第二章 有理數(shù)的運(yùn)算 綜合實(shí)踐 學(xué)案 2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)七年級上冊

學(xué)案設(shè)計(jì)(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解進(jìn)位制的基本概念,包括十進(jìn)制和其他進(jìn)制的表示方法.2.能夠運(yùn)用進(jìn)位制解決實(shí)際問題,如貨幣計(jì)算、時(shí)間換算等.3.培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力,通過小組合作實(shí)踐,提高問題解決能力和溝通能力.自主學(xué)習(xí)二進(jìn)制是逢二進(jìn)一,其各數(shù)位上的數(shù)字為0或1.請把二進(jìn)制數(shù)1011表示成各數(shù)位上的數(shù)字與基數(shù)的冪的乘積之和的形式,從而轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù).課堂探究活動(dòng)1認(rèn)識進(jìn)位制,探究不同進(jìn)位制的數(shù)之間的轉(zhuǎn)換任務(wù)1把89轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)和八進(jìn)制數(shù).任務(wù)2通過研究二進(jìn)制數(shù)及十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換,你有哪些發(fā)現(xiàn)?進(jìn)一步地,你能進(jìn)行其他不同進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換嗎?活動(dòng)2探究進(jìn)制數(shù)的加法運(yùn)算任務(wù)1查閱資料,分析計(jì)算機(jī)運(yùn)算選擇二進(jìn)制的原因,從多個(gè)角度分析選擇二進(jìn)制的優(yōu)越性.任務(wù)2小組合作,研究二進(jìn)制數(shù)的加法運(yùn)算法則,并填寫表1中的活動(dòng)記錄單.表1活動(dòng)記錄單加數(shù)0011加數(shù)0101和(1)根據(jù)上面的加法運(yùn)算法則,計(jì)算(10010)2+(111)2,并交流一下計(jì)算方法.(2)①計(jì)算45+23;②把45,23分別轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù),利用二進(jìn)制數(shù)的加法運(yùn)算法則計(jì)算它們的和,再把和轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù);③比較①②的計(jì)算結(jié)果是否相同.任務(wù)3計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)容量是指存儲(chǔ)器能存放二進(jìn)制代碼的總位數(shù),用于計(jì)量存儲(chǔ)容量的基本單位是字節(jié).請研究手機(jī)、計(jì)算機(jī)等電子存儲(chǔ)設(shè)備的容量以及它們存儲(chǔ)的一些電子文件的大小,它們通常以什么單位表示?這些單位之間有什么關(guān)系?任務(wù)4古人在研究天文、歷法時(shí),也曾經(jīng)采用七進(jìn)制、十二進(jìn)制、六十進(jìn)制記數(shù)法.至今,我們?nèi)匀皇褂靡恍瞧?天、一年12個(gè)月、一小時(shí)60分鐘的記時(shí)方法.結(jié)合角度、時(shí)間等實(shí)際問題,分小組討論一下六十進(jìn)制數(shù)的加法運(yùn)算法則.活動(dòng)3任選教材第65~66頁主題之一進(jìn)行研究綜合與實(shí)踐活動(dòng)研究報(bào)告的參考形式報(bào)告主題:

年級班組 報(bào)告時(shí)間:

1.活動(dòng)名稱2.研究小組成員與分工3.選題的意義4.研究方案5.研究過程6.研究結(jié)果7.收獲與體會(huì)8.對此研究報(bào)告的評價(jià)(由評價(jià)小組或教師填寫)學(xué)以致用基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.二進(jìn)制即“逢2進(jìn)1”,如(1101)2表示二進(jìn)制數(shù),將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是1×23+1×22+0×21+1×20=13.將(10111)2轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是()A.23 B.15 C.18 D.312.我們常用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù),大多數(shù)計(jì)算機(jī)程序使用的是二進(jìn)制(只有數(shù)碼0和1).十進(jìn)制數(shù)和二進(jìn)制數(shù)可以互相換算,例如將(101)2換算成十進(jìn)制數(shù)為(101)2=1×22+0×21+1×20=4+0+1=5;按此方式,將(1010)2換算成十進(jìn)制數(shù)為()A.10 B.9 C.11 D.183.計(jì)算機(jī)內(nèi)部使用的是二進(jìn)制(共有兩個(gè)數(shù)碼0,1).將一個(gè)十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù),只需將該數(shù)寫為若干個(gè)2n的數(shù)字之和,依次寫出1或0即可.如十進(jìn)制數(shù)19可以寫為二進(jìn)制數(shù)10011,因?yàn)?9=16+2+1=1×24+0×23+0×22+1×21+1×20;37可以寫為二進(jìn)制數(shù)100101,因?yàn)?7=32+4+1=1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+1×20,則十進(jìn)制數(shù)70是二進(jìn)制下的()A.7位數(shù) B.6位數(shù)C.5位數(shù) D.4位數(shù)4.日常生活中我們使用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù),數(shù)的進(jìn)位方法是“逢十進(jìn)一”.而計(jì)算機(jī)內(nèi)部使用的數(shù)是二進(jìn)制數(shù),即數(shù)的進(jìn)位方法是“逢二進(jìn)一”.二進(jìn)制數(shù)只使用數(shù)字0、1,如二進(jìn)制數(shù)1101記為1101(2),1101(2)通過式子1×23+1×22+0×2+1可以轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)13.仿照上面的轉(zhuǎn)換方法,將11101(2)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)是()A.15 B.29 C.30 D.335.計(jì)算機(jī)的二進(jìn)制數(shù)據(jù)是用0和1兩個(gè)數(shù)碼來表示的數(shù),進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”,二進(jìn)制數(shù)和十進(jìn)制數(shù)可以互換,例如,二進(jìn)制數(shù)“01011011”換成十進(jìn)制數(shù)為0×27+1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+1×21+1×20=91.依此算法,二進(jìn)制數(shù)“01001001”換成十進(jìn)制數(shù)為.

素養(yǎng)提升1.閱讀材料:現(xiàn)在我們常用的數(shù)的進(jìn)制是十進(jìn)制,如4657=4×103+6×102+5×101+7×100.該進(jìn)制需用10個(gè)數(shù)碼(又叫數(shù)字):0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.在電子計(jì)算機(jī)中用的是二進(jìn)制,只需用兩個(gè)數(shù)碼:0和1.兩種進(jìn)制的數(shù)可以互相換算,如二進(jìn)制的數(shù)110=1×22+1×21+0×20等于十進(jìn)制的數(shù)6,110101=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20等于十進(jìn)制的數(shù)53.(注意:對于任何非零數(shù)a都有a0=1,即20=1)解決問題:二進(jìn)制的數(shù)101011等于十進(jìn)制的哪個(gè)數(shù)?應(yīng)用拓展:我國古代《易經(jīng)》一書中記載,遠(yuǎn)古時(shí)期,人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量,即“結(jié)繩記數(shù)”.如圖,一位婦女在從右到左依次排列的繩子上打結(jié),滿六進(jìn)一,用來記錄采集到的野果數(shù)量.由圖可知,她一共采集到的野果數(shù)量為個(gè).

2.日常生活中,我們通常用到的數(shù),稱之為十進(jìn)制數(shù).在表示十進(jìn)制數(shù)時(shí),我們需要用到10個(gè)數(shù)碼:0,1,2,…,8,9.例如:9812=9000+800+10+2=9×10×10×10+8×10×10+1×10+2×1.而在計(jì)算機(jī)中,常使用二進(jìn)制數(shù),即使用兩個(gè)數(shù)碼:0,1.例如:1011.如果想要知道這個(gè)二進(jìn)制數(shù)等于十進(jìn)制中的哪個(gè)數(shù)字,我們可以這樣計(jì)算:(1011)2=(1×2×2×2+0×2×2+1×2+1×1)10=(11)10即二進(jìn)制數(shù)1011等于十進(jìn)制數(shù)11.閱讀以上資料后,(1)請你把二進(jìn)制數(shù)10101轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)的過程補(bǔ)充完整:(10101)2=()10

=()10;

(2)現(xiàn)在,請你嘗試把六進(jìn)制數(shù)421轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù),并寫出轉(zhuǎn)換過程.參考答案自主學(xué)習(xí)二進(jìn)制數(shù)1011表示成各數(shù)位上的數(shù)字與基數(shù)的冪的乘積之和的形式如下:1×23+0×22+1×21+1×20.這個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)為11.課堂探究活動(dòng)1認(rèn)識進(jìn)位制,探究不同進(jìn)位制的數(shù)之間的轉(zhuǎn)換任務(wù)1解:首先,對89進(jìn)行不斷除以2的整除操作,直到商為0,然后將每次的余數(shù)按相反的順序組合起來,即得到二進(jìn)制數(shù).89÷2=44,余144÷2=22,余022÷2=11,余011÷2=5,余15÷2=2,余12÷2=1,余01÷2=0,余1將余數(shù)按相反的順序組合起來,得到二進(jìn)制數(shù):1011001將89轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù):同樣,對89進(jìn)行不斷除以8的整除操作,直到商為0,然后將每次的余數(shù)按相反的順序組合起來,即得到八進(jìn)制數(shù).89÷8=11,余111÷8=1,余31÷8=0,余1將余數(shù)按相反的順序組合起來,得到八進(jìn)制數(shù):131因此,89的二進(jìn)制表示為1011001,八進(jìn)制表示為131.任務(wù)2通過研究二進(jìn)制數(shù)和十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換,可以得到以下發(fā)現(xiàn):1.二進(jìn)制到十進(jìn)制的轉(zhuǎn)換:二進(jìn)制數(shù)的每一位代表2的冪,從右向左依次增加.將每位的值與對應(yīng)的2的冪相乘,再相加,即可得到十進(jìn)制數(shù).2.十進(jìn)制到二進(jìn)制的轉(zhuǎn)換:使用除2取余法,不斷將十進(jìn)制數(shù)除以2,將余數(shù)按相反的順序組合,即可得到對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù).3.其他進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換:類似地,可以研究不同進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換,例如八進(jìn)制到十進(jìn)制、十六進(jìn)制到十進(jìn)制等.轉(zhuǎn)換的基本思想是一致的,只需根據(jù)不同進(jìn)制的基數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算.4.十進(jìn)制到其他進(jìn)制的轉(zhuǎn)換:使用除基數(shù)取余法,將十進(jìn)制數(shù)不斷除以目標(biāo)進(jìn)制的基數(shù),將余數(shù)按相反的順序組合,即可得到對應(yīng)的進(jìn)制數(shù).5.其他進(jìn)制到二進(jìn)制的轉(zhuǎn)換:首先將其他進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù),然后再將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù).總體來說,不同進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換基于相似的原理,只需注意不同進(jìn)制的基數(shù)和相應(yīng)的冪次關(guān)系.進(jìn)一步地,可以研究其他進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換,例如八進(jìn)制到十六進(jìn)制、十六進(jìn)制到八進(jìn)制等.活動(dòng)2探究進(jìn)制數(shù)的加法運(yùn)算任務(wù)1略任務(wù)2(1)首先,我們按照二進(jìn)制數(shù)的加法運(yùn)算的規(guī)則逐位相加,從右向左進(jìn)行.10010+11110101在二進(jìn)制數(shù)的加法運(yùn)算中,對應(yīng)位相加時(shí),0+1的結(jié)果為1,1+1的結(jié)果為0并進(jìn)位.因此,計(jì)算過程如下:·在最右邊的位上,0+1=1.·接下來的位上,1+1=0(寫下0),并向左進(jìn)位1.·然后,進(jìn)位的1與下一個(gè)位相加,1+1=0,再次產(chǎn)生進(jìn)位1.·接著,進(jìn)位的1與下一位相加,0+1=1.·最后,最左邊的位上,1+0(進(jìn)位)=1.因此,二進(jìn)制數(shù)10010與二進(jìn)制數(shù)111的和為10101.在交流計(jì)算方法時(shí),強(qiáng)調(diào)了二進(jìn)制數(shù)的加法運(yùn)算的規(guī)則,尤其是0+1和1+1的情況,并通過逐位相加的方式展示了計(jì)算過程.(2)①68②將45轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù):45=(101101)2將23轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù):23=(10111)2利用二進(jìn)制數(shù)的加法運(yùn)算規(guī)則計(jì)算它們的和:101101+101111000100(45的二進(jìn)制表示)

(23的二進(jìn)制表示)

(和的二進(jìn)制表示)將和轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù):(1000100)2=68③相同任務(wù)3略任務(wù)4略活動(dòng)3略學(xué)以致用[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1.A2.A3.A4.B5.73[素養(yǎng)提升]1.解:∵101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=43,∴二進(jìn)制數(shù)101011等于十進(jìn)制數(shù)43.應(yīng)用拓展:1×64+2×63+3×62+0×61+2×60=1838(個(gè)),故她一共采集到的野果數(shù)量為1838個(gè).2.解:(1)(10101)2=(1×2×2×2×2+0×2×2×2+1×2×2+0×2+1)10=(21)10,故答案為1×2×2×2×2+0×2×2×2+1×2×2+0×2+1,21.(2)(421)6=(4×6×6+2×6+1)10=(157)10.學(xué)案設(shè)計(jì)(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解進(jìn)位制的基本概念,包括十進(jìn)制和其他進(jìn)制的表示方法.2.能夠運(yùn)用進(jìn)位制解決實(shí)際問題,如貨幣計(jì)算、時(shí)間換算等.3.培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力,通過小組合作實(shí)踐,提高問題解決和溝通能力.自主學(xué)習(xí)查閱資料,準(zhǔn)備一個(gè)與時(shí)間有關(guān)的小故事,為何鐘表分為六十分鐘?為何我們有7天一周等.一小時(shí)60分鐘的來歷.課堂探究1.二進(jìn)制數(shù)的加法運(yùn)算練習(xí)題:a.11012+1012b.100112+11012c.11102+101012d.1100102+1011102e.110112+11011022.將下列二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)a.11012b.1001102c.111112d.10101012e.110110123.將下列八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)a.348b.1278c.5438d.74268e.652178學(xué)以致用基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.生活中常用的十進(jìn)制是用0~9這十個(gè)數(shù)字來表示數(shù),滿十進(jìn)一,例:12=1×10+2,212=2×10×10+1×10+2;計(jì)算機(jī)也常用十六進(jìn)制來表示字符代碼,它是用0~F來表示0~15,滿十六進(jìn)一,它與十進(jìn)制對應(yīng)的數(shù)如表:十進(jìn)制012…891011121314151617…十六進(jìn)制012…89ABCDEF1011…例:十六進(jìn)制的數(shù)2B對應(yīng)十進(jìn)制的數(shù)為2×16+11=43,10C對應(yīng)十進(jìn)制的數(shù)為1×16×16+0×16+12=268,那么十六進(jìn)制的數(shù)16F對應(yīng)十進(jìn)制的數(shù)為()A.28 B.62 C.367 D.3342.2021年7月,第十四屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)在上海召開,本次大會(huì)會(huì)徽主題圖案有著豐富的數(shù)學(xué)元素,展現(xiàn)了我國古代數(shù)學(xué)的文化魅力.如圖,右下方的“卦”是用我國古代的計(jì)數(shù)符號寫出的八進(jìn)制數(shù)3745.八進(jìn)制是以8作為進(jìn)位基數(shù)的數(shù)字系統(tǒng),由0~7共8個(gè)基本數(shù)字組成.八進(jìn)制數(shù)3745換算成十進(jìn)制數(shù)是3×83+7×82+4×81+5×80=2021,則八進(jìn)制數(shù)2023換算成十進(jìn)制數(shù)是()A.1041 B.1043C.2023 D.37473.計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)處理的,二進(jìn)制即“逢2進(jìn)1”,如(1101)2表示二進(jìn)制數(shù),將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是1×23+1×22+0×21+1×20=13.將(10111)2轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是()A.23 B.15 C.18 D.314.我們常用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù),大多數(shù)計(jì)算機(jī)程序使用的是二進(jìn)制(只有數(shù)碼0和1).十進(jìn)制數(shù)和二進(jìn)制數(shù)可以互相換算,例如將(101)2換算成十進(jìn)制數(shù)為(101)2=1×22+0×21+1×20=4+0+1=5.按此方式,將(1010)2換算成十進(jìn)制數(shù)為()A.10 B.9 C.11 D.18素養(yǎng)提升1.計(jì)算機(jī)中常用的十六進(jìn)制是逢16進(jìn)1的記數(shù)制,采用數(shù)字0~9和字母A~F共16個(gè)記數(shù)符號,這些記數(shù)符號與十進(jìn)制的數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系如下表:十六進(jìn)制0123456789ABCDEF十進(jìn)制0123456789101112131415例如:十進(jìn)制中的26=16+10,可用十六進(jìn)制表示為1A;在十六進(jìn)制中,E+D=1B等.由上可知,在十六進(jìn)制中,3×E=()A.42 B.2A C.A2 D.3E2.(多選)八進(jìn)制是以8作為進(jìn)位其數(shù)的數(shù)字系統(tǒng),有0~7共8個(gè)基本數(shù)字.如:八進(jìn)制數(shù)3745換算成十進(jìn)制數(shù)是3×83+7×82+4×81+5×80=2021.以下說法正確的是()A.若八進(jìn)制數(shù)最后一位是偶數(shù),換算成十進(jìn)制依然是偶數(shù)B.八進(jìn)制數(shù)111與十進(jìn)制數(shù)111相等C.八進(jìn)制數(shù)2023換算成十進(jìn)制數(shù)是1045D.十進(jìn)制數(shù)2023換算成八進(jìn)制數(shù)是3747參考答案自主學(xué)習(xí)略課堂探究