\f(18,x).當y＝6時，x＝3，∴N(3，6)．(2)由題意，知M(6，2)，N(2，6)．設(shè)直線MN的解析式為y＝ax＋b，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝6a＋b，,6＝2a＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝8.))∴直線MN的解析式為y＝－x＋8.∴S△OMN＝S正方形OABC－S△OAM－S△OCN－S△BMN＝36－6－6－8＝16.19.在18題中，若△OMN的面積為10，求點M，N的坐標．【解析】解：∵OA＝OC＝6，設(shè)M(6，y)，則N(y，6)．∴BM＝BN＝6－y.∵S△OMN＝10，∴36－eq\f(1,2)×6×y×2－eq\f(1,2)(6－y)2＝10，即y2＝16.又∵y>0，∴y＝4，∴M(6，4)．∴N(4，6)．歸納：1．確定反比例函數(shù)解析式只要一個合適的條件(如圖象上一個點的坐標)即可．另外將已知點的坐標或部分坐標代入解析式中，從而確定字母的值是我們經(jīng)常用的方法．2．雙曲線y＝eq\f(k,x)中，根據(jù)k的幾何意義求圖形面積常用圖形有：S陰影＝|k|S陰影＝eq\f(|k|,2)S陰影＝|k|3.第一象限內(nèi)的雙曲線本身是軸對稱圖形，正方形也是軸對稱圖形，所以在本題中，圖形是關(guān)于直線y＝x的軸對稱圖形，對解答第(2)問提供解題思路．20.（2018?菏澤）如圖，已知點D在反比例函數(shù)y=的圖象上，過點D作DB⊥y軸，垂足為B（0，3），直線y=kx+b經(jīng)過點A（5，0），與y軸交于點C，且BD=OC，OC：OA=2：5．（1）求反比例函數(shù)y=和一次函數(shù)y=kx+b的表達式；（2）直接寫出關(guān)于x的不等式＞kx+b的解集．【分析】（1）由OC、OA、BD之間的關(guān)系結(jié)合點A、B的坐標可得出點C、D的坐標，由點D的坐標利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出a值，進而可得出反比例函數(shù)的表達式，再由點A、C的坐標利用待定系數(shù)法，即可求出一次函數(shù)的表達式；（2）將一次函數(shù)表達式代入反比例函數(shù)表達式中，利用根的判別式△＜0可得出兩函數(shù)圖象無交點，再觀察圖形，利用兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系即可找出不等式＞kx+b的解集．解：（1）∵BD=OC，OC：OA=2：5，點A（5，0），點B（0，3），∴OA=5，OC=BD=2，OB=3，又∵點C在y軸負半軸，點D在第二象限，∴點C的坐標為（0，﹣2），點D的坐標為（﹣2，3）．∵點D（﹣2，3）在反比例函數(shù)y=的圖象上，∴a=﹣2×3=﹣6，∴反比例函數(shù)的表達式為y=﹣．將A（5，0）、B（0，﹣2）代入y=kx+b，，解得：，∴一次函數(shù)的表達式為y=x﹣2．（2）將y=x﹣2代入y=﹣，整理得：x2﹣2x+6=0，∵△=（