山東省新泰市紫光實驗中學2024-2025學年高二上學期第一次月考測試（10月）數學試卷

新泰市紫光實驗中學2024—2025學年10月份第一次月考測試高二年級數學試卷學校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題(共40分)1．(5分)已知空間向量,,且,則向量與的夾角為()A. B. C. D.2．(5分)在三棱錐中,已知,G是線段的中點,則()A. B.C. D.3．(5分)已知，，，點M在直線上運動.當取最小值時，點M的坐標為()A. B. C. D.4．(5分)如圖，在下列各正方體中，l為正方體的一條體對角線，M、N分別為所在棱的中點，則滿足的是()A. B. C. D.5．(5分)菱形的邊長為4，，E為的中點（如圖1），將沿直線DE翻折至處（如圖2），連接，，若四棱錐的體積為，點F為的中點，則F到直線的距離為()A. B. C. D.6．(5分)已知,,,,則點D到平面ABC的距離為()A. B. C. D.7．(5分)在四面體中,記,,,若點M、N分別為棱OA、BC的中點,則()A. B.C. D.8．(5分)如圖，在正方體中，E是棱的中點，F是側面上的動點，且平面，則下列說法正確的個數有()①二面角的大小為常數②二面角的大小為常數③二面角的大小為常數A.0個 B.1個 C.2個 D.3個二、多項選擇題(共18分)9．(6分)已知直線，的方向向量分別是，，若且，則的值可以是()A. B. C.1 D.310．(6分)已知直線,,下列命題中正確的是()A.若,則B.若,則或C.當時,是直線的方向向量D.原點到直線的最大距離為11．(6分)如圖，一個結晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點A為端點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是，下列說法中正確的是()A. B.C.向量與的夾角是 D.與所成角的余弦值為三、填空題(共10分)12．(5分)已知空間向量,,則在上的投影向量的坐標是________.13．(5分)四棱錐中,底面ABCD,底面ABCD是正方形,且,,F是的重心,則PG與平面PAD所成角的正弦值為________.四、雙空題(共5分)14．(5分)已知直線l的方向向量為a，平面的一個法向量為，若，則直線l與平面的位置關系為_________；若，則直線l與平面的位置關系為_________.五、解答題(共77分)15．(13分)已知,.（1）若,求實數k的值;（2）若,求實數k的值.16．(15分)如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，M為的中點，且.（1）求；（2）求二面角的正弦值.17．(15分)如圖，在三棱錐中，，D是BC的中點，平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知，，，.（1）求證：.（2）若點M是線段AP上一點，且，試證明平面平面BMC.18．(17分)如圖,在正三棱柱中,,,D是中點,E在棱上,且.（1）求證:平面平面;（2）求平面與平面ABC的夾角的余弦值.19．(17分)如圖,三棱錐中,平面,,,,M是棱上一點,且.(1)證明：平面;(2)若,求與平面所成角的正弦值.

參考答案1．答案：A解析：,解得,則,,,設向量與的夾角為,則,,,即與的夾角為.故選:A.2．答案：D解析：連接,因為G是線段的中點,所以因為,所以所以故選：D.3．答案：D解析：設，即，故，，當時，向量數量積有最小值，此時.故選：D.4．答案：C解析：在正方體中，建立空間直角坐標系，令棱長為2，體對角線l的端點為B，，對于A，，，，，直線l的方向向量，，顯然，直線與l不垂直，A不是；對于B，由選項A知，直線l的方向向量，，，則，顯然，直線與l不垂直，B不是；對于C，由選項A知，直線l的方向向量，，，則，顯然，，C是；對于D，由選項A知，直線l的方向向量，，，則，顯然，直線與l不垂直，D不是.故選：C5．答案：A解析：連接，因為四邊形為菱形，且，所以為等邊三角形，因為E為的中點，所以，所以,，因為，平面，所以平面，因為菱形的邊長為4，所以,,，所以直角梯形的面積為，設四棱錐的高為h，則，得，所以，所以平面，所以以E為原點，,,所在的直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，則,,，所以，所以,所以，，所以F到直線的距離為，故選：A6．答案：C解析：易知,,,設平面ABC的法向量,則即令,則,,所以平面ABC的一個法向量為,所以點D到平面ABC的距離.故選:C.7．答案：B解析：由題意得：,故選：B.8．答案：B解析：設正方體的棱長為a，以D為坐標原點，，，分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則，，，，又F是側面上的動點，設，，，則，設平面的法向量為，又，，則，即，令，則，，即，又平面，則，即，則，解得，因此可得，，設平面的法向量為，又，，則，即，令，則，，即，又因此可得二面角的大小為常數，故①正確；設平面的法向量為，又，，則，即，令，則，，即，因為中含參數，故的值不定，因此二面角的大小不是常數，故②不正確；設平面的法向量為，又，，則，即，令，則，，即，因為中含參數，故的值不定，因此二面角的大小不是常數，故③不正確；故選：B.9．答案：AC解析：直線、的方向向量分別是，，且，，解得，或，或.10．答案：AD解析:對選項A:,則,解得,故A正確;對選項B:當時,兩條直線重合,故B錯誤;對選項C:時,,斜率為,的方向向量是,故C錯誤;對選項D:過定點,故原點到直線的最大距離為,故D正確.故選:AD.11．答案：AB解析：以頂點A為端點的三條棱長都相等，它們彼此的夾角都是，可設棱長為1，則，，而，所以A正確.，所以B正確.向量，顯然為等邊三角形，則.所以向量與的夾角是，向量與的夾角是，則C不正確又，則，，，所以，所以D不正確.12．答案：解析：,,,故在上的投影向量的坐標.故答案為:13．答案：解析：因為底面ABCD,底面ABCD是正方形,所以DA,DC,DP兩兩垂直,以D為坐標原點,的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立如圖所示空間直角坐標系,則,,,,,則重心,因而,,,設平面PAD的一個法向量為,則,令則,則,故答案為:.14．答案：垂直；或解析：若，則，則n，a共線，故直線l與平面垂直；若，則，則，又不確定直線l是否在平面內，所以或.15．答案：（1）,（2）或解析：（1）,,若,則,即,,,解得,.（2）,,若,則,即,化簡可得,解得或.16．答案：（1）；（2）解析：（1）因為平面，所以，.在矩形中，，故可以點D為坐標原點建立空間直角坐標系如圖所示，設，則，，，，所以，.因為，所以，得，所以.（2）易知，由（1）可得，，，.設平面的法向量為，則即令，則，，所以平面的一個法向量為.設平面的法向量為，則即得，令，則，所以平面的一個法向量為.，二面角的正弦值為.17．答案：（1）證明見解析（2）證明見解析解析：（1）因為，D是BC的中點，所以.如圖，以O為原點，過點O作CB的平行線為x軸，以射線AD方向為y軸正方向，以射線OP的方向為z軸正方向，建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，所以，所以，即.（2）因為平面ABC，平面ABC，所以.因為，，所以.因為M為AP上一點，且，所以.由（1）得，所以.又，所以.所以，.設平面BMC的法向量為，則即令，則，，所以.設平面AMC的法向量為，則即令，則，，所以.所以，所以，所以平面平面BMC.18．答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）設的中點為F,過F作分別交AC,于G,,連接EF、,則G,分別為AC,的中點,所以,由,,得,即,又因為,所以四邊形是平行四邊形,所以,因為是的中點,為正三角形,所以,由正三棱柱的性質得,底面,且底面,所以,,,平面,所以平面.又因為,所以平面,平面,所以平面平面.（2）以BC中點O為原點,OA,OC,(為中點)分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,則,,,易得平面ABC的一個法向量,設向量為平面一個法向量,,,則由,,得,,令,得,設平面與平面ABC的夾角為,則.所以平面與平面ABC的夾角的余弦值為.19．答案：(1)