高考總復(fù)習(xí)理數(shù)（人教版）第02章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)第8節(jié)函數(shù)與方程

第八節(jié)函數(shù)與方程考點高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)函數(shù)的零點2017·全國卷Ⅱ·T11·5分已知函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)的值數(shù)學(xué)運算邏輯推理2014·全國卷Ⅰ·T11·5分由函數(shù)的零點的個數(shù)求參數(shù)取值范圍數(shù)學(xué)運算邏輯推理命題分析利用函數(shù)零點的存在性定理或函數(shù)的圖象，對函數(shù)是否存在進行判斷或利用零點的存在情況求相關(guān)參數(shù)的范圍，是高考的熱點，以選擇題、填空題為主，分值5分.1．函數(shù)的零點(1)定義：對于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的實數(shù)x叫作函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點．(2)函數(shù)零點與方程根的關(guān)系：方程f(x)＝0有實根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點.(3)零點存在性定理：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象與零點的關(guān)系Δ＝b2－4Δ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的交點(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無交點3．用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟(1)確定區(qū)間[a，b]驗證f(a)f(b)<0，給定精確度ε.(2)求區(qū)間(a，b)的中點值c.(3)計算f(c)：①若f(c)＝0，則c就是函數(shù)的零點；②若f(a)f(c)<0，則令b＝c(此時零點x0∈(a，c))；③若f(c)f(b)<0，則令a＝c(此時零點x0∈(c，b))．(4)判斷是否達到精確度ε.若|a－b|<ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復(fù)第(2)(3)(4)步．提醒：(1)辨明兩個易誤點①函數(shù)f(x)的零點是一個實數(shù)，是方程f(x)＝0的根，也是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標．②函數(shù)零點存在性定理是零點存在的一個充分條件，而不是必要條件．(2)明確三個等價關(guān)系(三者相互轉(zhuǎn)化)(3)用二分法求方程的近似解時注意以下兩點①并非所有函數(shù)都可以用二分法求其零點，只有滿足：a．在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷；b．f(a)·f(b)＜0.上述兩條的函數(shù)，方可采用二分法求得零點的近似值．②求函數(shù)零點的近似值時，所要求的精確度不同，得到的結(jié)果也不相同．應(yīng)注意精確度對近似值的影響．1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點．()(2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)<0.()(3)只要函數(shù)有零點，我們就可以用二分法求出零點的近似值．()(4)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，有f(a)·f(b)<0成立，那么y＝f(x)在(a，b)內(nèi)存在唯一的零點．()(5)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0時沒有零點(6)已知函數(shù)f(x)＝x2＋x＋a在區(qū)間(0,1)上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是(－2,0)．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)√2．(教材習(xí)題改編)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是()解析：選A根據(jù)二分法的概念可知A不能用二分法求零點.3．(教材習(xí)題改編)函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選B∵f(－1)＝eq\f(1,e)－3＜0，f(0)＝1＞0，∴f(x)在(－1,0)內(nèi)有零點，又f(x)為增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)有且只有一個零點．4．(2018·湖北七市(州)聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在R上連續(xù)不斷，由下表知方程f(x)＝g(x)有實數(shù)解的區(qū)間是()x－10123f(x)－0.6773.0115.4325.9807.651g(x)－0.5303.4514.8905.2416.892A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)解析：選B記h(x)＝f(x)－g(x)，依題意，注意到h(0)＜0，h(1)＞0，因此函數(shù)h(x)的零點屬于(0,1)，即方程f(x)＝g(x)有實數(shù)解的區(qū)間是(0,1)，故選B.5．已知函數(shù)f(x)＝lnx－x＋2有一個零點所在的區(qū)間為(k，k＋1)(k∈N*)，則k的值為________.解析：f(1)＝1>0，f(2)＝ln2>0，f(3)＝ln3－1>0，f(4)＝ln4－2<0，故f(3)·f(4)<0，所以函數(shù)的一個零點所在區(qū)間為(3,4)，因此k＝3.答案：3判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間[明技法]確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點的存在性定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點．(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷．[提能力]【典例】(2018·鄭州檢測)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)lnx＋x－eq\f(1,x)－2的零點所在的區(qū)間是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1)) B．(1,2)C．(2，e) D．(e,3)解析：選C因為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,e)－e－2<0，f(1)＝－2<0，f(2)＝eq\f(1,2)ln2－eq\f(1,2)<0，f(e)＝eq\f(1,2)＋e－eq\f(1,e)－2>0，所以f(2)f(e)<0，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)lnx＋x－eq\f(1,x)－2的零點所在的區(qū)間是(2，e)，故選C.[刷好題]1．(金榜原創(chuàng))設(shè)f(x)＝lnx＋x－2，則函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：選B方法一函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間可轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2圖象交點的橫坐標所在的取值范圍．作圖如下：可知f(x)的零點所在的區(qū)間為(1,2)．方法二由于f(1)＝－1<0，f(2)＝ln2>0，f(1)f(2)<0，所以函數(shù)f(x)＝lnx＋x－2的零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)．2．(2018·南充質(zhì)檢)方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)內(nèi)()A．沒有根 B．有且僅有一個根C．有且僅有兩個根 D．有無窮多個根解析：選C構(gòu)造兩個函數(shù)y＝|x|和y＝cosx，在同一個坐標系內(nèi)畫出它們的圖象，草圖如圖所示，觀察知圖象有兩個公共點，故已知方程有且僅有兩個根．函數(shù)零點個數(shù)問題[明技法]判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法(1)解方程法：所對應(yīng)方程f(x)＝0有幾個不同的實數(shù)解就有幾個零點．(2)零點存在性定理法：利用零點存在性定理并結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)進行判斷．(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題．先畫出兩個函數(shù)的圖象，看其交點的個數(shù)，其中交點的個數(shù)，就是函數(shù)零點的個數(shù)．[提能力]【典例】(2018·武漢模擬)偶函數(shù)f(x)滿足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]時，f(x)＝x2，則關(guān)于x的方程f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(10,3)))上的根的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C因為f(x)為偶函數(shù)，所以當(dāng)x∈[－1,0]時，－x∈[0,1]，所以f(－x)＝x2，即f(x)＝x2.又f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，據(jù)此在同一坐標系中作出函數(shù)y＝f(x)與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(10,3)))上的圖象如圖所示，數(shù)形結(jié)合得兩圖象有3個交點，故方程f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(10,3)))上有三個根．故選C.[母題變式]若將本例中“eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x”變?yōu)椤癳q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))|x|”，則方程f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))|x|在[－3,3]上所有根的和為________.解析：由本例解析知f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))|x|在[－3,3]上有六個不同根，不妨設(shè)為x1<x2<x3<x4<x5<x6，由圖象關(guān)于y軸的對稱性知x1＋x6＝0，x2＋x5＝0，x3＋x4＝0，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝0.答案：0[刷好題]1．(2018·梅州質(zhì)檢)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3，x≤1，,－x2＋2x＋3，x>1，))則函數(shù)g(x)＝f(x)－ex的零點個數(shù)為________.解析：函數(shù)g(x)＝f(x)－ex的零點個數(shù)即為函數(shù)y＝f(x)與y＝ex的圖象的交點個數(shù)．作出函數(shù)圖象可知有2個交點，即函數(shù)g(x)＝f(x)－ex有2個零點．答案：22．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,log2x，x＞0，))則函數(shù)y＝f[f(x)]＋1的所有零點所構(gòu)成的集合為________.解析：由題意知f[f(x)]＝－1，由f(x)＝－1得x＝－2或x＝eq\f(1,2)，則函數(shù)y＝f[f(x)]＋1的零點就是使f(x)＝－2或f(x)＝eq\f(1,2)的x值，解f(x)＝－2得x＝－3或x＝eq\f(1,4)；解f(x)＝eq\f(1,2)得x＝－eq\f(1,2)或x＝eq\r(2)，從而函數(shù)y＝f[f(x)]＋1的零點構(gòu)成的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(1,2)，\f(1,4)，\r(2))).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(1,2)，\f(1,4)，\r(2)))函數(shù)零點的綜合問題[析考情]函數(shù)零點的應(yīng)用主要是利用函數(shù)零點的存在性及零點個數(shù)求相關(guān)參數(shù)的值或范圍，體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想題目難度較大，以選擇題、填空題形式出現(xiàn)．[提能力]命題點1：利用函數(shù)的零點比較大小【典例1】(2018·大連質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋2x－4，g(x)＝lnx＋2x2－5，若實數(shù)a，b分別是f(x)，g(x)的零點，則()A．g(a)<0<f(b) B．f(b)<0<g(a)C．0<g(a)<f(b) D．f(b)<g(a)<0解析：選A依題意，f(0)＝－3<0，f(1)＝e－2>0，且函數(shù)f(x)是增函數(shù)，因此函數(shù)f(x)的零點在區(qū)間(0,1)內(nèi)，即0<a<1，g(1)＝－3<0，g(2)＝ln2＋3>0，函數(shù)g(x)的零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，即1<b<2，于是有f(b)>f(1)>0.又函數(shù)g(x)在(0,1)內(nèi)是增函數(shù)，因此有g(shù)(a)<g(1)<0，所以g(a)<0<f(b)．命題點2：由函數(shù)的零點求參數(shù)問題【典例2】(2017·全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零點，則a＝()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．1解析：選C方法一f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，令t＝x－1，則g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，∴函數(shù)g(t)為偶函數(shù)．∵f(x)有唯一零點，∴g(t)也有唯一零點．又g(t)為偶函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)知g(0)＝0，∴2a－1＝0，解得a＝eq\f(1,2).故選C.方法二f(x)＝0?a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.ex－1＋e－x＋1≥2eq\r(ex－1·e－x＋1)＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取“＝”．－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取“＝”．若a>0，則a(ex－1＋e－x＋1)≥2a要使f(x)有唯一零點，則必有2a＝1，即a＝eq\f(1,2).若a≤0，則f(x)的零點不唯一．故選C.命題點3：二次函數(shù)零點的應(yīng)用【典例3】已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一個零點比1大，一個零點比1小，則實數(shù)a的取值范圍是________.解析：方法一設(shè)方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的兩根分別為x1，x2(x1<x2)，則(x1－1)(x2－1)<0，∴x1x2－(x1＋x2)＋1<0，由根與系數(shù)的關(guān)系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，即a2＋a－2<0，∴－2<a<1.故實數(shù)a的取值范圍為(－2,1)．方法二函數(shù)f(x)的圖象大致如圖，則有f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，得a2＋