專題235解直角三角形章末八大題型總結（培優(yōu)篇）（滬科版）

專題23.5解直角三角形章末八大題型總結（培優(yōu)篇）【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1利用設參數(shù)法求銳角三角函數(shù)值】 1【題型2在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值】 5【題型3特殊角的三角函數(shù)值的計算與應用】 9【題型4銳角三角函數(shù)與平面直角坐標系的綜合】 11【題型5銳角三角函數(shù)與一元二次方程的綜合應用】 18【題型6靈活運用已知條件解直角三角形】 19【題型7解雙直角三角形】 22【題型8解直角三角形與四邊形的綜合應用】 27【題型1利用設參數(shù)法求銳角三角函數(shù)值】【例1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級?？计谀┤鐖D，AB=BC=AD，AD⊥BC于點E，AC

【答案】4【分析】設AB=BC=AD=1，AE=x，則DE=1-x【詳解】解：設AB=BC=AD∵AD⊥BC，∴∠D∴∠DAC∴tan∠∴ECAE∴EC∴BE=1-在Rt△ABE中，∴12整理得，5x解得：x=0或x∴sinB故答案為：45【點睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．【變式11】（2023秋·廣西賀州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，BE=2，cosA=【答案】20【分析】根據(jù)菱形的性質可得AB=BC=CD=AD，結合cosA=【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=∵DE⊥∴∠DEA∴cosA=設AE=3k，則∴BE=5∴k=1∴AD=5∴菱形的周長=4AD故答案為：20．【點睛】本題考查的是菱形的性質，銳角三角函數(shù)的應用，熟記銳角的余弦的定義，并靈活應用是解本題的關鍵．【變式12】（2023秋·山西運城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB的中點，連接CD，過點D作DE⊥CD交BC于點E，若tanA=

【答案】15【分析】由∠ACB=90°，tanA=43，可設AC=3x，【詳解】解：∵∠ACB=90°，∴設AC=3∴AB=∵D是AB的中點，∴CD=∴∠DCB又DE⊥∴∠A∴tanA=∴DE=∴CE=∵BE=7∴4x解得x=8∴DE=故答案為：15．【點睛】本題主要考查了勾股定理、三角函數(shù)、直角三角形斜邊上中線的性質，掌握三角函數(shù)，直角三角形中線的性質是解題的關鍵．【變式13】（2023·山西太原·太原五中?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，AC=3，BC=4，D、E分別在CA、CB上，點F在△ABC【答案】10【分析】連接AF，過點F作FG⊥AB于G，根據(jù)正方形的性質得到AD=2，BE=3，根據(jù)勾股定理得到FG【詳解】解：連接AF，過點F作FG⊥AB于∵四邊形CDFE是邊長為1的正方形，∴CD=∵AC=3∴AD=2∴AB=設BG=∴AG=5-∵FG∴5-5-x2=10-∴FG=∴sin∠故答案為：1010【點睛】本題考查了正方形的性質，銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握勾股定理是解題的關鍵．【題型2在網(wǎng)格中求銳角三角函數(shù)值】【例2】（2023·湖北省直轄縣級單位·校聯(lián)考模擬預測）如圖是6個形狀、大小完全相同的菱形組成的網(wǎng)格，菱形的頂點稱為格點．已知菱形的一個角(∠O)為60°，點A，B，C，D都在格點上，且線段AB，CD相交于點P，則tan∠BPD的值是

A．13 B．12 C．33【答案】D【分析】如圖取格點E，連接EC、DE．設小菱形的邊長為1．首先證明∠APC=∠ECD，再證明∠【詳解】解：如圖取格點E，連接EC、DE．設小菱形的邊長為1．∵AC∴四邊形ACEB是平行四邊形，∴EC∥∴∠APC依題意∠O=60°，則則∠CDO=60°，∴∠CDE∵CD=2，

如圖所示，過點B作BF⊥DE，∵∴∠BDF=1∴DF=又∵DF∴DE=∴tan∠故選：D．【點睛】本題考查菱形的性質、等邊三角形的性質、解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．【變式21】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B、C三點都在格點上，則sin∠ABC

【答案】2【分析】取AB的中點D，連接AC,CD，先根據(jù)勾股定理可得AC=【詳解】解：如圖，取AB的中點D，連接AC,

∵AC∴AC又∵點D是AB的中點，∴CD∴sin故答案為：22【點睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題、等腰三角形的三線合一、正弦，熟練掌握正弦的求解方法是解題關鍵．【變式22】（2023秋·上?！ぞ拍昙壣虾Ｍ鈬Z大學附屬大境初級中學?？计谥校┤鐖D，A、B、C三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，若將△ACB繞著點A逆時針旋轉得到△AC'B'，使點B'

【答案】5【分析】取網(wǎng)格點D點，連接BD，BB'，由網(wǎng)格利用勾股定理得：BC=10，CD=2，BD=2【詳解】解：如圖所示：取網(wǎng)格點D點，連接BD，BB

由網(wǎng)格利用勾股定理得：BC=10，CD=∴CD∴△CDB則BD⊥∴cos∠故答案為：55【點睛】本題考查了利用網(wǎng)格圖求解角的余弦函數(shù)值的知識，理解余弦的意義，作出合理的輔助線，是解答本題的關鍵．【變式23】（2023·四川廣元·統(tǒng)考二模）如圖，在由10個完全相同的正三角形構成的網(wǎng)格圖中，∠α、∠β如圖所示，則sin(A．277 B．77 C．2【答案】A【分析】連接DE，利用等腰三角形的性質及三角形內角和定理可得出∠α=30°，同理可得出∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°結合∠AED=∠【詳解】解：連接DE，如圖所示：在△ABC中，∠∴∠α同理得：∠CDE又∵∠AEC∴∠AED設等邊三角形的邊長為a，則AE=2a，∴AD=∴sinα故選：A【點睛】此題考查解直角三角形、等邊三角形的性質以及圖形的變化規(guī)律，構造出含一個銳角等于∠α【題型3特殊角的三角函數(shù)值的計算與應用】【例3】（2023春·山東泰安·九年級校考期末）在△ABC中，若cosA=22，tanB=3，則這個三角形一定是（

A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】A【詳解】試題解析：∵cosA=22，tanB=3∴∠A=45°，∠B=60°．∴∠C=180°45°60°=75°．∴△ABC為銳角三角形．故選A．【變式31】（2023秋·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）計算：2【答案】0【分析】先計算特殊角三角函數(shù)值和零指數(shù)冪，再根據(jù)二次根式的混合計算法則求解即可．【詳解】解：原式=2×1=1+1-3+1=0．【點睛】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值的混合計算，熟知相關特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．【變式32】（2023·上海嘉定·模擬預測）計算：(1)12(2)sin45°?【答案】(1)3+2(2)2+【分析】（1）先將特殊角三角函數(shù)值代入，然后先算乘法，再算加法；（2）先將特殊角三角函數(shù)值代入，然后先算乘方，再算乘除，最后算加減．【詳解】（1）解：原式=1=1==3+2（2）原式==1=1+1+=2+2【點睛】本題考查特殊角三角函數(shù)值，二次根式的混合運算，掌握特殊角三角函數(shù)值以及二次根式混合運算的運算順序和計算法則是解題關鍵．【變式33】（2023秋·甘肅嘉峪關·九年級?？计谀┰凇鰽BC中，2cosA-1+【答案】等邊三角形【分析】先根據(jù)非負數(shù)的性質求出2cosA-【詳解】∵2cosA∴2cosA-即cosA=1∴∠A=60°，∴∠C則△ABC故答案為:等邊三角形．【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質，三角函數(shù)，等邊三角形的判定，數(shù)量掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．【題型4銳角三角函數(shù)與平面直角坐標系的綜合】【例4】（2023·江蘇·九年級江陰市祝塘中學校考階段練習）如圖，長度為5的動線段AB分別與坐標系橫軸、縱軸的正半軸交于點A、點B，點O和點C關于AB對稱，連接CA、CB，過點C作x軸的垂線段CD，交x軸于點D(1)移動點A，發(fā)現(xiàn)在某一時刻，△AOB和以點B、D、C為頂點的三角形相似，求這一時刻點C的坐標；(2)移動點A，當tan∠OAB=【答案】(1)點C的坐標為154,53【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質得：AB是OC的垂直平分線，由垂直平分線的性質得：OB=BC，OA=AC，△AOB和以點B、D、C為頂點的三角形相似，存在兩種情況：①當∠ABO=∠CBD時，②當∠ABO=∠BCD時，根據(jù)角的關系分別計算點C的坐標即可；（2）先根據(jù)三角函數(shù)定義求OB=5，OA=25，利用面積法得OG和OC的長，根據(jù)等角的三角函數(shù)可知：OG=2BG，證明△BGO∽△CDO，列比例式可得結論．【詳解】(1)連接OC，交AB于G，∵點O和點C關于AB對稱，∴AB是OC∴OB∴∠ABO∵∠AOB∴ΔAOB和以點B①當∠ABO=∠CBD∴∠BAO∵AB∴OB∴OD∴C②當∠ABO=∠BCD∴AB∵CD∴AB綜上所述，ΔAOB和以點B、D、C為頂點的三角形相似，這一時刻點(2)∵tan設OB=x，則∴xx=5或-5(∴OBSΔAOB5?2OG=∴OC∵∠GOB∴tan∴OG∴OB∵∠GOB∴ΔBGO∴OG∴2∴OD∴OD∴C【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質、三角函數(shù)、等腰三角形的性質及相似三角形的性質，解題的關鍵是△AOB和以點B、D、C為頂點的三角形相似時分不同情況解決問題．【變式41】（2023春·吉林長春·九年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，將一塊直角三角形紙板如圖放置，直角頂點與原點O重合，頂點A、B恰好分別落在函數(shù)y=-1x(x<0)，

A．13 B．64 C．25【答案】D【分析】點A，B落在函數(shù)y=-1x(x【詳解】解：過點A、B分別作AD⊥x軸，BE⊥x軸，垂足為

∵點A在反比例函數(shù)y=-1x(x∴S△AOD又∵∠AOB∴∠AOD∴△AOD∽△∴(OA∴OA設OA=m，則OB=2在Rt△AOB中，故選：D．【點睛】考查反比例函數(shù)的幾何意義、相似三角形的性質，將面積比轉化為相似比，利用勾股定理可得直角邊與斜邊的比，求出sin∠【變式42】（2023春·江蘇連云港·九年級專題練習）如圖，點O為坐標系原點，點A為y軸正半軸上一點，點B為第一象限內一點，OA=AB，∠OAB=90°，將△OAB繞點O順時針旋轉一個銳角度數(shù)至△OA'B'【答案】5【分析】如圖，過A'作A'H⊥OA于H，過B'作B'Q⊥A'H于Q，證明△A'OH≌△B'A'Q【詳解】解：如圖，過A'作A'H⊥OA于H，過B∴∠OHA'∴∠O∴∠O∵OA∴△A'OH∴OH=A'∴B'∴OA'，OB'的中點坐標為：∵反比例函數(shù)y=kxk>0∴14∴mn解得：mn=-∴tan∠故答案為：5-【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的應用，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，求解銳角的正切，熟練的建立方程求解是解本題的關鍵．【變式43】（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市第四十七中學?？奸_學考試）在平面直角坐標系中，點O為坐標系的原點，直線y=kx-152交x軸于點A，交y（1）求直線AB的解析式；（2）在線段AB上有一點P，連接OP，設點P的橫坐標為t，△AOP的面積為S，求S關于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t（3）在（2）的條件下，在直線y=2x的第一象限上取一點D，連接AD，若S=15，∠【答案】（1）y=34x-152；（2）S【分析】（1）先根據(jù)解析式求出點B坐標，再用三角函數(shù)求出點A坐標，代入解析式即可；（2）用t表示點P的縱坐標，利用三角形面積公式列出函數(shù)解析式即可；（3）根據(jù)S=15求出點P坐標，得出∠AOP+∠BPO=2∠ADO=90°，作AE⊥OD于E，作EF⊥OA于F，設點D坐標為（a，2a），點【詳解】解：（1）當x=0時，y=-152，點B的坐標為（0，-152∵tan∠∴OBOA=34，OA=10，A點坐標為（10，0），代入y=直線AB的解析式為y=（2）把點P的橫坐標t代入y=34∵點P在線段AB上，∴S=12（3）當S=15時，15=-154t+752點P的坐標為（6，3），∵點B的坐標為（0，-15∴BP=62∴BP=OB，∴∠BOP∠AOP∵∠AOP∴∠ADO作AE⊥OD于E，作EF⊥OA于F，設點D坐標為（a，2a），點E坐標為（b，2b），OE=OF2+∵AE2∴102-(5b則點E坐標為（2，4），AE=DE=42OD=25∵點D坐標為（a，2a），∴a2+4a2=180D點坐標為（6，12）．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合，解題關鍵是求出函數(shù)解析式，利用函數(shù)圖象上點的坐標，根據(jù)勾股定理列出方程．【題型5銳角三角函數(shù)與一元二次方程的綜合應用】【例5】（2023·全國·九年級假期作業(yè)）已知sin30°=a+1a，則一元二次方程A．有兩個相同的實數(shù)根 B．有兩個不同的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法判斷【答案】C【分析】先利用sin30°=a+1a求出【詳解】由sin30°=1a則有x由Δ所以方程無實根．故選C【點睛】本題考查特殊度數(shù)的三角函數(shù)值和一元二次方程的根的情況．熟練利用一元二次方程的根判別式Δ=【變式51】（2023秋·山東東營·九年級校聯(lián)考階段練習）關于x的一元二次方程x2-2x+【答案】45°【分析】根據(jù)判別式的意義得到Δ＝（﹣2）2﹣4tanα＝0，則tanα＝1，然后利用特殊角的三角函數(shù)值求α的值．【詳解】解：根據(jù)題意得Δ＝（﹣2）2﹣4tanα＝0，所以tanα＝1，所以銳角α＝45°．故答案為：45°．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．也考查了特殊角的三角函數(shù)值．【變式52】（2023·北京朝陽·九年級專題練習）α為銳角，且關于x的一元二次方程x2－22sinα·x＋1＝0有兩個相等的實數(shù)根，則αA．30° B．45° C．30°或150° D．60°【答案】B【詳解】試題解析：關于x的一元二次方程x2－22sinα·x＋1＝0∴Δ整理得：sinα=α為銳角，∴α故選B.【變式53】（2023春·九年級單元測試）若cosα是關于x的一元二次方程2x2－33x＋3＝0的一個根，則銳角α＝．【答案】30°【分析】先求出方程的兩個根，再根據(jù)特殊角的函數(shù)值即可得出【詳解】∵2x2－33x＋3＝0∴Δ=b2-4ac∴x=-b±∴x1=3，x2=3∵cosα是關于x的一元二次方程2x2－33x＋3＝0的一個根，且cos30°=3∴α＝30°【點睛】本題考查了余弦函數(shù)的計算，熟練掌握特殊角的函數(shù)值是解題的關鍵.【題型6靈活運用已知條件解直角三角形】【例6】（2023秋·廣東河源·九年級校考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，【答案】見解析【分析】根據(jù)含有30度角的直角三角形的性質以及勾股定理解決此題．【詳解】解：如圖．在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠B∴AC∴BC【點睛】本題主要考查含30度角的直角三角形的性質、勾股定理，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質以及勾股定理是解決本題的關鍵．【變式61】（2023秋·甘肅張掖·九年級?？计谥校┰凇鰽BC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c（1）已知a＝6，b＝23，解這個直角三角形（2）已知∠B＝45°，a+b＝6，解這個直角三角形（3）已知sinA＝12，c＝6【答案】（1）c=43；（2）a=b=3，c=3【分析】（1）直角三角形中知兩邊，求第三邊，運用勾股定理即可（2）∠B=45°，即a=b，（3）sinA=ac【詳解】解：依題意（1）在Rt△ABC中，∵a=6，∴根據(jù)勾股定理a2+b∴c（2）∵∠B∴Rt∵a∴a∴根據(jù)勾股定理得，c=∴c=3∴此三角形的三邊分別為：a=32，b=3（3）∵在△ABC中，∠∴sinA∵c∴a根據(jù)勾股定理得．b=∴此三角形的三邊分別為：a=3，b=33【點睛】此題主要考查直角三角形勾股定理的運用，要掌握三角形“知二求三”的技巧，熟練運用勾股定理．【變式62】（2023秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期末）在RtΔABC中，∠C=90°，【答案】a＝23、b＝2、c＝【分析】利用三角形內角和定理構建方程組求出∠A，∠B的值，再利用正切的定義得a=3b【詳解】解：由題意知：∠A解得：∠A∵tanA=∴a=由a-解得：a=2∵sinB=∴c【點睛】本題考查解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值等知識，解題的關鍵是學會利用數(shù)量關系構建方程組解決問題．【變式63】（2023秋·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）在ΔABC中，已知∠C=90°，b+【答案】∠A=60°，∠B=30°，a=10【分析】根據(jù)∠C=90°可得∠A+∠B=90°，再結合∠A∠B=30°可算出∠A、∠B、∠C的度數(shù)，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算出三邊長即可．【詳解】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠A∠B=30°，∴∠A=60°，∠B=30°，∵sin30°=bc=1∴b=12c∵b+c=30，∴12c+c=30解得c=20，則b=10，a=202-10【點睛】本題考查解直角三角形，解題的關鍵是掌握特殊角的三角函數(shù)值．【題型7解雙直角三角形】【例7】（2023秋·山西運城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，BC=2，tanB=12，點D

(1)求點A到BD的距離；(2)求sinA的值．【答案】(1)3(2)2【分析】（1）作AE⊥BD于點E，設AE=3x，由tanB=12可得BE=2AE=6x，由tan∠ACE=AE（2）作CF⊥AB于點F，由（1）可得BE=6，CE=4，由勾股定理得到AB=35，AC=5，由S【詳解】（1）解：作AE⊥BD于點

設AE=3在Rt△ABE中，∵tanB=∴BE=2在Rt△ACE中，∵tan∠